Falhas em Elementos Mecânicos

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Falhas em elementos mecânicos
Prof. Carlos Frederico de Matos Chagas
Descrição
Conceitos de tensão devido ao carregamento sobre um elemento
mecânico, a relação entre o carregamento externo atuante e a tensão
gerada no material. Conceitos de falha em virtude de carregamento
estático e falha por fadiga devido a carregamento dinâmico.
Propósito
Apresentar a relação entre o carregamento externo e a tensão induzida
no material, bem como a relação entre a tensão e a deflexão
correspondente, aplicando essas relações para o cálculo de tensões e
deformações devido aos diferentes carregamentos é fundamental para
evitar falhas e acidentes.
Objetivos
Módulo 1
Análise de cargas e tensões
Reconhecer os tipos de carregamento e a relação com as tensões
causadas no material.
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Módulo 2
Tensão, de�exão e rigidez do material
Identificar a relação entre a tensão, a deflexão correspondente e a
rigidez do material.
Módulo 3
Carregamento estático, tensão e deformação
Aplicar as relações entre carregamento estático, tensão e
deformação para análise de falha devido a carregamento estático.
Módulo 4
Falha por fadiga em carregamento dinâmico
Aplicar a relação entre o carregamento dinâmico e as tensões
induzidas no material para analisar a ocorrência ou não de falha por
fadiga devido ao carregamento dinâmico.
Introdução
Assista ao vídeo e identifique os principais conceitos que serão
trabalhados ao longo deste material.

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1 - Análise de cargas e tensões
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os tipos de carregamento e a relação
com as tensões causadas no material.
Vamos começar!
Relação entre o carregamento
externo e a tensão em um elemento
mecânico
Conheça melhor a relação existente entre o carregamento externo e a
tensão em um elemento mecânico.
Diferentes tipos de cargas

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Análise de cargas e tensões
Todos os elementos de uma máquina ou sistema mecânico estão
sujeitos a diferentes tipos de carregamentos que podem estar atuando
devido à transmissão de energia, torque ou de potência, por seu próprio
peso, por forças de atrito, inércia, forças centrífugas ou devido ao
gradiente de temperatura. Esses carregamentos externos, de acordo
com a geometria do sistema, com o movimento realizado pelas peças e
pelo tipo de junção entre os elementos de máquinas poderão originar
diferentes formas de tensão no material:

Tensões normais
Tração ou compressão
devido ao carregamento
nessas direções ou
devido à flexão.

Tensões de
crisalhamento
Essas tensões estão
diretamente
relacionadas aos
esforços cortantes ou
de torção.
Além disso, de acordo com o comportamento do carregamento ou
como consequência do movimento do sistema mecânico, o
carregamento poderá ser estático ou dinâmico.
Carga estática
Este tipo de carga não muda em magnitude ou direção e aumenta
gradualmente para um valor estável, por exemplo, pelo próprio peso dos
elementos da máquina.
Carga dinâmica
Muda em magnitude e/ou direção em relação ao tempo. Um exemplo é
a carga atuando na biela de um motor de combustão interna que varia
conforme a posição do pistão e do tempo do motor.
As cargas de impacto (carga aplicada com certa velocidade) e as cargas
de choque (carga aplicada repentinamente) também são tipos de cargas
dinâmicas, mas recebem essa denominação diferenciada porque são
aplicadas em elevadas taxas, ou seja, atingem rapidamente o valor
máximo e descarregam o material também rapidamente.

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A determinação precisa das cargas atuando em um elemento de
máquina é uma tarefa crítica e desafiadora. Inicialmente, deve-se
calcular adequadamente os carregamentos externos a que o elemento
de máquina ou peça estará submetido, pois todas as análises de
tensões e deflexões, para serem satisfatórias, dependem do cálculo
adequado desses carregamentos.
Há casos em que as cargas sob as condições de operação são
facilmente determináveis, como, por exemplo, a carga em um eixo
funcionando a uma velocidade conhecida e transmitindo um valor
conhecido de torque. No entanto, muitas vezes as cargas são difíceis de
se determinar, como é o caso da carga sobre o chassi de um veículo,
que depende das condições da estrada e das práticas de direção. As
cargas atuando em uma peça ou elemento de máquina podem ser
conhecidas diretamente ou podem demandar a realização de cálculos
usando conceitos básicos de engenharia mecânica.
Exemplo de chassis de veículo.
Há casos em que é necessário utilizar métodos experimentais para se
obter uma definição estatística da carga. Além disso, as cargas de
serviço podem ser estimadas com a ajuda de registro de falhas de
serviço e análise de resistência. Após a determinação ou estimativa da
carga externa aplicada, as cargas que atuam sobre os diferentes
membros da máquina são determinadas com o auxílio de diagramas de
corpo livre e equações básicas de equilíbrio de forças e momentos.
Uma vez conhecidos os esforços aplicados sobre os elementos de
máquinas ou peças, bem como o ponto de aplicação, podemos calcular
as tensões internas no material. Assim sendo, podemos concluir que as
tensões provocadas no material estão intimamente ligadas ao
carregamento aplicado sobre ele. Além disso, de acordo com o material
do elemento de máquina e suas respectivas propriedades, poderemos
determinar as deflexões do material.
Análise de cargas
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A fim de se iniciar o projeto da estrutura de um sistema mecânico é
preciso determinar os carregamentos atuando sobre cada elemento que
o compõe, para, em seguida, calcular as tensões no material. Para isso,
conforme a mecânica clássica, é necessário entender as cargas
aplicadas, os pontos de aplicação dos esforços e as restrições aos
movimentos impostas pelas juntas entre as peças do sistema.
Podemos simplificar bastante a análise de uma
estrutura ou máquina muito complexa isolando
sucessivamente cada elemento e analisando-o pelo
uso de diagrama de corpo livre (DCL).
Após a análise de todas as peças dessa maneira, o conhecimento
obtido sobre cada uma pode ser superposto para produzir informações
sobre o comportamento do sistema como um todo. Assim, o diagrama
de corpo livre é essencialmente um meio de dividir um problema
complexo em problemas menores segmentados e gerenciáveis.
Cada peça analisada configura um problema mais simples cuja solução
servirá como entrada para outro problema simples, de maneira que, ao
final do procedimento, seja possível reunir todas as soluções, como se
estivéssemos remontando o sistema que foi dividido e juntando as
informações obtidas.
O uso de diagramas de corpo livre para determinação de esforços ou
carregamentos serve aos seguintes propósitos (BUDYNAS; NISBETT,
2015):
1. Inicialmente, no diagrama se estabelecem as direções dos eixos de
referência (referencial), proporcionando ainda um meio para
esquematizar o sistema e suas peças, registrando as dimensões
dos elementos e as magnitudes e direções dos carregamentos
conhecidos, além de auxiliar o projetista ou sua equipe a arbitrar as
direções e sentidos dosesforços desconhecidos.
2. O diagrama de corpo livre proporciona uma ferramenta de
comunicação visual importante para a sistematização da solução
de problemas de projeto, sendo de grande valia para a organização
do projetista e paraa comunicação clara inequívoca dos cálculos
realizados para outros interessados no projeto.
3. A construção cuidadosa e completa do diagrama de corpo livre
evidencia pontos que nem sempre são aparentes na definição do
problema ou na geometria do sistema como um todo. Assim, o
diagrama ajuda a compreender todas as faces do problema.
4. O diagrama de corpo livre, ao fornecer uma ferramenta de
comunicação visual, auxilia na obtenção do equacionamento do
problema e, consequentemente, na sua solução.
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5. O diagrama de corpo livre permite que outros sigam o raciocínio do
projetista ou sua equipe, ilustrando todos os esforços
considerados, suas direções, sentidos e pontos de aplicação.
A seguir, ilustraremos a utilização de um diagrama de corpo livre para
análise dos esforções sobre uma estrutura. Considere o sistema da
imagem seguinte:
Considere que o sistema apresentado foi projetado para suportar uma
carga de 30kN. O sistema é composto por uma lança AB com seção reta
retangular de 30mm x 50mm e de uma barra com seção reta circular BC
com diâmetro de 20mm. A lança e a barra são conectadas por um pino
em e são suportadas por pinos e suportes em e ,
respectivamente.
Inicialmente, desenharemos um diagrama de corpo livre da estrutura,
destacando-a de seus apoios em e , e substituindo os apoios
pelos esforços que exercem sobre a estrutura (reações) conforme a
figura a seguir.
B A C
A C
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Observe que o esboço da estrutura foi simplificado omitindo todos os
detalhes desnecessários. Vamos prosseguir a análise, assumindo que
as direções das reações em e são desconhecidas. Cada uma
dessas reações, portanto, será representada por suas componentes nas
direções e componentes, e em , e e
 em . Assim, considerando que a estrutura está em equilíbrio,
teremos:
Ainda resta determinar os valores de duas das quatro reações: e
, o que não pode ser feito a partir da última equação. Como temos
duas incógnitas, precisamos de mais uma equação. Para determiná-la,
"desmontaremos" a estrutura, em outras palavras, vamos analisar a
lança isoladamente. Substituindo as forças nos pinos pelos
respectivos esforços, o diagrama de corpo livre considerado é o
seguinte:
Aplicando as equações de equilíbrio e fazendo o somatório dos
momentos em torno de igual a zero:
Mas,
Portanto, as forças externas agindo sobre a lança AB e a barra BC
podem ser determinadas pois conhecemos os carregamentos em ,
 e .
 e , logo 
A C
x y Ax Ay A Cx
Cy C
∑Mc = 0 → Ax ⋅ 0, 6 − 30.0, 8 = 0
 Ax = 40kN
∑Fx = 0 → Ax + Cx = 0
Cx = −Ax → Cx = −40kN
∑Fy = 0 → Ay + Cy − 30 = 0
Ay
Cy
AB
B
∑MB = 0 → Ay ⋅ 0, 8 = 0 → Ay = 0
Ay + Cy − 30 = 0 → Cy = 30kN
A
B C
Ax = 40kN → Ay = 0 A = 50kN →
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, assim 
 e , portanto 
Para a lança AB, a reação em induz a compressão da lança, pois
tem a mesma intensidade, mas o sentido oposto da componente
horizontal da reação em , conforme a imagem.
