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DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 2019 Prof. Sandro Elias Braun GABARITO DAS AUTOATIVIDADES 2 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Quando a velocidade do veículo mostrado na figura era de 9,00 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo derrapou 6,00 m antes de parar. Determine o módulo da reação normal e da força de atrito em cada roda enquanto o veículo derrapava. 1,2 m 1,5 m 2,1 mA G B FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. R.: Cinemática do Movimento: escolhendo o sentido positivo para a direita e usando as equações do movimento uniformemente acelerado, escrevemos: Equações de Movimento: as forças externas são o peso P do veículo, as reações normais e as forças de atrito nas rodas. (Os vetores NA e FA representam a soma das reações nas rodas traseiras, enquanto NB e NB representam a soma das reações nas rodas dianteiras). Como o veículo está em translação, as forças efetivas reduzem-se ao vetor ma fixo em G. Três equações de movimento são obtidas ao levar em conta que o sistema de forças externas é equivalente ao sistema de forças efetivas. 3 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. 2 A placa ABCD de 8,00 kg está sustentada pelas barras articuladas AE e DF e pelo fio B1L. Desprezando as massas de AE e DF, determine imediatamente após o corte de BII: a) a aceleração dt > centro de massa da placa; b) n força em cada barra. 4 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 500 mm 30° 30° 200 mm 150 mmE F CD A H FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. R.: Cinemática do Movimento: após se romper o fio BH, os vértices A e D movem-se ao longo de circunferências paralelas de raios iguais a 150 mm, centradas, respectivamente em E e F. O movimento da placa é, portanto, uma translação curvilínea; os pontos da placa movem-se em circunferências paralelas de raios iguais a 150 min. No instante em que BIT é cortado, a velocidade da placa é nula. Assim, a aceleração α do seu centro de massa G é tangente à trajetória circular que será descrita por G. Equações de Movimento: as forças externas consistem no peso P e nas forças FAE e FDF exercidas nas barras. Como a placa está em translação, as forças efetivas reduzem-se ao vetor aplicado a G e paralelo ao eixo t. Afirmaremos agora que o sistema de forças externas é equivalente ao sistema de forças efetivas. 5 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS a) ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DA PLACA: b) FORÇAS NAS BARRAS AE E DF: Usando (3) em (2), escrevemos: Notando que P = mg = (8,00 kg) (9,81 m/s2) = 78,5 N, temos: 6 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. 3 Uma roldana pesando 53,4 N e tendo raio de giração de 0,203 m está ligada a dois blocos, como ilustra a figura a seguir. Supondo que não exista atrito no eixo, determine a aceleração angular da roldana e aceleração de cada cilindro. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. 0,152 m 0,254 m 44,5 N 22,2 N 7 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. R.: Sentido do Movimento: embora pudéssemos supor um sentido arbitrário para o movimento (já que não existem forças de atrito) e posteriormente compará-lo com o sinal de resposta, preferimos primeiramente determinar o sentido correto do giro da roldana. Procuramos, em primeiro lugar, o peso do bloco B necessário para manter o equilíbrio da roldana quando ela está sob a ação do bloco A de 22,2 N, então escrevemos: Como o bloco B pesa 44,5 N, a roldana girará no sentido anti-horário: Cinemática de Movimento: supondo que a tenha o sentido anti-horário e notando que aA = rA.α e aB = rB.α, obtemos: Equações de Movimento: considere-se o sistema exclusivo composto pela roldana e os dois blocos. As forças externas a este sistema são os pesos da roldana e dos dois blocos em resposta a G. (As forças exercidas pelos cabos sobre a roldana e sobre os blocos são internas ao sistema considerado). Como o movimento da roldana é uma rotação baricêntrica e o movimento de cada bloco é uma translação, as forças efetivas reduzem-se ao momento Ia e aos dois vetores m.aA e m.aB.. O momento de inércia baricêntrica da roldana é: 8 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Como o sistema das forças externas é equivalente ao sistema de forças efetivas, escrevemos: FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. TÓPICO 2 1 Certo bloco com 