Onde , ou seja, 
Já a reação em e a força de aplicada em ,
submetem a haste a um esforço de tração, conforme ilustrado a
seguir.
Onde , ou seja, .
Conhecendo as forças externas nas barras, podemos calcular a tensão
resultante no material.
Análise de tensões
Tensão no material
Uma vez que podemos calcular os esforços sobre um sistema mecânico
e suas peças ou elementos, podemos calcular a tensão no material.
Essa tensão é uma consequência direta do tipo de carregamento e das
restrições aos movimentos do sistema ou peça. A tensão pode ser
Bx = −40kN ← eBy = 30kN ↑ B = 50kN
Cx = −40kN ← Cy = 30kN ↑ C = 50kN
A
B
FAB = 40kN FAB = Ax = A
C 30kN B
BC
FBC = 50kN FBC = C
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normal, representada pela letra grega ou tensão de cisalhamento
(ou cisalhantes), representadas pela letra .
Os dois tipos de tensão podem ocorrer isoladamente
(tração ou compressão pura, no caso da tensão
normal, ou cisalhamento puro) ou de forma combinada,
ou seja, tensões normais e de cisalhamento atuando
ao mesmo tempo.
As unidades de tensão mais comuns são libras por polegada quadrada
(PSI), caso se utilize o sistema inglês. Para unidades Sistema
Internacional (SI), a unidade de medida das tensões é newtons por
metro quadrado ou diferentes tipos de tensão que
podemos encontrar em um sistema ou estrutura. A seguir, estudaremos
os diferentes tipos de tensão que podemos encontrar em um sistema ou
estrutura.
Tensão de tração
Tensão normal
Como já indicamos, a haste do exemplo analisado na seção
anterior está sujeita à ação das forças força e agindo
em suas extremidades e na direção a ao longo do eixo da
haste, que, conforme já dito, caracteriza que a haste está sendo
tracionada por uma carga axial. Um exemplo real de elementos
estruturais sob carregamento axial são os elementos da treliça da ponte
mostrada na imagem a seguir.
Ponte levadiça em Antuérpia, Bélgica.
Um elemento submetido a um carregamento axial pode estar sob tração
(tendência de aumentar a dimensão na direção do carregamento) ou
σ
τ
(N/m2 Pa)
BC
FBC F ′
BC
B C
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sob compressão (tendência de reduzir a dimensão na direção do
carregamento), conforme observado na imagem seguinte.
O valor da tensão devido à tração e a tensão devido à
compressão podem ser calculadas pela expressão:
Onde:
 - tensão tratativa ou compressiva, conforme o caso;
 - carregamento externo sobre o elemento;
 - área da seção reta do elemento (seção normal à direção do
carregamento externo, daí o nome tensão normal).
A tensão tratativa tem valor positivo e, a compressiva, valor negativo. Há
ainda a tensão normal induzida pela flexão de um elemento mecânico.
Na imagem a seguir, um elemento mecânico é submetido a um
momento fletor que provoca a sua flexão.
Em tal condição, a porção do elemento acima do eixo neutro está
submetida à compressão e, a porção abaixo do eixo neutro, submetida à
tração. O valor absoluto da tensão varia linearmente de 0, sobre o eixo
neutro, até o valor máximo a uma distância c do eixo neutro, conforme
ilustrado a seguir:
(σt)
σ =
P
A
σ
P
A
M
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O valor máximo da tensão devido à flexão pode ser calculado por meio
da equação a seguir:
Onde:
 - tensão normal devido à flexão;
 - maior distância até o eixo neutro da seção reta;
 - momento de inércia de área da seção reta em relação ao eixo
neutro.
Para compreendermos como calcular a tensão normal em diferentes
condições de carregamento apresentaremos alguns exemplos de
cálculo na sequência. Primeiramente, considere a imagem a seguir. A
barra da imagem tem seção reta circular com diâmetro de 2,5cm.
Como a tensão normal nesse caso é calculada pela fórmula 
e , calculamos , onde
.
Assim,
O segundo exemplo trata de uma barra com seção reta retangular
 e submetida à flexão
σ = −
Mc
I
σ
c
I
σ =
P
A
P = 250 N A =
πd2
4
d = 2, 5cm(0, 025m)
σ =
250
π(0,025)2
4
σ = 509, 3MPa
(b = 3, 5cm h = 4cm)
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 pura conforme a imagem seguinte:
No caso de tensão normal devido à flexão, , onde c é a
distância do eixo neutro à extremidade da barra. Nesse caso, como a
seção reta é simétrica, , . Além disso, dado
que o elemento estrutural considerado tem seção reta retangular:
Finalmente, vamos analisar o últimoexemplo, que é mais completo e
complexo. É importante salientar que calcularemos somente a tensão
normal devido à flexão e não consideraremos outras tensões
envolvidas. A imagem a seguir ilustra a situação que analisaremos. A
viga AB da figura tem seção reta circular com 2,5cm de diâmetro.
Utilizaremos o diagrama de corpo livre (DCL) para determinar os
esforços nos apoios. A próxima imagem ilustra o DCL em questão.
Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da
estrutura, temos:
(M = 300 Nm)
σ = −
Mc
I
c =
h
2
, log c = 2cm
I =
bh3
12
= 5, 6 ⋅ 10−5m4
σ = −
300.0, 02
5, 6 ⋅ 10−5′
σ = 107, 1MPa
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Agora, construiremos um diagrama de momento fletores para a
situação. Para isso, consideramos o apoio como referência e
calculamos o momento fletor em função da distância da seção
considerada em relação ao ponto .
Ao analisarmos o diagrama de momento fletor, observamos que a seção
em que o momento possui o maior valor absoluto é a seção central da
viga. Como a seção reta da viga é circular com diâmetro de
, dado que , e
:
Tensão tangencial
Tensão de cisalhamento
Quando forças transversais V e V’ são aplicadas a um elemento
estrutural AB, como na figura a seguir, ao contrário do que ocorre com a
tensão normal (quando há tendência de alteração do comprimento do
elemento sob carregamento), ocorre, em vez disso, a tendência de
distorcer o elemento. Passando uma seção em entre os pontos de
aplicação das duas forças (b), obtemos o diagrama da porção AC
mostrada na figura em c. Logo, a resultante das forças internas na face
da seção em deve ser igual a V.
∑MA = 0
 5 ⋅ R2 − 2, 5 ⋅ 100 = 0
R2 = 50 N
∑Fy = 0
R1 + R2 − 100 = 0
R1 + 50 − 100 = 0
R1 = 50 N
A
A
d
2, 5cm σ = −
Mc
I
I =
πd4
64
c = 1, 25cm
σ = 81, 5MPa
C
C
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Essas forças internas elementares são chamadas de tensão de
cisalhamento ou cisalhantes e são representadas pela letra .
Dividindo o esforço cortante pela área da seção transversal,
obtemos o valor médio da tensão cisalhante.
Deve-se ressaltar que o valor obtido por essa equação é um valor médio
da tensão de cisalhamento em toda a seção. Ao contrário das tensões
normais, a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da seção
não pode ser considerada uniforme. O valor real da tensão de
cisalhamento varia de zero na superfície externa do elemento até um
valor máximo , que pode ser muito maior do que o valor médio
.
Cisalhamento transversal devido à �exão
Quando uma viga, eixo ou barra sofre um carregamento transversal,
além do momento fletor, há uma força cortante que causa uma tensão
de cisalhamento no elemento estrutural. A imagem seguinte, baseada
na que foi utilizada no último exemplo que estudamos sobre a tensão
normal em um elemento sob flexão, mostra o diagrama de esforço
cortante para aquele tipo de carregamento.
Carregamento
τ
V A
τav =
V
A
τmax
τav 
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Diagrama de esforço cortante
O cisalhamento devido a um carregamento transversal ou cortante não
é fácil de se visualizar. Considere uma viga em balanço composta por
três pranchas de madeira. Se não estiverem unidas por algum meio, a
aplicação de uma carga na extremidade livre das pranchas fará com que
se dobrem (flexionem) e deslizem uma sobre a outra, conforme
mostrado na imagem a seguir. Se, ao invés disso, as pranchas forem
coladas, por exemplo, a cola impedirá que as pranchas deslizem em
relação às outras. Essa resistência ao deslizamento, ou resistência a
forças paralelas à superfície da viga, gera uma tensão de cisalhamento
no material.
Considere o carregamento representado na imagem a seguir:
A fórmula para cálculo da tensão cisalhante (ou de cisalhamento),
simbolizada pela letra grega τ gerada por um esforço cortante
(carregamento transversal) V é a seguinte:
Onde:
 - tensão de cisalhamento;
 - esforço cortante;
 - primeiro momento de área ou momento estático;
 - primeiro momento de inércia de área;
 - espessura da viga.
Cisalhamento devido à torção
τ =
VQ
Ib
τ
V
Q
I
b
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu
eixo longitudinal. Se a aplicação desse torque gera uma torção pequena,
ou seja, o ângulo de rotação resultante da aplicação desse torque é
reduzido, o comprimento do elemento e as dimensões de sua seção reta
permanecem inalterados. Observe a imagem seguinte:
Se fizermos o mesmo tipo de análise que fizemos quando
apresentamos o conceito de cisalhamento, temos a condição da
imagem seguinte:
O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque
interno, igual e oposto ao torque aplicado. A tensão de cisalhamento
máxima é calculada pela expressão:
Onde:
 – torque aplicado sobre o elemento;
 – raio da seção reta;
 – momento polar de inércia da seção reta.
Na continuação, apresentaremos alguns exemplos para esclarecer os
cálculos da tensão cisalhante em diferentes condições de
carregamentos. Inicialmente, retornaremos a uma viga sob flexão,
conforme as condições em seguida:
τmax =
T ⋅ r
J
T
r
J
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A viga AB da figura tem seção reta circular com 2,5cm de diâmetro.
Inicialmente, utilizamos o DCL a seguir para cálculo das reações nos
apoios:
Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da
estrutura, temos:
Agora, construiremos um diagrama de esforço cortante:
O maior valor do esforço cortante ocorre no centro da viga (valor
absoluto ). Assim, a tensão de cisalhamento máxima
será:
∑MA = 0
5 ⋅ R2 − 2, 5 ⋅ 100 = 0
R2 = 50 N
∑Fy = 0
R1 + R2 − 100 = 0
R1 + 50 − 100 = 0
R1 = 50 N
= 100 N
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Mas,
Logo,
Cabe ressaltar que o valor máximo da tensão cisalhante é bem inferior
ao valor máximo da tensão normal devido à flexão anteriormente
calculado e .
Finalmente, analisaremos o caso de um eixo submetido à torção,
conforme a seguinte imagem:
O torque aplicado é kN.m e o diâmetro do eixo é de
. Nessas condições, a tensão de cisalhamento máxima será:
τmax =
100Q
Ib
I =
π0, 0254
64
 e Q =
π0, 0258
8
τmax = 1, 3MPa
(τmax = 1, 3MPa σmax = 81, 5MPa)
T = 10
10cm
τmax =
Tr
J
=
10000 ⋅ 0, 05
π0,14
32
τmax = 51MPa
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Assinale a alternativa com o valor correto da tensão normal devido
à flexão na situação ilustrada na imagem.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Inicialmente, o diagrama de corpo livre que ilustra o carregamento é
o seguinte:
Para que o elemento estrutural esteja em equilíbrio 
A σ = 32kPa
B σ = 133, 3kPa
C σ = 32MPa
D σ = 133, 3MPa
E σ = 320kPa
∑M = 0
M = 500 ⋅ 3 = 1500N .m
σ = −
Mc
I
σ =
1500 ⋅ 0, 075/2
0, 05 ⋅ 0, 0753/12
σ = 32MPa
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Questão 2
A tensão de cisalhamento máxima atuando sobre um eixo
submetido a um torque de 25kN.m e com a seção reta circular de
diâmetro interno de 2,5cm e diâmetro externo de 7,5cm é de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Considerando que o eixo não é maciço,ou seja, há um furo de
2,5cm de diâmetro, devemos subtrair a parcela do momento polar
de inércia referente ao "furo" de forma que, para esse caso
A τmax = 244, 5MPa
B τmax = 2, 3MPa
C τmax = 2, 5MPa
D τmax = 20GPa
E τmax = 80, 5MPa
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Calculando a tensão de cisalhamento
2 - Tensão, de�exão e rigidez do material
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre a tensão, a de�exão
correspondente e a rigidez do material.
Vamos começar!
A relação entre rigidez e deformação
Assista ao vídeo a seguir e compreenda melhor a relação existente entre
rigidez e deformação.
J =
π (0, 0754 − 0, 0254)
32
= 3, 07 ⋅ 10−6m4
τmax =
T ⋅ r
J
=
10000 ⋅ 0, 075
3, 07 ⋅ 10−6
= 244, 5MPa

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Tensão X deformação
Rigidez e deformação
Todos os elementos mecânicos reais se deformam plástica ou
elasticamente, quando submetidos a um carregamento. Um corpo pode
ser considerado rígido se é suficientemente insensível ao carregamento,
ou seja, quando carregado, apresenta uma deformação que pode ser
desprezada.
Exemplo
Um cabo de aço é flexível, mas, quando tracionado, pode ser
considerado rígido. Por outro lado, o mesmo cabo de aço submetido à
compressão, distorce enormemente. Logo, o mesmo elemento
mecânico pode ser considerado rígido ou não rígido (flexível)
dependendo das condições de carregamento impostas (BUDYNAS;
NISBETT, 2015).
A análise de deflexão sofrida por um elemento mecânico deve ser
considerada no projeto de várias maneiras. Por exemplo, em uma
transmissão, as engrenagens devem ser apoiadas por um eixo rígido. Se
o eixo se flexiona demais, ou seja, se o eixo for muito flexível, os dentes
não se encaixarão corretamente, o que resultará em impacto excessivo,
alto ruído, desgaste acelerado e falha prematura (BUDYNAS; NISBETT,
2015).
Às vezes, os elementos mecânicos devem ser projetados para terem
uma característica particular de força-deformação. Por exemplo, o
sistema de suspensão de um automóvel deve ser projetado dentro de
certos limites, a fim de garantir que as frequências de vibração
alcançadas para todas as condições de carregamento do veículo sejam
confortáveis para os passageiros e motorista, pois o corpo humano se
sente confortável apenas dentro de uma faixa limitada de frequências
(BUDYNAS; NISBETT, 2015).
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Exemplo de suspensão de um automóvel.
Ao projetar um elemento mecânico de um sistema, muitas vezes a
deflexão sofrida por esse elemento nas condições de carregamento
pode ser o fator limitador em lugar do nível de tensão no elemento. O
diagrama a seguir representa um gráfico tensão x deformação de um
material dúctil submetido a ensaio de tração.
Na região elástica, a equação que relaciona a tensão e a
deformação é a seguinte:
Onde, é o módulo de elasticidade ou módulo de Young do material.
Neste módulo, estudaremos a deformação dos corpos devido à sua
geometria (forma) e ao carregamento a que o elemento está submetido.
σ
ε
σ = Eε,
E
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Coe�ciente de elasticidade
A elasticidade é a propriedade de um material que permite que ele
recupere sua configuração original após ter sido deformado. Uma mola
é um elemento mecânico que exerce uma força quando deformado. A
imagem a seguir mostra uma viga reta de comprimento 
simplesmente apoiada nas extremidades e carregada pela força
transversal . A deflexão está linearmente relacionada com a
força , desde que o limite elástico do material não seja
ultrapassado, conforme indicado pelo gráfico na imagem,
caracterizando uma mola linear.
Na próxima imagem, uma viga reta é apoiada em dois cilindros de modo
que o comprimento entre os apoios diminui à medida que a viga é
defletida pela força , devido à mudança do ponto de apoio sobre o
cilindro em função da deformação da viga. Quanto menor o
comprimento entre apoios de uma viga, maior será a força necessária
para provocar o mesmo deslocamento .
Portanto, quanto maior a deformação da viga, menor a distância entre
os apoios e maior a força requerida para deformá-la, caracterizando
uma viga que se torna mais rígida conforme é deformada. Além disso, a
força não está linearmente relacionada à deflexão e, portanto, essa viga
pode ser descrita como uma mola que se torna mais rígida de forma
não linear.
l
F y
F
F
y
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A imagem seguinte é uma vista lateral de uma calota circular. A força
necessária para achatar a calota aumenta no início e depois diminui à
medida que a calota se aproxima de uma configuração plana, conforme
mostrado pelo gráfico. Qualquer elemento mecânico com essa
característica se torna mais macio (menos rígido) de forma não linear.
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Se designarmos que a força exercida sobre um elemento mecânico
elástico é função do deslocamento causado pela força, de outra forma:
O coeficiente de elasticidade ou coeficiente elástico é dado por
(BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Onde:
 – deslocamento;
 – Força que causa o deslocamento.
Importante salientar que deve ser medido na direção de e a
partir do ponto de aplicação de . Além disso, a equação tem um
caráter geral e pode ser igualmente aplicada para torques e momentos
(entrando em lugar de ) e os respectivos deslocamentos angulares
(em lugar de ). Para problemas em que a relação entre o
carregamento e o deslocamento é linear, é denominado constante
de mola ou constante de elasticidade e pode ser obtido por (BUDYNAS;
NISBETT, 2015):
As unidades mais comuns da constante de elasticidade são libra
por polegada ou newtons por metro e, para deslocamentos angulares,
libra-polegada por radiano ou newton-metro por radiano.
A seguir, estudaremos a relação entre o carregamento aplicado sobre
um elemento mecânico, suas propriedades mecânicas e geometria e o
deslocamento resultante.
Elemento axialmente carregado
Para um elemento axialmente carregado, isto é, sob tração ou
compressão, podemos relacionar tensão no material , com seu
módulo de Young (módulo de elasticidade ) e a deformação 
pela equação:
F = F(y)
k = lim
Δy→0
ΔF
Δy
=
dF
dy
y
F
y F
F
F
y
k
k =
F
y
k
(σ)
E (ε)
σ = Eε
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Mas a deformação é a razão entre a variação do comprimento 
do elemento do elemento cuja área da seção reta é e seu
comprimento inicial (l). Assim:
Importante notar que é o deslocamento provocado pelo
carregamento, isto é, equivale à deflexão . Além disso:
Assim:
Se, como vimos, 
Elemento sob torção
Para um elemento sob torção, a equação que relaciona o torque ou o
momento aplicado , o módulo de torção ou cisalhamento 
, o comprimento do elemento mecânico , seu momento polar de
inércia e o deslocamento angular resultante é a seguinte:
Assim, fazendo a razão entre o carregamento e o
deslocamento , temos:
De�exão de materiais carregados
Cálculo das de�exões
O cálculo das deflexões pode ser feito de maneira direta para elementos
mecânicos elasticamente carregados, ou seja, que não tenham sofrido
(Δl)
A
σ = E
Δl
l
Δl
y
σ =
F
A
F
A
= E
Δl
l
k = F/y = F/Δl′
(T ) (G)
(l)
(J) (θ)
θ =
Tl
GJ
k T
θ
T
θ
= k =
GJ
l
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deformação plástica, e considerandoque o material apresente relação
entre tensão e deformação linear, tal como em
, como veremos para o caso de vigas axialmente carregadas
(tração ou compressão puras) ou submetidas a torques ou momentos
que provoquem torção (cisalhamento puro).