1,07 x 10 N de peso está pendurado por meio de um fio inextensível envolto em um tambor com 0, 381 m de raio, ligado severamente a um volante. O conjunto tambor-volante tem um momento de inércia baricêntrico l = 14,2 kg.m2. No instante considerado, a velocidade do bloco é de 1,83 m/s para baixo. Sabendo-se que o mancal em A está mal lubrificado e que o atrito produzido nele é equivalente a um binário de momento M com intensidade de 81,4 N.m, determine a velocidade do bloco após ter descido 1,22 m. 9 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 0,381 m 1,07 kN FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. R.: Consideremos o sistema formado pelo volante e o bloco. Como o cabo é inextensível, os trabalhos produzidos pelas forças internas exercidas pelo cabo cancelam-se. As posições inicial e final do sistema e as forças externas que atuam sobre ele estão ilustradas na figura a seguir. Energia cinética: Posição 1, temos: 10 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. Posição 2: Observando que w2=u2/0,381, obtemos: Trabalho: no decorrer do movimento, apenas o peso P do bloco e o momento de atrito M produzem trabalho. Observando que P realiza um trabalho positivo e que o momento M produz um trabalho negativo escrevemos: Princípio do Trabalho e Energia: 11 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 2 A engrenagem A tem uma massa de 10 kg e um raio de giração de 200 mm, enquanto a engrenagem Btem uma massa de 3 kg e um raio de giração de 80 mm. O sistema está em repouso quando um momento M de módulo de 6 N.m é aplicado na engrenagem B, desprezando o atrito, determine: a) o número de revoluções executadas pela engrenagem B antes de sua velocidade angular atingir 600 rpm; b) a força tangencial que a engrenagem B exerce sobre A. TA = 250 mm TB = 100 mm B A M FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. R.: Movimento de todo o sistema: notando que as velocidades periféricas são similares, escrevemos: Para wB=600 rpm, temos: Energia Cinética: como o sistema está inicialmente em repouso T1=0, somando as energias das duas engrenagens, quando wB=600 rpm, obtemos: 12 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. Trabalho: chamando de θB o deslocamento angular da engrenagem B, temos: A Energia Cinética: inicialmente a engrenagem A está parada e T1 = 0. Quando wB = 600 rpm, a energia cinética da engrenagem é: Princípio do Trabalho e Energia: Princípio do Trabalho e Energia: 13 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 3 Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa e o mesmo raio, são liberados do repouso num plano inclinado. Determine a velocidade de cada corpo após ter rolado um intervalo equivalente a uma diferença k na altura. C ω v r FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019 R.: Primeiro resolvemos o problema em termos genéricos, particularizando-o posteriormente para cada corpo. Designamos a massa por m, o momento de inércia baricêntrico por I, o peso por P e o raio por r. Como os corpos rolam, o centro instantâneo de rotação de cada um deles está localizado em C, e podemos escrever: Trabalho: como a força de atrito F no movimento de rolamento não produz trabalho, temos: Energia Cinética: 14 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Princípio do Trabalho e Energia: Notando que P = mg, substituímos no resultado, obtendo: Velocidades da Esfera, Cilindro e Anel: substituindo I por seus valores particulares, obtemos: Esfera: Cilindro: Anel: Atenção: Podemos comparar os resultados com a velocidade obtida utilizando um bloco sem atrito que percorresse, deslizando, a mesma distância. Comparando os resultados, notamos que a velocidade do corpo I é independente tanto de sua massa quanto de seu raio. Entretanto, a velocidade depende do quociente 1/mr2 - k/r2, que representa a relação entre a energia cinética devido à rotação e à translação. Por causa disso, o anel, que possui o maior k para um dado raio r, adquire a menor velocidade, enquanto o bloco deslizante, que não gira, adquire a maior. 15 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para- engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o- beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019 UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Uma placa retangular de massa m suspensa por dois arames em A e B é atingida em D numa direção perpendicular a ela. Denotando-se por F∆t o impulso aplicado em D, determinar imediatamente após o impacto: a) a velocidade do centro de massa G; b) a velocidade angular da placa. 