Para vigas sob flexão, o cálculo da deflexão é um pouco mais complexo
e envolve algumas etapas, desde a determinação da função que
representa o esforço cortante, seguida pela função que representa o
momento fletor, a inclinação da viga e, finalmente, a deflexão, em um
processo que se inicia com o desenho do diagrama de corpo livre,
passando pela determinação das reações nos apoios e alguns passos
de integração para determinação das funções mencionadas segundo as
condições de contorno.
Finalmente, estudaremos casos mais complexos de carregamento onde
utilizaremos o método da superposição (de maneira simples, soma dos
efeitos) para a determinação das deflexões. Convém ressaltar que
existem outros métodos, como o das funções de singularidade, ou o
método de energia ou de Castigliano, que não serão aprofundados aqui,
mas podem ser encontrados na bibliografia sobre o assunto.
Elemento sob tração ou compressão
Para elementos mecânicos sob tensão axial, o cálculo da deformação e
da deflexão pode ser realizado por meio da equação:
Assim:
Onde:
 – carregamento axial;
 – comprimento da viga;
 – módulo de elasticidade;
 – área da seção reta da viga.
Elemento sob torção
Como visto para a determinação do coeficiente de elasticidade , tal
que , para um elemento sob torção, o deslocamento
σ ε(Δl/1)
σ = Eε
F
A
= E
Δl
l
y = Δl =
Fl
EA
F
l
E
A
(k
T = kθ)
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angular resultante pode ser calculado pela equação a seguir:
Onde:
 – torque ou o momento aplicado;
 – comprimento do elemento mecânico;
 – módulo de torção ou cisalhamento;
 – momento polar de inércia.
Elemento sob �exão
Estudaremos agora o caso de elementos mecânicos submetidos à
flexão. A flexão de um elemento mecânico ocorre quando ele é
submetido a um carregamento transversal, como o carregamento
uniformemente distribuído na imagem seguinte:
O diagrama de corpo livre correspondente a esse carregamento é o
apresentado na imagem a seguir:
Note que pela simetria do problema as reações em cada um dos apoios
 e devem ser iguais e, somadas, devem possuir o mesmo
valor da força resultante da aplicação da carga distribuída:
Logo:
θ
θ =
Tl
GJ
T
l
G
J
(R1 R2)
(F)
R1 + R2 = F
F = wl e R1 = R2
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Neste ponto é importante recordarmos algumas equações relativas à
flexão. Inicialmente, a equação que fornece o raio de curvatura 
de uma viga submetida a um momento é:
Onde:
 – módulo de elasticidade do material da viga;
 – momento de inércia da viga.
Da definição matemática de curvatura e considerando que a
deformação da viga é pequena, obtemosa equação:
Consequentemente:
Onde:
 – carregamento transversal (esforço cortante);
 – carregamento transversal distribuído.
A partir dessas equações e com base no carregamento uniformemente
distribuído , o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de
momento fletor (DMF) são os ilustrados a seguir:
R1 = R2 =
wl
2
(ρ)
M
1
ρ
=
M
EI
E
I
M
EI
=
d2y
dx2
V
EI
=
d3y
d3
q
EI
=
d4y
dx4
V
q
w
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Os diagramas de inclinação da viga e de deflexão
 são, respectivamente, os seguintes:
A nomenclatura e as convenções são ilustradas nas imagens. O eixo
 é positivo para a direita e o eixo positivo para cima. Todas as
quantidades – carregamento, cisalhamento, momento, inclinação e
deflexão – têm o mesmo sinal que ; eles são positivos para cima e
negativos para baixo.
As reações e e os carregamentos transversais
em e são respectivamente e
. O momento fletor em e são
nulos porque a viga é simplesmente apoiada. Para uma viga
simplesmente apoiada, as deflexões também são nulas em cada
extremidade (BUDYNAS e NISBETT, 2015).
Podemos calcular a deflexão no centro da viga, isto é, para o
problema proposto, a maior deflexão provocada pelo carregamento.
Utilizando a equação:
Para o carregamento em questão:
Então:
(θ = dy/dx)
(y)
x y
y
R1 R2 = 7, 5kN
x = 0 x = l V0 = 7, 5kN
V1 = −7, 5kN x = 0 x = l
y
d2y
dx2
=
M
EI
M = R1x −
wx2
2
=
wl
2
x −
wx2
2
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Ao analisarmos a imagem a seguir, observamos que a viga é
simplesmente apoiada em e , isto é, o deslocamento
da viga é nulo nessas posições.
Assim sendo, para 
E, para 
Pela simetria do problema, esperamos que as inclinações nas
extremidades sejam idênticas, porém, com sinais opostos:
Para .
Para .
EI
dy
dx
= ∫ Mdx,
EI
dy
dx
= ∫ (
wl
2
x −
wx2
2
)dx =
wl
4
x2 −
wx3
6
+ C1
EIy = ∫ ( wl
4
x2 −
wx3
6
+ C1)dx
EIy =
wl
12
x3 −
wx4
24
+ C1x + C2
x = 0 x = l
y = 0 x = 0
 EIy  = C2,C2 = 0
y = 0 x = l
EIy =
wl4
12
−
wl4
24
+ C1l
0 =
wl4
24
+ C1l
C1 = −
wl3
24
dy
dx x=0
= −
dy
dx x=1∣ ∣x = 0
dy
dx
= −
wl3
24EI
x = l
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Ainda pela simetria do problema, observa-se que a deflexão máxima
ocorre para l/2. Assim:
Esse valor pode ser calculado caso conheçamos o material e a
geometria da viga, visto que os valores de e já são
conhecidos. É importante destacar que para muitos casos de
carregamento os livros de resistência dos materiais apresentam tabelas
com as fórmulas para os cálculos do momento fletor, esforço cortante,
deflexão e inclinação da viga. Confira a seguir alguns exemplos de
carregamentos e condições de contorno, bem como suas respectivas
equações:
Carregamento e condição de contorno.
dy
dx
=
1
EI
( wl3
4
−
wl3
6
−
wl3
24
)
dy
dx
=
wl3
24EI
x =
ymax =
1
EI
[ wl
12
( l
2
)
3
−
w
24
( l
2
)
4
−
wl4
48
]
ymax = −
5wl
384EI
w l
R1 = R2 = F/2
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB = Fx/2eMBC =
F
2
(l − x)
yAB =
Fx
48EI
(4x2 − 3l2)
ymax = −
Fl3
48EI
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 =
Fb
l
;R2 =
Fa
l
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fbx
l
eMBC =
Fa
l
(l − x)
yAB =
Fbx
6EIl
(x2 + b2 − l2)
yBC =
Fa(l − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2 lx)
R1 =
11 F
16
;R2 =
5 F
16
;M1 =
3Fl
16
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB =
F
16
(11x − 3l)eMBC =
5 F
16
(l − x)
yAB =
Fx
96EI
(11x − 9l)
yBC =
F(l − x)
96EI
(5x2 + 2l2 − 1 − 10x)
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 = R2 =
wl
2
V =
wl
2
− wx
M =
wx
2
(l − x)
y =
wx
24EI
(2l2 − x3 − l3)
ymax = −
5wl4
384EI
R1 =
Fb
2l3
(3l2 − b2);R2 =
Fa2
2l3
(3l − a)
M1 =
Fb
2l2
(l2 − b2)
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fb
2l3
[b2l − l3 + x (3l2 − b2)]eMBC =
Fa2
2l3
(3l2 − 3lx − al + ax)
yAB =
Fbx2
12EIl3
[3l (b2 − l2) + x (3l2 − b2)]
yBC = yAB −
F(x − a)3
6EI
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
De�exão por superposição
A deflexão resultante de carregamento combinado em uma estrutura
pode ser calculada utilizando-se a superposição. Nesse método, o efeito
de cada carga é calculado como se aquele carregamento atuasse
R1 =
5wl
8
;R2 =
3wl
8
;M1 =
wl2
8
 V =
5wl
8
− wx
M = −
w
8
(4x2 − 5 lx + l2)y =
wx
48EI
(l − x)(2x − 3l)
R1 =
Fa
l
;R2 =
F
l
(l + a)
VAB = R1 e VBC = F
MAB = −
Fax
l
;MBC = F(x − l − a)
yAB =
Fax
6EIl
(l2 − x2)
yBC =
F(x − l)
6EI
[(x − l)2 − a(3x − l)]
yc = −
Fa2
3EI
(l + a)
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isoladamente. O efeito combinado será, então, a soma dos efeitos de
cada carregamento. O método da superposição pode ser aplicado desde
que as seguintes condições sejam atendidas (BUDYNAS; NISBETT,
2015):
Condição I
A primeira condição para a aplicação da superposição é que cada
deslocamento seja linearmente relacionado à carga que a produz.
Condição II
O segundo ponto é que o carregamento não cria uma condição que
afeta o resultado da aplicação do outro carregamento.
Condição III
As deformações resultantes de qualquer carga específica não são
grandes o suficiente para alterar as relações geométricas do sistema
estrutural.
Utilizaremos um exemplo da aplicação do método da superposição para
melhor compreendê-lo. Confira a seguir.
Exemplo
Considere a viga carregada simultaneamente com o carregamento
uniformemente e com uma força concentrada como mostrado na figura
a seguir. Usando o método da superposição, determine as reações nos
apoios e a deflexão da viga em função de (BUDYNAS; NISBETT,
2015).
Inicialmente, consideraremos apenas o carregamento distribuído .
x
w
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Da tabela:
Para a carga concentrada .
Da tabela:
Pelo método da superposição, somamos os efeitos dos carregamentos:
R1 = R2 =
wl
2
y =
wx
24EI
(2 lx2 − x3 − l3)
F
R1 =
Fb
l
;R2 =
Fa
l
yAB =
Fbx
6EEIl
(x2 + b2 − l2)eyBC =
Fa(1 − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2lx)
R1 =
Fb
l
+
wl
2
R2 =
Fa
l
+
wl
2
yAB =
Fbx
6EIl
(x2 + b2 − l2) +
wx
24EI
(2 lxx2 − x3 − l3)
yBC =
Fa(l − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2 lx) +
wx
24EI
(2 lx2 − x3 − l3)
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Os métodos de integração e da superposição fornecem mecanismos
eficazes para determinar a inclinação e a deflexão em qualquer ponto de
uma viga prismática, desde que o momento fletor possa ser
representado por uma única função analítica. No entanto, quando devido
à presença de diversos carregamentos ao longo de um elemento
mecânico várias funções são necessárias para representar sobre
o comprimento da viga, esse método pode se tornar bastante
trabalhoso, uma vez que requer a compatibilização de inclinações e
deflexões correspondentes em cada ponto de aplicação de carga ou de
mudança de geometria.
O uso de funções de singularidade simplifica
consideravelmente a determinação das inclinações e
deflexões em qualquer ponto do elemento.
Confira a seguir as funções de singularidade mais utilizadas e os
respectivos carregamentos que representa.
Momento concentrado
Força concentrada
M
M
⟨x − a⟩−2 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−2 = ±∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−2dx = ⟨x − a⟩−1
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Carga uniformemente distribuída
Carga distribuída linearmente variável
Podemos resolver o problema que solucionamos por suposição
utilizando as funções de singularidade como ilustração. A situação
analisada é a da imagem a seguir:
⟨x − a⟩−1 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−1 = +∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−1dx = ⟨x − a⟩0
⟨x − a⟩0 = {
∫ ⟨x − a⟩0dx = ⟨x − a⟩1
0 x < a
1 x ≥ a
⟨x − a⟩1 = {
∫ ⟨x − a⟩1dx =
⟨x − a⟩2
2
0 x < a
x − a x ≥ a
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Considerando o diagrama de corpo livre, o carregamento pode ser
representado pela função:
Então, a função que representa o esforço cortante será dada por:
Para o momento fletor, teremos:
Integrando mais duas vezes para a inclinação e deflexão:
 e podem ser determinados utilizando as condições de
contorno em e em que resulta em:
Assim:
q = R1 < x >−1 −w < x >0 −F < x − a >−1 +R2 < x − l >−1
V = ∫ qdx = R1 < x >0 −w < x >1 −F < x − a >0 +R2 < x − l >0
M = ∫ V dx = R1 < x >1 −w
< x >2
2
− F < x − a >1 +R2 < x − 1 >1
EI
dy
dx
= ∫ Mdx = R1
⟨x⟩2
2
− w
⟨x⟩3
6
− F
⟨x − a⟩2
2
+ C1
EIy = R1
⟨x⟩3
6
− w
⟨x⟩4
24
− F
⟨x − a⟩3
6
+ C1x + C2
C1 C1
(y = 0 x = 0 x = 1), 0
C1 = F
< l − a >3
6
= F
b3
6l
,  já que l − a = b;C2 = 0
 EIy  = R1
x3
6
− w
x4
24
− F
⟨x − a >3
6
+ F
b3
6l
x
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Observamos que quando usamos funções de singularidade para
representar o carregamento, aquelas com expoente maior ou igual a
zero começando em podem ser substituídas por funções
polinomiais normais. Além disso, uma vez que as reações são
determinadas, funções de singularidade representando reações na
extremidade direita do feixe podem ser omitidas da função de
carregamento (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Outra observação que devemos ressaltar é que o termo que
multiplica a deflexão é chamado de rigidez estrutural, em uma
analogia com a constante elástica ou rigidez de uma mola. Portanto,
quanto maior o produto , maior a rigidez de um elemento
mecânico. A rigidez de uma estrutura pode ser alterada por meio do
material ou por meio da geometria .
x = 0
EI
y
EI
(E) (I)
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma barra prismática de aço de de comprimento é
tracionada axialmente. Se a área da seção reta é de
 e o módulo de elasticidade do aço
 207GPa $$, considerando as afirmativas abaixo, assinale a
alternativa correta
I. O módulo de elasticidade ou rigidez equivalente da viga é
.
II. A tensão de tração, a forma da peça ou o elemento de máquina
não limitam as opções de materiais a serem selecionados.
III. A deflexão da viga sob o carregamento considerado é de
.
1, 5m
12, 50cm2,F = 15kN
E =
k = 1, 7kN/mm
0, 09mm
A Somente I está correta.
B Somente II está correta.
C Somente III está correta.
D I e II estão corretas.
E I e III estão corretas.
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Parabéns! A alternativa E está correta.
 módulo de elasticidade ou rigidez equivalente, considerando a
analogia 
Questão 2
Considerando que uma viga de aço com seção reta quadrada de
lado 12cm é submetida ao carregamento combinado apresentado
na imagem abaixo, sua deflexão máxima é de:
σ = Eε
σ =
F
A
; ε =
Δl
l
F
A
= E
Δl
l
→ F =
EA
l
Δl
O
F = ky
k =
EA
l
=
207 ⋅ 109 ⋅ 12, 5 ⋅ 10−4
1, 5
= 1, 7 ⋅ 108 N
m
= 1, 7k
σ =
15.000
12, 5 ⋅ 10−4
= 12MPa
Δl =
σl
E
= 8, 7 ⋅ 10−5m ≅0, 09mm
A 4mm
B 1,7mm
C 2,3mm
D 4cm
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Utilizando o método da superposição em que temos uma viga
apoiada em ambas as extremidades carregada por uma força
concentrada no centro da viga e por uma carga uniformemente
distribuída, ou seja, pela superposição dos dois casos:
Da tabela, para o carregamento concentrado
Para o carregamento distribuído
Logo, a deflexão máxima da viga será de
3 - Carregamento estático, tensão e deformação
E 2,3cm
ymax = −
Fl3
48EI
= −
50000 ⋅ 23
48 ⋅ 207 ⋅ 109 ⋅
0,124
12
≅−2, 3 ⋅ 10−3m
ymax = −
5Wl4
384EI
= −
5.30000 ⋅ 24
384.207 ⋅ 109 ⋅ 0.124
12
≅1, 7.10−3m
−1, 7 − 2, 3 = −4, 0mm
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Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar as relações entre carregamentoestático,
tensão e deformação para análise de falha devido a carregamento estático.
Vamos começar!
Falhas resultantes de carregamento
estático
Assista ao vídeo e compreenda melhor as falhas resultantes de
carregamento estático.
Por que as peças falham?
Falhas em elementos mecânicos
Por que as peças falham? Inicialmente e de maneira superficial,
responderíamos que “peças falham porque as tensões desenvolvidas
sob as condições de carregamento excederam sua resistência”. Essa
resposta não está errada, mas não esgota completamente a questão. A
fim de aperfeiçoar e particularizar a explicação devemos ainda
responder as seguintes perguntas:
Que tipo de tensão causa a falha? Tração? Compressão?
Cisalhamento?
A partir de então temos que analisar mais profundamente a questão,
pois a resposta dependerá do material, da sua resistência à
compressão, à tração e ao cisalhamento. Além disso, o tipo de
carregamento (estático ou dinâmico, axial ou transversal), as condições
de contorno (apoio simples, rótula, engastamento) e a presença ou não

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de trincas no material devem ser considerados para uma análise
completa.
Em geral, materiais dúcteis e isotrópicos submetidos a carregamentos
estáticos falham devido às tensões de cisalhamento, enquanto
materiais frágeis são limitados pela tensão normal (embora existam
exceções a essa regra quando materiais dúcteis se comportam como
frágeis). Essa situação requer que tenhamos diferentes teorias de falha
para as duas classes de materiais. Sendo assim, é importante
diferenciar objetivamente os materiais dúcteis dos frágeis.
Materiais dúcteis
Aqueles cujo percentual
de elongação até a
ruptura seja > 5%. A
maioria dos metais
dúcteis tem elongação
até a ruptura > 10%.
Materiais frágeis
Aqueles materiais cuja
ruptura ocorre em
valores iguais ou
inferiores a 5% de
elongação são
considerados materiais
frágeis.
Entretanto, como podemos definir falha sob o ponto de vista do projeto
mecânico? De maneira clara, podemos considerar que há falha de uma
peça se ela sofre ruptura. Além disso, caso um elemento mecânico
apresente deformações e distorções suficientemente grandes para
impedir o funcionamento adequado do sistema, também consideramos
que houve falha. Materiais dúcteis apresentam deformação significativa
antes de romperem.
Por sua vez, os materiais frágeis rompem sem que haja deformação
significativa, isto é, rompem com a sua forma relativamente conservada.
O tipo de carregamento – estático ou dinâmico – é outro importante
fator para análise da falha e determina a utilização de diferentes
critérios. Logo, assim como diferenciamos os materiais dúcteis dos
frágeis, devemos fazê-lo para carregamento estático ou dinâmico.
Atenção!
Em linhas gerais, cargas estáticas são aplicadas lentamente e
permanecem essencialmente constantes no tempo. Cargas dinâmicas
podem ser tanto aplicadas subitamente (carga de impacto) como
variadas repetidamente ao longo do tempo (carga de fadiga), ou podem
ser aplicadas simultaneamente.