16 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS A D F ∆l a b C B FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. R.: Consideraremos que os arames ficam esticados. Temos, assim: E como os eixos x, y, z são eixos principais de inércia: Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento: uma vez que a quantidade de movimento inicial é nula, o sistema das quantidades de movimento finais e sistema dos impulsos deve ser análogo: 17 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS a) Velocidade do centro de massa: coincidindo quantidades de movimento nas direções x e z com as componentes dos impulsos: b) Velocidade angular: tornando igual quantidades de movimento e os momentos dos impulsos e em dependência aos eixos x e y: Em relação ao eixo x: Em relação ao eixo y: Confrontando as equações (1) e (2), constatamos: Observamos que w orienta-se ao longo da diagonal AC. Atenção: igualando-se as componentes y dos impulsos e das quantidades de movimento e seus momentos em comparação ao eixo zy, adquirimos duas equações complementares que compõem TA= TB = 1/2P. Verificamos, assim, que os arames permanecem esticados e que nossa suposição estava correta. 18 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 2 Um disco homogêneo de massa m e raio r está montado numa árvore OG de massa desprezível e comprimento L. A árvore está articulada num ponto fixo O, e o disco é obrigado a rolar sobre um piso horizontal. Sabendo-se que o disco gira no sentido anti-horário com velocidade angular w1 em torno da árvore OG, determinar: a) a velocidade angular do disco; b) seu momento angular em relação a O; c) sua energia cinética; d) o vetor e o momento em G equivalentes às quantidades de movimento dos pontos materiais do disco. L ω1 R.: a) Velocidade angular: caso o disco gire em volta da árvore OG, ela ainda gira em torno do eixo y numa razão w2 de sentido horário. A velocidade angular resultante do disco é, por conseguinte: Para resolver w2, escrevemos que a velocidade de C é nula: 19 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/beer-dinamica- 5%c2%aaed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Substituindo-se w2 em (1): b) Momento angular em relação a O: assumindo que a árvore é parte do disco, podemos examinar o disco havendo um ponto fixo em O. Como os eixos x, y e z são eixos principais de inércia do disco: c) Energia cinética: ocupando os valores achados para as componentes de w e os momentos de inércia, tomamos: 20 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS d) Vetor quantidade de movimento e momento angular em G: o momento angular Hg e o vetor quantidade de movimento mv são: e FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 3 Uma barra delgada AB, de peso P = 200 N e comprimento L = 2,40 m, está articulada em A num eixo vertical DE que gira com uma velocidade angular constante w de 15,0 rad/s. A barra é mantida na posição por meio de um arame horizontal BC ligado ao eixo e à extremidade B da barra. Determinar a tração no arame e a reação em A. L = 2,40 m β = 60˚ ω E C B A D 21 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS R.: As forças fixas reduzem-se ao vetor ma utilizado em G e ao momento HG. Como G descreve uma circunferência horizontal de raio r = 1/2L cosβ com velocidade angular constante w, obtemos: Cálculo de HG: inicialmente determinamos o momento angular HG. Usando os eixos centrais de inércia x, y, z temos: Foi obtida a derivada de HG em relação aos eixos de orientação fixa, temos: 22 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Equações de movimento: já que o sistema das forças efetivase o sistema das forças externas é semelhante, fazemos: 4 Duas barras A e B de 100 mm, cada uma com massa de 300 g, estão soldadas ao eixo CD, que é sustentado pelos mancais em C e D. Se um momento M de módulo igual 6,00 N • m é aplicado ao eixo, determinar as componentes das reações dinâmicas em C e D no instante em que o eixo atinge uma velocidade angular de 1200 rpm. Desprezar o momento de inércia do eixo. 23 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. R.: Momento angular em relação a O: definimos o sistema de referência Oxyz e vemos que os eixos adotados não são eixos principais de inércia do corpo. Como o corpo gira em torno do eixo x, temos wx= w e wy =wz = 0: Momentos das forças externas em relação a O: o sistema