Os mecanismos de falha são totalmente diferentes em cada caso. Por
exemplo, para carregamento dinâmico, materiais dúcteis e frágeis
apresentam comportamento similar, e os materiais dúcteis falham de
maneira “frágil”. Neste módulo apresentaremos os diferentes critérios
de falha para materiais dúcteis e frágeis sob carregamento estático.

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Falhas e deformação plástica
Falha estática em materiais dúcteis
Uma carga estática é uma força, torque ou momento aplicado a um
elemento mecânico sem que haja mudança em sua intensidade, ponto
ou pontos de aplicação, direção e sentido. Logo, para ser considerada
estática, a carga não pode mudar de nenhuma maneira. Como
consequência da aplicação de um carregamento estático o material
pode responder produzindo tensão axial – tração ou compressão –,
tensão de cisalhamento, tensão de flexão, ou qualquer combinação
dessas tensões.
Normalmente, considera-se como a resistência desses materiais o
limite de escoamento, ou seja, o maior valor de tensão a que um
material pode ser submetido sem sofrer deformação plástica. Nos
materiais dúcteis o limite de resistência ao escoamento , na
maioria das vezes, é o mesmo em tração e em compressão
.
As teorias geralmente aceitas para critério de falha de materiais dúcteis
são as seguintes:
Máxima tensão de cisalhamento (MSS);
Energia de distorção (DE);
Coulomb-Mohr para materiais dúcteis (DCM).
Critério da máxima tensão de cisalhamento
O critério da máxima tensão de cisalhamento (MSS), também conhecido
como critério de Tresca, afirma que qualquer componente mecânico
sujeito a uma carga ou a uma combinação de cargas falhará sempre
que a tensão de cisalhamento máxima exceder a resistência de
cisalhamento do material (isto é, a tensão de cisalhamento no momento
do escoamento na amostra padrão de ensaio de tração). A imagem
seguinte mostra o Círculo de Mohr para um estado de tensão triaxial
com e como tensões principais tais que
.
(σy)
(σyt)
(σyc)
σ1,σ2 σ3
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
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As três tensões de cisalhamento principais são dadas por:
Observando a imagem e considerando que , fica
evidente que a maior tensão de cisalhamento é . Assim:
Considerando um ensaio de tração, e ,
resultando em:
Além disso, o escoamento no ensaio de tração começa quando a tensão
de tração é igual ao limite de escoamento do material .
Portanto, a tensão de cisalhamento máxima no momento do
escoamento no ensaio de tração é:
Assim, a equação de projeto baseada na teoria da tensão de
cisalhamento máxima, para um fator de projeto pode ser escrita
como:
τ12 =
σ1 − σ2
2
; τ13 =
σ1 − σ3
2
; τ23 =
σ2 − σ3
2
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
τ13
τ13 = τmax =
σ1 − σ3
2
σ1 = σx σ2 = σ3 = 0
τmax =
σ1
2
(σ1) (Sy)
τmax =
Sy
2
nd
τmax =
Sy
2 ⋅ nd
;σ1 − σ3 =
Sy
2 ⋅ nd
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Observe que, para estado plano de tensão, e
. A representação gráfica da teoria da máxima
tensão de cisalhamento, fornecendo o envelope de falha para o estado
plano de tensão , é mostrada a seguir:
De acordo com essa teoria, para o estado de tensão plana, o
escoamento começa quando . Mas no primeiro e
terceiro quadrantes do gráfico e são da
mesma natureza (tensões tratativas no primeiro quadrante e
compressivas no terceiro). Nesses quadrantes, o escoamento pode
começar quando atinge qualquer das tensões ou 
atinge o limite de escoamento, .
Portanto, no primeiro e no terceiro quadrantes, a área de segurança é
limitada pelas linhas e No segundo e
quarto quadrantes, a área é limitada por linhas, que representam a
condição em que a tensão de cisalhamento máxima atinge a resistência
ao cisalhamento do material , ou seja, 
.
Essa teoria serve para a previsão de falhas de materiais dúcteis, mas é
um pouco conservadora como veremos mais à frente.
Falha e energia
Critério da energia de distorção
σ3 = 0
τmax =
σ1 − σ2
2
(σ3 = 0)
σ1 − σ2 = Sy
(σ1 × σ2),σ1 σ2
(σ1) (σ2)
Sy
σ1 = ±Sy σ2 = ±Sy.
(SSy) τmax = SSy =
Sy/2
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A teoria da energia de distorção prevê que o escoamento ocorre quando
a energia de distorção por unidade de volume atinge ou excede a
energia de distorção por unidade de volume para escoamento do
material sob tração ou compressão simples. A teoria da energia de
distorção (DE) originou-se da observação de que materiais dúcteis
submetidos a estados de tensão hidrostáticos 
apresentaram escoamento para valores de tensão muitoacima dos
valores dados do previsto no ensaio de tração simples.
A partir dessa observação, postulou-se que o
escoamento não é um fenômeno simples de tração ou
compressão, mas que, na verdade, está de alguma
forma relacionado à distorção angular do material sob
carregamento.
Para desenvolver a teoria, observaremos um elemento de volume
unitário submetido a qualquer estado de tensão tridimensional
designado pelas tensões e (figura a). Esse estado pode
ser representado como o resultado da soma de dois componentes: um
componente hidrostático (figura b), que causa variações apenas no
volume do elemento, mas sem alterar sua forma; e um componente de
distorção (figura c) que contribui para alterar os ângulos do elemento,
resultando em sua distorção com mudança de forma.
A tensão média é assim calculada:
Considerando que a energia de deformação por unidade de volume para
o estado de tensão triaxial é dada por:
Que também pode ser escrita como:
(σ1 = σ2 = σ3)
σ1,σ2 σ3
σav =
σ1 + σ2 + σ3
3
u =
1
2
(ε1σ1 − ε2σ2 − ε3σ3)
u =
1
2E
(σ2
1 + σ2
2 + σ2
3 − 2v (σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)
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A energia de deformação provocada pela componente hidrostática
 da tensão pode ser calculada usando:
Se considerarmos que a energia de deformação (u) é o resultado da
soma da componente hidrostática com a componente de
energia de distorção , teremos para a energia de distorção:
Observe que a energia de distorção é nula quando .
Para o ensaio de tração simples, no escoamento, e
, a energia de distorção é:
Portanto, para o estado de tensão triaxial, por analogia, o escoamento
ocorrerá se:
Se tivéssemos um caso de tração simples, o escoamento ocorreria
quando . Por isso, o termo à esquerda pode ser considerado
como uma tensão equivalente correspondente ao estado triaxial de
tensão. Essa tensão equivalente é conhecida como tensão de Von
Mises , onde:
Caso, em lugar das tensões principais, conheçamos as componentes
, e das tensões, podemos usar:
Finalmente, se considerarmos um caso de cisalhamento puro onde
apenas a tensão cisalhante , temos:
(uav)
uav =
3σ2
av
2E
(1 − 2v)
(uav)
(ud)
ud = u − uav =
1 + v
3E
[
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
σ1 = σ2 = σ3
σ1 = Sy
σ2 = σ3 = 0
ud =
1 + v
3E
S 2
y
[
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
≥ Sy
σ ≥ Sy
(σ′)
σ′ = [
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
x y z
σ′ =
1
√2
[(σx − σy)
2 + (σx − σz)
2 + (σy − σz)
2 + 6 (τ 2
xy
+ τ 2
zx
+ τ 2
yz
)]
1/2
τxy ≠ 0
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Para que haja escoamento,
Ou seja,
Esse resultado mostra que o critério da máxima tensão de cisalhamento
é mais conservativo que o critério da energia de distorção, já que, para o
primeiro critério, , enquanto, para o segundo,
. Em outras palavras, o projetista aceita um nível
de tensão maior no material ao utilizar o critério da energia de distorção
quando comparado ao nível de tensão que aceitaria se utilizasse o
critério de Tresca para um mesmo material.
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) ajudará na compreensão
da utilização dos critérios de falhas.
Exemplo
Um aço laminado a quente tem um limite de escoamento de
 e apresenta deformação real na fratura de
. Estimar o fator de segurança para os seguintes estados
de estresse principais:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Como , o material é dúctil e podemos aplicar as teorias
da energia de distorção (DE) e da máxima tensão de cisalhamento
(MSS). Utilizaremos as duas abordagens para comparação. Observe que
os casos 1 e 4 retratam estados planos de tensão. Veja adiante o
desdobramento dos casos expostos, respectivamente, na lista anterior.
Caso 1
σ′ = √3τxy
σ′ ≥ Sy
τmax =
Sy
√3
= 0, 577Sy
τmax = 0, 5 Sy
τmax = 0, 577 Sy
Sy = 700MPa
εf = 0, 55
σx = 500MPa,σy = 500MPa, τxy = 0
σx = 420MPa,σy = 280MPa, τxy = −105MPa
σx = 0MPa,σy = 280MPa, τxy = 315MPa
σx = −280MPa,σy = −420MPa, τxy = 105MPa
σ1 = 150MPa,σ2 = 150MPa,σ3 = 150MPa
εf > 0, 05
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Uma vez que não há tensão de cisalhamento, as tensões normais são
iguais às tensões principais. As tensões principais são
 e .
Utilizando inicialmente o critério DE:
O fator segurança é:
Utilizando o critério MSS:
Nesse caso, ambos os critérios apresentam o mesmo nível de
segurança.
Caso 2
Pelo critério DE:
Pelo critério MSS, utilizando o círculo de Mohr para cálculo das tensões
principais:
Como 
E o fator de segurança será:
σ1 = σx = 500MPa,σ2 = σy = 500MPa σ3 = 0
σ′ = √ (500 − 0)2 + (500 − 500)2 + (500 − 0)2
2
= 500
ns =
Sy
σ′
=
700
500
= 1, 4
τmax =
σ1 − σ3
2
=
500 − 0
2
= 250
 Ssy =
Sy
2
=
700
2
= 350
ns =
Ssy
τmax
=
350
250
= 1, 4
σ′ =
1
√2
[(420 − 280)2 + (420 − 0)2 + (280 − 0)2 + 6 (−1052)]
1/2
= 412, 64
ns =
Sy
σ′
=
700
412, 64
= 1, 70
σ1;σ2 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy = 476, 19; 223, 81
σ3 = 0
τmax =
476, 19 − 0
2
= 238, 10
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Caso 3
Pelo critério DE:
Pelo critério MSS, como uma das tensões, no caso , pelo
círculo de Mohr obtemos:
O fator de segurança será:
Caso 4
Pelo método DE:
E o fator de segurança será:
Pelo critério MSS, inicialmente obtemos as tensões principais:
E o fator de segurança será:
ns =
Ssy
τmax
=
350
238, 10
= 1, 47
σ′ =
1
√2
[(0 − 280)2 + (280 − 0)2 + 6 (−3152)]
1/2
= 613, 25
ns =
Sy
σ′
=
700
613, 25
= 1, 14
σx = 0
τmax =√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy
= 344, 71
ns =
Ssy
τmax
=
350
344, 71
= 1, 01
σ′ = 412, 64
ns =
Sy
σ′
=
700
412, 64
= 1, 70
σ2;σ3 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy = −223, 91; −476, 19
τmax =
0 − (−476, 19)
2
= 238, 10
ns =
Ssy
τmax
=
350
238, 10
= 1, 47
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Caso 5
Pelo critério DE:
Para esse caso:
Para o critério MSS:
Assim, também para esse critério, . Uma vez que a teoria
MSS coincide ou está dentro dos limites da teoria DE, ela sempre prevê
um fator de segurança igual ou menor que a teoria DE. Para cada caso,
exceto o caso 5 que não retrata um estado plano de tensões, as linhas
de carga são mostradas na imagem a seguir. Observe que o caso 1 é o
único em que as duas teorias concordam, dando assim o mesmo fator
de segurança.
Para melhor compreensão da imagem: caso 1 (a), caso 2 (b), caso 3 (c),
caso 4 (d), caso 5 (e).
O que são materiais frágeis?
σ′ = [
(σ1 − σ2)
2 + (σ1 − σ3)
2 + (σ2 − σ3)
2
2
]
1/2
= 0
ns =
Sy
σ′
=
700
0
→ ∞
τmax =
150 − (150)
2
= 0
ns → ∞
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Materiais frágeis são aqueles cuja deformação na fratura não supera
. Esses materiais não apresentam escoamento, em
outras palavras, apresentam pouca ou nenhuma deformação plástica na
ruptura. Devido a essa característica, o critério de falha desses materiais
está ligado ao limite de resistência à tração ou o limite de
resistência à compressão , dependendo do carregamento.
As teorias mais aceitas para análise de falha de materiais frágeis
(critérios de falha) são:
Máxima tensão normal máxima (MNS);
Coulomb-Mohr para materiais frágeis (CMB);
Mohr modificado (MM).
Máxima tensão normal (MNS)
Pela teoria da máxima tensão normal (MNS), a falha ocorre sempre que
uma das três tensões principais igualam ou excedem o limite de
resistência à tração ou o limite de resistência à compressão
. Assim como procedemos para os materiais dúcteis,
organizamos as tensões principais para um estado de tensão triaxial em
ordem decrescente . Essa teoria então prevêque a
falha ocorre sempre que ou , pois
 (tensão compressiva).
As equações do critério de falha podem ser escritas como equações de
projeto:
A teoria da máxima tensão normal não é adequada para previsão de
falhas no quarto quadrante e .
Coulomb-Mohr para materiais frágeis
O critério de Mohr estabelece um envelope de segurança baseado no
limite de resistência à tração, no limite de resistência à compressão e no
limite de resistência ao cisalhamento obtidos experimentalmente para
um dado material, considerando que o material apresenta limite de
resistência à tração e à compressão diferentes.
Portanto, esse critério pode ser usado para materiais dúcteis que
possuam resistência ao escoamento sob tração diferente da resistência
ao escoamento sob compressão ( . O envelope está
mostrado na imagem a seguir:
5%(ε ≤ 0, 05)
(Sut)
(Suc)
(Sut)
(Sut)
(σ1 ≥ σ2 ≥ σ3)
σ1 ≥ Sut σ3 ≤ Suc
Suc < 0
σ1 =
sut
nd
ou σ3 =
suc
nd
(σ1 > 0 σ2 < 0)
Syt ≠ Syc)
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Uma variação da teoria de Mohr, chamada de teoria de Coulomb-Mohr
ou teoria do atrito interno, assume que o limite BCD da figura é uma
linha reta (tangente comum externa aos círculos representando
compressão pura e tração pura). Com isso, apenas as resistências à
tração e à compressão são necessárias para o
equacionamento.
As equações da teoria de Coulomb-Mohr são as equações de projeto
para estado plano de tensões a seguir:
Mohr modi�cada
As equações do critério de Mohr modificado para análise de falhas,
também na forma de equações de projeto considerando estado plano
de tensões são:
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) nos ajudará a
compreender a utilização dos critérios.
Exemplo
(Sut) (Suc)
σ1 =
Sut
nd
, σ1 ≥ σ2 ≥ 0
σ1
 Sut
+
σ2
 Suc
=
1
nd
, σ1 ≥ 0 ≥ σ2
σ2 =
Suc
nd
, 0 ≥ σ1 ≥ σ2
σ1 =
Sut
nd
, σ1 ≥ σ2 ≥ 0  ou  σ1 ≥ 0 ≥ σ2  e 
σ2
σ1
≤ 1
−
(Sut + Suc)σ1
 SutSuc
+
σ2
 Suc
=
1
nd
, σ1 ≥ 0 ≥ σ2  e 
σ2
σ1
> 1
σ2 =
Suc
nd
0 ≥ σ1 ≥ σ2 ∣ ∣∣ ∣
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Consideremos que o material utilizado na estrutura da imagem é um
ferro fundido cujos limites de resistência à tração e à compressão são
respectivamente e .
Determine a força utilizando (a) o critério de Coulomb-Mohr; (b) O
critério de Mohr modificado.
Assumimos que a alavanca DC é suficientemente robusta e não faz
parte do problema. O elemento em A no topo da superfície será
submetido a uma tensão de flexão de tração e uma tensão de torção.
Esse local, na região de 1 polegada de diâmetro, é o local mais sensível
ao carregamento e limita o valor da força. A tensão normal e a
tensão de cisalhamento em são dadas por (considerando
os fatores de concentração de tensão ):
Calculamos as tensões principais:
Expressão A
Considerando que , usaremos a equação
considerando 
Sut  = 31kpsi Suc = −109kpsi
F
σx
(τxy) A
= 1
σx =
Mc
I
=
12 F ⋅ 0, 5
π⋅14
64
= 142, 6 F
τxy =
Tr
J
=
15 F ⋅ 0, 5
π⋅14
32
= 76, 4 F
σ1;σ2 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy = 175, 8 F ; −33, 2 F
σ1 ≥ 0 ≥ σ2
nd = 1
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Expressão B
Pelo critério de Mohr modificado, com e
Observamos que a força admissível para o critério de Coulomb-Mohr é
menor do que a prevista para o critério de Mohr modificado, o que era
esperado, pois o primeiro critério é mais conservativo que o segundo.
σ1
Sut
+
σ2
 Suc
=
1
nd
175, 8 F
31000
+
−33, 2 F
−109000
= 1
 F = 167, 3lbf
σ1 ≥ 0 ≥ σ2
σ2
σ1
=
33, 2
175, 8
< 1∣ ∣ σ1 =
Sut
nd
→ 175, 8 F = 31000
 F = 176, 3lbf
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma barra de aço laminado a quente possui resistência ao
escoamento sob tração e compressão iguais a .
Assinale a alternativa que apresenta os fatores de segurança
corretos segundo os critérios da máxima tensão de cisalhamento e
da energia de distorção, respectivamente, para o carregamento a
seguir:
 
Parabéns! A alternativa D está correta.
350MPa
σx = 84MPa;σy = 28MPaτxy = 7MPa
A MSS: ns = 8, 2;DE : ns = 4, 6
B MSS: ns = 4, 6;DE : ns = 9, 2
C MSS: DE: ns = 4, 1; ns = 2, 3
D MSS: ns = 4, 1;DE : ns = 4, 6
E MSS: ns = 8, 2;DE : ns = 9, 2
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Inicialmente, devemos determinar as tensões principais. Como
estamos lidando com estado plano de tensões .
Assim,
Pelo critério de Tresca (MSS),
Pelo critério ,
Questão 2
Um ferro fundido ASTM possui resistência ao escoamento sob
tração e . Assinale a
alternativa que apresenta os fatores de segurança para o critério da
máxima tensão normal (MNS) e de Mohr modificado (MM),
respectivamente, para o carregamento
.
(σ3 = 0)
σ1;σ2 =
σx + σy
2
±√(
σx − σy
2
)
2
+ τ 2
xy = 84, 9MPa; 2
τmax =
84, 9 − 0
2
= 42, 45MPa
ns =
Ssy
τmax
=
350/2
42, 5
= 4, 1
DE
σ′ =
1
√2
[(84 − 28)2 + (84 − 0)2 + (28 − 0)2 + 6 (72)]
1/
ns =
Sy
σ′
=
350
75, 1
= 4, 6
Syt = 210MPa Syc = 700MPa
σx = 140MPa;σy = 42MPa
A MNS: MM: ns = 1, 2; ns = 1, 5
B MNS: MM: ns = 2, 1; ns = 1, 1
C MNS: MM: ns = 8, 3; ns = 2, 1
D MNS: MM: ns = 3, 0; ns = 1, 1
E MNS: MM: ns = 1, 5; ns = 1, 5
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Parabéns! A alternativa E está correta.