de referência gira com velocidade angular w: a) Reação dinâmica em D: as forças externas constituem: nas reações dinâmicas em C e D, nas reações imóveis em C e D e nos pesos do eixo e barras, no momento M. Como as reações estáticas e o peso se equilibram, as forças externas reduzem-se ao momento M e às reações dinâmicas C e D, como ilustradas na figura anterior. Assumindo momentos em relação a O, obtemos: Assemelhando os coeficientes do vetor unitário i em (1) e (2): 24 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Coincidindo os coeficientes de k e j em (1) e (2): Observando que o produto de inércia de cada barra é zero em relação aos eixos baricêntricos e aplicando o teorema dos eixos paralelos, temos: Combinando em (3) os valores encontrados, fazemos: Reação dinâmica em C: usando o sistema de referência dominante em D, tiramos equações iguais à Equação (3), que dão: 5 Um disco homogêneo de massa m e raio r está montado num eixo OG de massa desprezível e comprimento L. O eixo está articulado num ponto fixo O, e o disco é obrigado a rolar sobre um piso horizontal. Sabendo que o disco gira no sentido anti-horário com velocidade angular constante wj em relação ao eixo, determinar: a) a força (suposta vertical) exercida pelo piso sobre o disco; b) a reação na articulação O. L GO r FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. R.: a) As forças efetivas reduzem-se: ao momento HG e ao vetor ma fixo em G e recordando que o eixo gira ao redor do eixo y com velocidade angular w2= rw1 /L, fazemos: 25 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Cálculo de HG: recordando que o momento angular do disco em relação a G é: Em que HG está decomposto em componentes ao longo dos eixos em rotação x´ y´ z´ com x´ ao longo de OG e y’ vertical: Temos: b) Equações de movimento: o sistema de forças efetivas e equivalente ao sistema de forças externas, temos: 26 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Trocando ma por (1) e N por (3), e resolvendo para R: 6 Sabe-se que um satélite espacial de massa m é equivalente, dinamicamente, a dois discos finos de igual massa. Os discos têm raio a = 800 mm e estão rigidamente ligados por uma barra leve de comprimento 2a. Inicialmente o satélite está girando em torno de seu eixo de simetria a uma taxa wo = 60 rpm. Um meteorito, de massa mG.= m/1000, deslocando-se com uma velocidade v0 de 2000 m/s em relação ao satélite, atinge o satélite e encrava-se em C. Determinar: a) a velocidade angular do satélite imediatamente após o impacto; b) o eixo de precessão do momento resultante; c) as velocidades angulares de precessão e de rotação própria do movimento resultante. C 20 B A ω0 v0 y a z x FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. R.: Momentos de inércia: entendendo que os eixos delineados são os eixos principais de inércia do satélite, concebemos: 27 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Princípio do impulso e quantidade de movimento: tome o satélite e o meteorito segundo um sistema exclusivo. Enquanto não age qualquer força externa sobre o sistema, as quantidades de movimento prévia e posteriormente ao impacto são equipolentes. Tomando os momentos em relação a G, escrevemos: a) Velocidade angular posterior ao impacto: mudando os valores achados para as componentes de HG e para os momentos de inércia sobre: Fazemos: Substituindo os valores para o satélite achamos: 28 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS b) Eixo de precessão: no movimento natural, a direção do momento angular HG é constante no espaço, o satélite produzirá movimento de precessão em volta desta direção. O ângulo θ formado pelo eixo de precessão e o eixo z é: c) Velocidades angulares de precessão e de spin: esbocemos os cones espaciais e do corpo para o movimento autônomo do satélite. Utilizando a lei dos senos, calculamos as velocidades angulares de precessão e spin: FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 7 Determine o momento de inércia da barra dobrada mostrada na figura em relação ao eixo Aa. A massa de cada um dos trechos é informada na figura. 29 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. z z x x y y a A A B B C CD D 0,4 m a) b) 2 kg 4 kg 2 kg 2 kg 2 kg 4 kg (-0,1, 0, 0.2) (-0,2, 0,2 0,2) (0, 0, 0,1) 0,2 m 0,2 m 0,2 m R.: É importante resolver os produtos de inércia da barra e os momentos, em referência aos eixos x, y, z. Para isso, vamos usar os teoremas dos eixos paralelos e planos e a fórmula para o momento de inércia de uma barra delgada, dessa forma temos: O vetor unitário é quem define o eixo Aa: 30 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Sobrepondo esses termos na Equação 21.5, colhemos: 8 A barra mostrada na figura pesa 1,5 lb. Determine sua velocidade angular imediatamente após sua extremidade A ter caído sobre o gancho E. Devido a um mecanismo de fecho S, o gancho fornece uma ligação permanente para a barra. Considere que, imediatamente antes atingir o gancho, a barra está caindo a uma velocidade (vv)i = 10 pés/s. z y y' A G 1 pé 0,667 pé 0,5 pé S x x' E 0,333 pé z' a) b) A A A rG/A rG/A ∫Fdt m(vG)2 G G G (HG)2 m(vG)1 w∆i = 0 FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 31 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS R.: Conforme tem colisão, empregaremos quantidade de movimento/momento angular e o princípio do impulso. Diagramas de impulso e quantidade de movimento/momento angular: vejamos a imagem (b) anteriormente. Durante o breve intervalo de tempo ∆t, a força impulsiva F que age em A muda o momento angular da barra e a quantidade de movimento. Assim, se conserva em relação a A o momento angular da barra. Conservação do momento angular: o momento angular da barra: Estendendo e coincidindo os inerentes componentes i, j, k, tiramos: Cinemática: nessas equações têm quatro incógnitas, mas ocupando a cinemática, podemos conseguir uma quarta equação associando w com (vG)2: Das equações 2 a 5 resolvidas, obtemos: 9 Aplica-se um torque de 5 N.m ao eixo vertical CD que permite à engrenagem A de 10 kg girar livremente em torno de CE. Supondo que A parta do repouso, determine a velocidade angular de CD após duas voltas. Despreze as massas dos eixos e suponha que a engrenagem A possa ser aproximada por um disco fino. A engrenagem B é fixa. 32 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 0,3 m 0,1 m B D C M = 5N . m x y z FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun.2019. R.: Solução: Neste caso pode-se usar o princípio do trabalho e energia. Trabalho: levando em conta que os eixos CD e CE e a engrenagem A como corpos unidos, somente o torque M realiza trabalho. Energia cinética: sendo que a engrenagem parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero: A figura anterior mostra um diagrama cinemático para a engrenagem. Logo: 33 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Os eixos x, y, z desta figura são eixos principais de inércia em C para a engrenagem. Como o ponto C é um ponto fixo, a energia cinética pode ser determinada: Utilizando o teorema dos eixos paralelos, obtemos os momentos de inércia da engrenagem em relação ao ponto C: Princípio do trabalho e energia: usando o princípio do trabalho e energia, temos: 10 A engrenagem mostrada na figura tem massa de 10 kg e está montada a um ângulo de 10° em um eixo de massa desprezível. Se Iz = 0,1 kg.m2, Ix= ly = 0,05 kg.m2 e o eixo está girando a uma velocidade angular constante w= 30 rad/s, determine as reações dos mancais A e B. 0,25 m ω=30 rad/s 0,2 m X, x A Z z Y y 10° 10° 34 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS R.: Diagrama de corpo livre: levamos em conta a figura a seguir: FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. O ponto fixo é coincidentemente a origem do sistema de coordenadas x, y. z onde está localizado o centro de massa. Os eixos estão fixos na engrenagem e, portanto, giram com ela. Além disso, eles sempre representarão os eixos principais de inércia da engrenagem. Nessas condições, Ω = w. Cinemática: como apresenta a figura: A velocidade angular w é constante em módulo e tem sempre a direção do eixo AB. Como esse vetor é medido no sistema inercial X, Y, Z, tem-se para qualquer posição dos eixos x, y, z: Também, como G é fixo: 35 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Equações de movimento: utilizando as equações Ω = w. temos: Temos: Calculando o sistema de equações 1 a 4, obtemos finalmente: TÓPICO 2 1 O volante de 10 kg (ou disco fino) mostrado na figura gira em torno do eixo com velocidade angular constante ws = 6 rad/s. Ao mesmo tempo, o eixo gira (precessão) em torno do mancal em A com velocidade angular wp = 3 rad/s. Se o mancal em A é axial (mancal de pressão) e o mancal em B é radial, determine os componentes da força de reação em cada um dos suportes. 36 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 0,5 m 0,2 m ωz=6 rad/s ωp=3 rad/sB A 0,5 m R.: Diagrama de corpo livre: veja a figura a seguir. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. A origem do sistema x, y, z está localizado no centro de massa G do volante. Consideraremos para esse referencial uma velocidade Ω = wp = (3k) rad/s. Embora o volante gire relativamente a esses eixos, os momentos de inércia permanecem constantes, isto é: 37 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Cinemática: em relação ao sistema inercial X, Y, Z, coincidente, tem-se: O volante tem velocidade angular w = (6j + 3k)rad/s, de modo que: A derivada temporal de w deve ser determinada relativamente ao sistema x, y, z. Nesse caso, tanto wp quanto ws não se modificam e, portanto: Equações de movimento: aplicando Ω ≠w temos: 38 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Que resulta em: Resolvendo as equações acima, obtemos: Vejamos que, se não ocorresse a precessão, wp = 0, as reações em A e B seriam iguais a 49,05 N. No caso aqui estudado, todavia, toda vez que um corpo em rotação apresenta movimento de precessão em torno de outro eixo, cria um ‘momento giroscópico’, provocando diferença nas reações. 2 O pião de 0,5 kg mostrado na figura tem movimento de precessão em torno do eixo vertical a um ângulo constante θ = 60°. Sendo a velocidade angular do movimento de spin ws = 100 rad/s, determine a velocidade de precessão wp. Suponha que os momentos de inércia transversal e axial do pião sejam 1,20(10“3) kg-m2 e 0,45(10-3) kg-m2, respectivamente, medidos em relação ao ponto fixo O. ωs=100 rad/s ωp=ϕ 50 mm FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. 39 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. R.: Solução: Como se mostra no diagrama de corpo livre (figura a seguir), o movimento é de precessão estacionária. Os eixos coordenados são estabelecidos da forma usual, isto é: o eixo positivo x na direção e sentido do torque ΣMx e com o eixo z positivo na direção e sentido do spin, o eixo positivo Z na direção e sentido da precessão, Assim: Manipulando essa equação do segundo grau para a precessão, temos: Como a alta precessão exige uma grande energia cinética, observa-se em geral, a baixa precessão. 3 O disco de 1 kg mostrado na figura tem movimento de spin com velocidade angular constante wD = 70 rad/s em torno de seu eixo. Pelo ajuste da posição s do bloco B de 2 kg, pode-se modificar a precessão do disco em torno do pivô de sustentação em O. Determine a posição s que permite ao disco ter velocidade de precessão constante wp = 0,5 rad/s em torno do pivô. Despreze o peso do eixo. 40 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. ωD=70 rad/s ωp=0,5 rad/s 50 mm 200 mm D B s O R.: F representa a força de reação do eixo sobre o disco da figura a seguir, que mostra o diagrama de corpo livre do disco, em que: FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. A origem para os sistemas de coordenadas x, y, z e X, Y, Z está localizada no ponto O, que é um ponto fixo para o disco. No sentido convencional, escolhe-se o eixo Z ao longo do eixo de precessão e o eixo z ao longo do eixo de spin, de modo que θ = 90°. Uma vez que a precessão é estacionária, temos: 41 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Manipulando os dados na equação, escrevemos: A figura a seguir mostra no diagrama de corpo livre do eixo e do bloco B: O somatório dos torques em relação ao eixo x exige que: 4 Usa-se um projetor de filme em câmera lenta para observar o movimento de uma bola de futebol americano. Percebe-se do filme que a direção do spin da bola forma um ângulo de 30° com a direção horizontal: 42 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS A bola também apresenta uma precessão em torno do eixo vertical a uma taxa ᶲ = 3 rad/s. Se a razão entre os momentos de inércia axial e transversal da bola, em relação ao centro de massa, é de 1/3, determine o módulo da velocidade de spin e da velocidade angular da bola. Despreze os efeitos da resistência do ar. R.: Solução: O movimento é livre de torques, já que o peso da bola é a única força agindo. No sentido convencional, se o eixo z é estabelecido ao longo do eixo de spin e o eixo Z, ao longo do eixo de precessão, como mostra a figura a seguir: FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. Ψ 30° ϕ = 3 rad/s 43 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Dessa forma, o ângulo θ = 60°. A velocidade de spin: Obtemos: Sendo assim:UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Dado o sistema mecânico, visto na figura a seguir, com massa m = 12 kg, rigidez da mola de k = 1200 N/m e com condições iniciais de deslocamento e velocidade de x0 = 0.02 m e v0 = 0, respectivamente, pede-se: a frequência natural não amortecida, o cálculo da resposta de vibração do sistema e a amplitude máxima de deslocamento. 44 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FIGURA – SISTEMA MASSA-MOLA COM 1 GDL Fonte: Adaptada de <https://midia.atp.usp.br/plc/plc0002/impressos/plc0002_11. pdf>. Acesso em: 4 jun. 2019. R.: Solução: A frequência natural é: Ou convertendo para Hz tem-se fn = 1.59 Hz. Após a construção de um DCL constata-se que a equação do movimento deste sistema simples é mx¨ + kx = 0. x(t) =A.sen (ωn t) + B.cos (ωn t). As constantes A e B são descritas a partir do conhecimento das condições iniciais de deslocamento e velocidade: Assim, a resposta de oscilação deste sistema é descrita por: x(t) =0.02cos (ωn t) Já a amplitude máxima de deslocamento é: O sistema vibra como uma senoide com frequência natural de 1.59 Hz e com amplitude máxima de 0.02 m. 45 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 2 Uma massa de 4.5 kg é suspensa por uma mola de rigidez k = 1400 N/m. Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c = 50 N.s/m é conectado ao sistema. Determine o fator de amortecimento ξ, a frequência natural ωn e a frequência natural amortecida ωd. R.: Solução: A frequência natural ωn é descrita por: GRÁFICO – EXEMPLO DE RESPOSTA DO SISTEMA SUBAMORTECIDO FONTE: <https://brainly.com.br/tarefa/11363903>. Acesso em: 4 jun. 2019. Ou em Hz, fn = 21π ωn = 2.8 Hz. Já o coeficiente de amortecimento crítico cc é dado por: cc = 2mωn = 2(4.5) (17.63) = 158.67 N.s/m. Com isto, o fator de amortecimento ξ é dado por: 46 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Como ξ está no intervalo 0 < ξ < 1 este sistema possui movimento oscilatório subamortecido. A frequência natural amortecida é dada por: 3 Uma máquina com 45 kg é montada em cima de um isolador não amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2 × 105 N/m em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32 Hz, a amplitude em regime permanente Xp é medida a partir de um teste experimental e corresponde a 1.5 mm. Qual a magnitude da força que excita esta máquina nesta velocidade? R.: Solução: A frequência natural deste sistema é calculada por: (3.1E) (3.2E) (3.3E) (3.4E) A frequência de excitação em rad/s é calculada como ω = 2πf = 2π(32). Com isto, a razão entre frequências do sistema é calculada como: Como o sistema é montado em um isolador sem amortecimento (ξ = 0) com um r > 1 o fator de ampliação M (r, ξ) é: Obtém-se o valor da amplitude da força de excitação deste sistema: 47 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS (3.5E) (3.6E) (3.7E) (3.8E) TÓPICO 2 1 Uma máquina rotativa tem massa de 500 kg e um desbalanceamento m0 e = 5.8 kg.m. Quando são usados amortecedores com fator de amortecimento ξ = 0.2; especifique as molas para montagem tal que somente 10% da força de desbalanceamento seja transmitida ao chão. Determine também a intensidade da força transmitida. O ventilador gira a uma velocidade de 1000 rpm. R.: Solução: A rotação da máquina em rad/s é dada por: A transmissibilidade TR desejada é de 10% assim a razão r necessária é calculada por: Resolvendo a equação acima chega-se a r=4.72>√2, que corresponde à faixa de isolamento. Após o r calculado obtém-se a frequência natural ωn necessária: Lembrando que a rigidez é dada por k = mωn, tem-se que mola deve ter uma rigidez k = 246198 N/m. Por fim, a intensidade da força transmitida é: 2 Um tambor, com um cabo de aço, é montado na extremidade de uma viga em balanço como mostra a Figura 3E (a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo é l. São conhecidos o comprimento da viga, sua largura e sua espessura. Assumir que o diâmetro do cabo e os módulos de elasticidade da viga e do cabo são iguais a: d, Kb e kr. R.: A constante de mola da viga em balanço é dada por: 48 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS (3.9E) (3.10E) (3.11E) FIGURA 3E – SISTEMA DE ELEVAÇÃO FONTE: <HTTPS://PT.SCRIBD.COM/DOCUMENT/341620074/VIBRACOES- MECANICAS-RAO-SINGIRESU-4%C2%AA-ED-PDF>. acesso em: 28 jun. 2019. A rigidez do cabo submetido a carregamento axial é: A viga em balanço e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em série, cuja constante de mola equivalente é: 49 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 3 Qual dos equipamentos a seguir, de acordo com a Avaliação da Ex- posição Ocupacional a Vibração de Corpo Inteiro da Fundacentro é considerada adequada para a aferição de vibração? a) ( ) Dosímetro de ruído. b) ( ) Monitor de IBUTG. c) ( x ) Acelerômetro. d) ( ) Anemômetro. e) ( ) Higrômetro. 4 Numa instalação frigorífica, uma seção da canalização condutora do fluido refrigerante vibra em ressonância quando a velocidade do compressor é de 232 cpm. Para eliminar esta dificuldade, foi propos- to que se ligasse à canalização um sistema massa-mola. Fez-se uma prova com um absorvedor de 2 lbf e ajustado para 232 cpm obtendo- -se duas frequências naturais de 198 cpm e 272 cpm. Se quisermos projetar um absorvedor de tal modo que as frequências naturais es- tejam fora da região de 160 a 320 cpm, quais deverão ser o peso e a constante de mola a serem usadas? R.: Resolução: Somando as equações para p1 e p2: Para o 1o absorvedor: 50 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Para o 2o absorvedor: FIGURA 4E – ZONA DE RESSONÂNCIA FONTE: Adaptada de <https://pt.scribd.com/document/341620074/Vibracoes- Mecanicas-Rao-Singiresu-4%C2%AA-Ed-pdf>. Acesso em: 28 jun. 2019. Satisfaz a condição: 51 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Então: Logo: Assim: 5 Um transdutor com ωn = 1 Hz é usado para medir uma vibração de ω = 4 Hz. A amplitude indicada pelo transdutor é de 1,3 mm. Qual a amplitude correta? (ξ = 0). R.: Solução: Primeiramente, calculamos a razão entre frequências: (3.12E) (3.13E) O que significa que o transdutor tem alta frequência natural, assim: 6 O motor elétrico de peso 150 N está apoiado sobre 4 molas iguais, cada uma com rigidez k = 4000 N/m. O raio de giração (rG) em relação ao eixo de rotação é 0,15 m, a velocidade de rotação (n) é 3500 rpm, e a distância das molas em relação ao CG é 0,18 m. (O rotor sendo visto como um cilindro). Determinar as frequências naturais do sistema. 52 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS FIGURA 5E – MOTOR ELÉTRICO SOBRE MOLAS FONTE: <https://pt.scribd.com/document/341620074/vibracoes-mecanicas-rao- singiresu-4%c2%aa-ed-pdf>. acesso em: 28 jun. 2019. R.: Solução: Análise considerando um (1) grau de liberdade: 7 Para o cálculo do desbalanceamento residual, como exemplo, consideremos um rotor de bomba com classe G 6,3 que deve ser balanceado em dois planos entre mancais, sabendo-se que sua máxima velocidade de trabalho é 3600 rpm e sua massa 40 kg. Determinar o desbalanceamento residual permissível em cada um dos planos de balanceamento. R.: Solução: Vamos descrever alguns tipos de máquinas que se enquadram em algumas classes: 53 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS QUADRO – TIPOS DE MÁQUINAS G Tipos de máquinas 4000 250 40 6,3 2,5 0,4 Virabrequins de motores marítimos lentos. Virabrequins de motores diesel rápidos com 4 cilindros. Rodas de automóveis; eixos de transmissão. Ventiladores; volantes; rotores de bombas. Turbinas a gás e a vapor; acionamento de máquinas-ferramentas fusos de retificadoras de alta precisão; giroscópios. FONTE: O autor É importante mostrar por que o desbalanceamento específico admissível varia inversamente a rotação do rotor. Para tanto, consideremos dois rotores similares de tamanhos diferentes, nos quais a única solicitação é devida ao desbalanceamento. A solicitação é: O momento fletor em uma seção crítica é representado por: A tensão máxima fica: Conclui-se que máquinas semelhantes,dimensionadas para suportar esforços dinâmicos têm velocidades semelhantes. Logicamente, a aceleração da máquina menor é maior, e seu deslocamento é menor. Por exemplo, quando comparamos um motor alternativo de pistão de um navio, com aquele de um aeromodelo, notamos que a velocidade média do pistão é aproximadamente a mesma (9 m/s), apesar da escala de comprimento ser centenas de vezes maior no motor de navio. 54 DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS 8 Para amortecer o movimento de um ponteiro de um instrumento, o mesmo é conectado a uma lâmina de aço com 30 x 30 mm posicionada entre duas placas, com um espaço de 0,1 mm de cada lado e confinada a se mover em uma direção permanecendo paralela às placas. Determinar a constante de amortecimento se o espaço entre as placas é preenchido com óleo de viscosidade η = 20 mPa.s. R.: Solução: O amortecimento é devido a um atrito viscoso, com = 2 * 0,03 * 0,03 = 1,8 * 10-3, 2 m= 0, 0001 m. Portanto:
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