No estado de tensões apresentado as tensões
 são a tensões principais,
 e respectivamente.
Pelo método da máxima tensão normal (MNS)
Pelo método de Mohr modificado (MM), considerando que
4 - Falha por fadiga em carregamento dinâmico
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a relação entre o carregamento dinâmico e
as tensões induzidas no material para analisar a ocorrência ou não de falha por fadiga devido
ao carregamento dinâmico.
Vamos começar!
σx = 140MPa;σy = 42MPa
σ1 σ2
ns =
Syt
σ1
=
210
140
= 1, 5
σ1 ≥ σ2 ≥ 0
ns =
syt
σ1
=
210
140
= 1, 5

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Carregamento dinâmico e a falha por
fadiga
Assista ao vídeo e compreenda melhor os conceitos que estão
relacionados ao carregamento dinâmico e à falha por fadiga.
Fadiga
Carregamento dinâmico e a falha por
fadiga
A carga que muda de magnitude, direção ou sentido em relação ao
tempo é conhecida como carga dinâmica. A carga cíclica e a carga
devido a um impacto são tipos de cargas dinâmicas. Para vários
sistemas mecânicos, particularmente os que possuem peças em
movimento, pode haver um ou mais elementos da máquina sujeitos a
cargas cíclicas, resultando em tensões variáveis que flutuam entre
diferentes valores de acordo com a variação do carregamento.
Exemplo
Um elemento na superfície de um eixo rotativo e sujeito a carga de
flexão sofre tanto tração como compressão para cada rotação do eixo.
Os elementos de máquinas sujeitos a tensões cíclicas ou flutuantes
frequentemente falham sob um valor máximo de tensão induzida muito
abaixo do limite de escoamento ou de resistência à tração
 ou compressão . Tal falha verificada em materiais
sujeitos a carregamentos dinâmicos é conhecida como falha por fadiga,
uma vez que ocorre após um mgrande número de ciclos de tensão.
Ao contrário da falha estática, uma falha por fadiga não dá
nenhum aviso! Ela é repentina e total, portanto, muito
perigosa.
(Sy)
(Sut) (Suc)
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Uma falha por fadiga tem uma aparência semelhante a uma fraturafrágil. As superfícies são planas e perpendiculares ao eixo de tensão
com a ausência de empescoçamento (deformação plástica). O
processo que leva a uma falha por fadiga, no entanto, é bastante
diferente daquele da fratura frágil estática e resulta de três estágios de
desenvolvimento, que podem ser vistos detalhadamente a seguir.
Estágio I
O estágio I é o início de uma ou mais microtrincas devido à deformação
plástica cíclica, que é seguida da propagação segundo o plano
cristalográfico até encontrar o contorno de grão, por onde que se
estende por dois a cinco grãos. As trincas do estágio I geralmente não
são detectáveis a olho nu.
Estágio II
No estágio II, a trinca progride, passando do tamanho micro para o
macro e formando superfícies de fratura em forma de platô, paralelas e
separadas por sulcos. Esses platôs costumam ser lisos e normais à
direção da máxima tensão de tração. Essas superfícies podem ser
onduladas com bandas escuras e claras denominadas marcas de praia,
conforme as observadas na imagem a seguir.
Marcas de praia.
Durante o carregamento cíclico, essas trincas abrem e fecham
conforme a variação do carregamento. O aspecto das marcas da praia
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depende de como o carregamento varia em magnitude ou frequência
além da natureza corrosiva do ambiente.
Estágio III
O estágio III ocorre durante o ciclo de tensão final, quando o material
que ainda não foi atingido pela trinca não pode suportar os esforços,
resultando numa fratura súbita e rápida. Essa fratura de fase III pode ser
frágil ou dúctil, ou, até mesmo, uma combinação de ambos os modos.
Frequentemente, quando as marcas de praia estão presentes, os
padrões das marcas da fase III apontam para a das trincas iniciais. A
imagem a seguir traz representações de superfícies de falha por fadiga
sob diferentes condições de carga e níveis de concentração de tensão.
A falha por fadiga é devida à formação e propagação de trincas. Uma
trinca por fadiga se inicia, geralmente, em uma descontinuidade no
material onde a tensão cíclica é máxima. Essas descontinuidades
podem ter diferentes origens:
mudanças rápidas na secção transversal, rasgos de chaveta,
orifícios de lubrificação etc. onde ocorrem concentrações de
tensão;
elementos que rolam e/ou deslizam uns contra os outros
(rolamentos, engrenagens etc.) sob alta pressão de contato;
locais de marcação de peças, marcas de ferramentas, arranhões e
rebarbas; projeto inadequado de juntas; montagem incorreta; e
outras falhas de fabricação;
processamento do material (laminação, forjamento, fundição,
extrusão, estampagem, tratamento térmico) que pode gerar
descontinuidades, tais como inclusões de material, segregação de
elementos de liga, vazios, precipitação de partículas endurecidas e
descontinuidades cristalinas.
Uma vez iniciada uma trinca, sua propagação pode ser acelerada por
tensões residuais, temperaturas elevadas, ciclo de temperatura,
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ambiente corrosivo, e pela frequência.
Movimentos cíclicos e projetos
Análise e projeto considerando a
falha por fadiga
Tal como fizemos para o estudo e projeto considerando a falha estática,
tentaremos apresentar critérios para análise e projeto de sistemas sob
carregamento dinâmico que podem falhar devido a fadiga.
Curva de fadiga (Curva S-N) e limite de fadiga
As propriedades de fadiga dos materiais são obtidas com a ajuda do
teste padrão de eixo rotativo, no qual uma amostra de seção circular
altamente polida é submetida a cargas cíclicas. A amostra é sujeita a
um momento de flexão constante e gira em torno de seu eixo a uma
velocidade muito elevada. Em consequência, pontos do corpo de provas
fora do eixo neutro sofrem repetidas inversões de tensão (tração e
compressão). O gráfico tensão-vida para um aço UNS G41 300
normalizado com limite de resistência à tração de 810MPa é
apresentado na imagem seguinte:
O teste é repetido para diversas amostras, sujeitando-as a diferentes
valores de tensão. O número de ciclos (um ciclo corresponde a uma
volta completa do eixo, isto é, um ponto do material fora do eixo neutro
será submetido a um ciclo de tração e compressão) que o corpo de
provas resiste antes da fratura é chamado vida em fadiga do material. O
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primeiro teste é realizado submetendo a amostra a uma tensão
ligeiramente abaixo da resistência à tração do material, e os testes
subsequentes são realizados com níveis de tensão menores.
A ordenada da curva é denominada resistência à fadiga
, e pode ser definida como a tensão máxima que o material
pode suportar para um número específico de ciclos (inversões de
tensão). Para os metais ferrosos e suas ligas, a curva S-N torna-se
horizontal após a ciclos, o que significa que o material
pode resistir a um número infinito de ciclos se a tensão induzida for
inferior a esse nível.
A tensão correspondente a essa linha horizontal é
chamada limite de fadiga.
O limite de fadiga pode ser definido como a amplitude
máxima de tensão completamente invertida que o espécime padrão
pode suportar durante um número ilimitado de ciclos sem falha por
fadiga. estudo da fadiga em que a falha ocorre antes de 1000
ciclos chama-se fadiga de baixo ciclo. Já a fadiga de alto ciclo diz
respeito à falha que ocorre após os 1000 ciclos.
Na ausência de dados experimentais de fadiga sobre um material,
podemos utilizar as seguintes relações:
Para aços, 
Para ferro fundido, 
Fatores modi�cadores do limite de resistência
à fadiga
O corpo de provas utilizado nos testes para a determinação da
resistência à fadiga é preparado cuidadosamente e testado em
condições controladas. O limite de resistência de qualquer elemento de
máquina pode não corresponder exatamente aos valores obtidos nos
testes devido à variação do material, qualidade da fabricação, condições
ambientais e geometria. Portanto, o limite de resistência obtido
experimentalmente deve ser modificado utilizando alguns fatores
(fatores de Marin) para obter resultados mais próximos da realidade.
O limite de resistência de uma determinada peça pode então ser
estimado utilizando a seguinte relação:
Onde:
S − N
(Sf)
106 107
(S ′
e)
O
S ′
e = 0, 5Sut
S ′
e = 0, 4Sut
Se = kakbkckdkekfS
′
e
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 - limite de resistência à fadiga obtido experimentalmente;
 - fator de acabamento superficial;
 - fator de tamanho;
 - fator de carga;
 - fator de temperatura;
 - fator de confiabilidade; e
 - fatores diversos.
Fator de acabamento super�cial ( 
A superfície do corpo de provas do teste tensão-vida é altamente polida,
mas a maioria dos elementos de máquinas não tem o mesmo
acabamento superficial, demandando uma modificação no limite de
resistência obtido experimentalmente. O fator de acabamento
superficial depende do processo de fabricação utilizado e da resistência
à tração do material . O seu valor pode ser obtido por meio da
fórmula a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Onde, a e b podem ser obtidos na tabela seguinte:
Acabamento
superficial
Coeficiente  (Para
Sut em Mpa)
Coeficiente
b
Retificado 1,58 -0,085
Usinado ou
laminado a frio
4,51 -0,265
Laminado a quente 57,7 -0,718
Forjado 272 -0,995
Fator de tamanho 
S ′
e
ka
kb
kc
kd
ke
kf
ka)
(Sut )
ka = aSb
ut
(kb)
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O corpo de provas padrão tem um diâmetro de e o fator
de tamanho deve ser aplicado para elementos de máquinas de
tamanhos diferentes. O seu valor pode ser obtido a partir das seguintes
relações: