aula 3 - sinalização

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Microeconomia II
parte 2
Aula 3 – sinalização
Professor: Renato Schwambach Vieira
Bibliografia: 
[BKM] 
[MWG] A. Mas-Colell, M. Whinston, and J. Green.
Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995..
(
න
𝜃
𝜃
𝑁 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑑𝐹(𝜃) + න
𝜃
𝜃
𝑁 1 − 𝐼 𝜃 × 𝑟 𝜃 𝑑𝐹(𝜃)
Receita bruta 
das firmas
Renda dos 
trabalhadores em casa
Essa é uma integral do tipo Riemann-Stieltjes, comumente utilizada para trabalhar com variáveis 
aleatórias que não possuem função de densidade definida
https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/Stieltjes-integral-rules 
𝐹(𝜃) é a f.d.a. (função de distribuição acumulada) da variável aleatória 𝜃
Possui a seguinte propriedade:
න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝐹 𝑥 =
න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝐹 𝑥 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 [𝑎, 𝑏]
න
𝑎
𝑐
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑐 𝐹 𝑐 − lim
𝑥→𝑐
𝐹 𝑥 + න
𝑐
𝑏
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒 𝐹 𝑥 𝑛ã𝑜 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]
https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/Stieltjes-integral-rules
Exemplo, considere o caso em que:
Θ∗ = {𝜃2, 𝜃3}
𝜃1 = 1; 𝜃2 = 2; 𝜃3 = 3;
𝑟 𝜃 = 2 ∀ 𝜃
O bem-estar da economia será calculado como:
න
𝜃
𝜃
𝑁 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑑𝐹(𝜃) + න
𝜃
𝜃
𝑁 1 − 𝐼 𝜃 × 𝑟 𝜃 𝑑𝐹(𝜃) =
൮
൲
3 𝐼 1 × 1 𝐹 1 − lim
𝜃→1
𝐹 𝜃 + න
1
2
3 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃
+ 3 𝐼 2 × 2 𝐹 1 − lim
𝜃→2
𝐹 𝜃 + න
2
3
3 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃
+ 3 𝐼 3 × 3 𝐹 1 − lim
𝜃→3
𝐹 𝜃
𝑁 = 3
𝐹 𝜃 =
0 𝑠𝑒 𝜃 < 1
1/3 𝑠𝑒 1 ≤ 𝜃 < 2
2/3 𝑠𝑒 2 ≤ 𝜃 < 3
1 𝑠𝑒 3 ≤ 𝜃
+
൮
൲
3 1 − 𝐼 1 × 2 𝐹 1 − lim
𝜃→1
𝐹 𝜃 + න
1
2
3 1 − 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃
+ 3 1 − 𝐼 2 × 2 𝐹 1 − lim
𝜃→2
𝐹 𝜃 + න
2
3
3 1 − 𝐼 𝜃 × 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃
+ 3 1 − 𝐼 3 × 2 𝐹 1 − lim
𝜃→3
𝐹 𝜃
0 + 0 + 3 2 1/3 + 0 + 3 3 1/3 + 3 2 1/3 + 0 + 0 + 0 + 0
2 + 3 + 2 = 7
)
Sinalização
Sinalização:
 Ação de quem possui a informação
 Revela, total ou parcialmente, essa informação
2 tipos: 𝜃𝐻: alta (high) produtividade
 𝜃𝐿: baixa (low) produtividade 
𝜆 = 𝑃 𝜃𝐻 ∈ (0,1): Probabilidade de ser alta produtividade
O trabalhador pode adquirir uma quantidade 𝑒 de educação antes de ingressar no mercado de trabalho
 A educação não afeta a produtividade
 O custo da educação é uma função da quantidade 𝑒 adquirida e da produtividade 𝜃 do trabalhador
 As derivadas parciais da função de custo são: e:
 
A utilidade final do trabalhador é dada por: 𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃 = 𝑤 − 𝑐(𝑒, 𝜃)
Adaptações do modelo da aula anterior
Custos 
decrescentes em 𝜃
Custos 
crescentes em 𝑒
Custos marginais 
crescentes em 𝑒
Custos marginais 
decrescentes em 𝜃
𝜃𝐻 > 𝜃𝐿 > 0 𝑟 𝜃𝐻 = 𝑟 𝜃𝐿 = 0
𝑐𝑒 𝑒, 𝜃 > 0 𝑐𝑒𝑒 𝑒, 𝜃 > 0 𝑐𝜃 𝑒, 𝜃 < 0 𝑐𝑒𝜃 𝑒, 𝜃 < 0 𝑐 0, 𝜃 = 0
𝑤 é o salário pago pela firma ao trabalhador
Ao observar 𝑒, 
as firmas formam 𝜇(𝑒):
crença sobre a probabilidade do 
trabalhador ter alta produtividade
A produtividade esperada do 
trabalhador pela firma é:
No equilíbrio de Nash de 
estratégias puras das firmas, o 
salário ofertado se iguala a essa 
produtividade esperada:
Modelo é representado pelo jogo extensivo com: 1 trabalhador e 2 firmas
𝜇 𝑒 𝜃𝐻 + (1 − 𝜇 𝑒 )𝜃𝐿
𝑤∗ = 𝜇 𝑒 𝜃𝐻 + (1 − 𝜇 𝑒 )𝜃𝐿
Escolher seu investimento (𝑒) em educação dado seu tipo (𝜃)
O problema do trabalhador passa a ser:
Curvas de indiferença entre salário e educação
𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃 = 𝑤 − 𝑐(𝑒, 𝜃)
A taxa marginal de substituição entre salário e educação 
será:
𝑐𝑒 𝑒, 𝜃 > 0
Essa substituição é decrescente em 𝜃, pois assumimos que:
𝑐𝑒𝜃 𝑒, 𝜃 < 0
Assim:
 - a curva de indiferença de 𝜃𝐻 é sempre menos inclinada 
que a curva de 𝜃𝐿
 - as curvas de indiferença se cruzam em um único ponto
(single-crossing property)
𝑤, 𝑒 : 𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃𝐿 = 𝑢 ෝ𝑤, Ƹ𝑒 𝜃𝐿 
𝑤, 𝑒 : 𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃𝐻 = 𝑢 ෝ𝑤, Ƹ𝑒 𝜃𝐻
𝑒
𝑤
Dado que:
Assim, o salário de equilíbrio 𝑤(𝑒) será uma função do nível de educação escolhido pelo trabalhador
Salário de equilíbrio 𝑤(𝑒)
O equilíbrio dependerá então do nível de educação 
escolhido por cada trabalhador
Dois resultados possíveis:
2 - Equilíbrio desagregador (separating equilibrium): 
cada tipo escolhe um nível de educação diferente
𝑤(𝑒) = 𝜇 𝑒 𝜃𝐻 + (1 − 𝜇 𝑒 )𝜃𝐿
1 - Equilíbrio agregador (pooling equilibrium): 
ambos os tipos escolhem o mesmo nível de educação
𝑤
𝑤(𝑒)
𝑒
1 - ambos os tipos de trabalhadores recebem um salário igual à sua produtividade
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Seja: 𝑒∗ 𝜃 : a escolha de equilíbrio do nível de educação dos trabalhadores
𝑤∗ 𝑒 : o salário de equilíbrio oferecido pelas firmas
Num equilíbrio Bayesiano perfeito desagregador:
𝑤∗ 𝑒∗ 𝜃𝐻 = 𝜃𝐻 𝑤∗ 𝑒∗ 𝜃𝐿 = 𝜃𝐿
2 – o trabalhador com baixa produtividade escolhe um nível de educação igual a zero
𝑒∗ 𝜃𝐿 = 0
Curva de indiferença do trabalhador 𝜽𝑳
𝑒 = 0: nível de educação adquirida por 𝜃𝐿 num 
equilíbrio desagregador
ǁ𝑒: nível de educação que o trabalhador 𝜃𝐿 
estaria disposto a comprar para receber um 
salário com valor 𝜃𝐻
Visualizando o equilíbrio desagregador
𝑤, 𝑒 : 𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃𝐿 = 𝑢 𝜃𝐿, 0 𝜃𝐿 
𝑤
𝑤∗ 𝑒∗ 𝜃𝐿 = 𝜃𝐿
𝑒∗ 𝜃𝐿
𝑒
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Curvas de indiferença e salário de equilíbrio
A figura apresenta o caso específico onde o 
trabalhador de baixa produtividade estaria 
indiferente entre (0, 𝜃𝐿) e ( ǁ𝑒, 𝜃𝐻)
𝑢 0, 𝜃𝐿 𝜃𝐿 = 𝑢 ǁ𝑒, 𝜃𝐻 𝜃𝐿
Já para o trabalhador de alta produtividade, a 
única opção que maximiza sua utilidade é:
( ǁ𝑒, 𝜃𝐻)
A linha tracejada apresenta uma possível 
solução de equilíbrio para o salário 𝑤∗ 𝑒 
oferecido pelas firmas
A educação funciona como sinalização porque o custo marginal da educação é uma função 
decrescente em 𝜃 𝑐𝑒𝜃 𝑒, 𝜃 < 0
Visualizando o equilíbrio desagregador
𝑤
Curvas de indiferença e salário de equilíbrio
Em geral, existirão múltiplas curvas de oferta 𝑤∗ 𝑒 das firmas que satisfarão as 
condições de equilíbrio
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Curvas de indiferença e salário de equilíbrio
Aqui temos um caso alternativo, onde o 
trabalhador de alta-produtividade fica 
indiferente entre (0, 𝜃𝐿) e (𝑒1, 𝜃𝐻)
𝑢 0, 𝜃𝐿 𝜃𝐻 = 𝑢 𝑒1, 𝜃𝐻 𝜃𝐻
Note que 𝑒1 > ǁ𝑒
Já para o trabalhador de baixa-produtividade, a 
única opção que maximiza sua utilidade é:
(0, 𝜃𝐿)
𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃 = 𝑤 − 𝑐(𝑒, 𝜃)
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Em todos os equilíbrios desagregadores:
 As firmas tem lucro zero
 Os trabalhadores 𝜃𝐿 recebem utilidade 𝑤 0 = 𝜃𝐿
 Já os trabalhadores 𝜃𝐻 estarão melhores quão menor for 𝑒∗(𝜃𝐻)
𝑢 𝑤 0 , 0|𝜃𝐿 = 𝑤 0 − 𝑐 0, 𝜃𝐿 = 𝜃𝐿
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Comparado ao cenário com assimetria de informação, mas sem sinalização:
 Os trabalhadores 𝜃𝐿 estarão certamente piores
 em ambos os casos, o gasto com educação é zero
 antes recebiam 𝐸 𝜃 e 𝜃𝐿 < 𝐸 𝜃 < 𝜃𝐻
 agora recebem exatamente 𝜃𝐿
 Já os trabalhadores 𝜃𝐻 poderão estar tanto melhor quanto pior
𝑢 𝐸 𝜃 − 0 < 𝑢 𝜃𝐻 − 𝑐 𝑒∗(𝜃𝐻), 𝜃𝐻 𝑢 𝐸 𝜃 − 0 > 𝑢 𝜃𝐻 − 𝑐 𝑒∗(𝜃𝐻), 𝜃𝐻 Note que o equilíbrio 
desagregador não 
depende de 𝜆 
(proporção de𝜃𝐻)
Assim, quão maior for 𝜆, 
maior a ineficiência 
decorrente do gasto inútil 
com educação
Equilíbrio desagregador
(separating equilibrium)
Equilíbrio agregador
(pooling equilibrium)
No equilíbrio agregador, ambos os tipos de trabalhadores escolhem um mesmo nível de 
educação
Como a crença das firmas deve ser corretamente derivada das estratégias de equilíbrio, 
devemos ter:
𝑒 𝜃𝐿 = 𝑒 𝜃𝐻 = 𝑒∗
𝑤(𝑒∗) = 𝜆𝜃𝐻 + (1 − 𝜆)𝜃𝐿 = 𝐸[𝜃]
𝑤(𝑒∗) = 𝐸[𝜃] Qualquer equilíbrio agregador 
com:
𝑤(𝑒∗) = 𝐸 𝜃
𝑒∗ ∈ (0, 𝑒′)
Podem ser sustentados
Entretanto, não é possível sustentar
𝑒∗ > 𝑒′
Pois 𝜃𝐿 teria incentivo para escolher 
(0, 𝜃𝐿)
Equilíbrio agregador
(pooling equilibrium)
Nosequilíbrios agregadores:
- ambos os trabalhadores devem receber 𝐸 𝜃
- a educação exigida pela firma para se receber𝐸 𝜃
- não pode ser maior que 𝑒′
(𝑢 𝜃𝐿, 0|𝜃𝐿 = 𝑢 𝐸 𝜃 , 𝑒′ 𝜃𝐿 )
Nos equilíbrios desagregadores:
- cada trabalhador recebe 𝜃𝑖
- o único equilíbrio para 𝜃𝐿 é (0, 𝜃𝐿)
- a educação exigida pela firma para se receber 𝜃𝐻 
- não pode ser maior que 𝑒1
- - não pode ser menor que ǁ𝑒
RESUMO
Intervenção de Pareto Restrita
(second best intervention)
Intervenções do planejador central podem melhorar o bem-estar social 
(mesmo sem conhecer o tipo de cada trabalhador)
- se o bem-estar com sinalização é inferior ao caso sem-sinalização,
o governo pode proibir a sinalização
- Em alguns casos, um subsídio cruzado pode 
amplifica o bem-estar
Ex: fixando os salários conforme a regra:
ෝ𝑤𝐿 > 𝜃𝐿 𝑠𝑒 𝑒 < ǁ𝑒
ෝ𝑤𝐻 < 𝜃𝐻 𝑠𝑒 𝑒 ≥ ǁ𝑒
O bem estar alcançado é superior ao equilíbrio de mercado
Considerando: 𝑐 𝑒, 𝜃 =
𝑒2
𝜃
𝜃𝐿 = 1 𝜃𝐻 = 2
𝑢 𝑤, 𝑒|𝜃 = 𝑤 − 𝑐(𝑒, 𝜃)
Calcule 𝑢𝐻, 𝑢𝐿 e Ω = 𝜆𝑢𝐻 + 1 − 𝜆 𝑢𝐿 nos seguintes cenários:
𝜆 = 4/5
𝑟 𝜃𝐿 = 𝑟 𝜃𝐻 = 0
a) Sem assimetria de informação
𝑤 𝜃 = 𝜃 e 𝑒 = 0 ∀ 𝜃
b) Com assimetria de informação, mas sem sinalização
𝑤∗ = 𝐸 𝜃 e 𝑒 = 0 ∀ 𝜃
c) Com sinalização via 𝑒, no equilíbrio agregador com o maior valor de 𝑒∗ possível
encontre 𝑒′: 𝑢𝐿 𝑤∗, 𝑒′ = 𝑢𝐿 𝜃𝐿 , 0 e defina 𝑤 𝑒 = ቊ
𝐸[𝜃] 𝑠𝑒 𝑒 ≥ 𝑒′
𝜃𝐿 𝑠𝑒 𝑒 < 𝑒′
d) Com sinalização via 𝑒, no equilíbrio desagregador com o menor valor de 𝑒∗ possível
encontre 𝑒∗: 𝑢𝐿 𝜃𝐻 , 𝑒∗ = 𝑢𝐿 𝜃𝐿 , 0 e defina 𝑤 𝑒 = ቊ
𝜃𝐻 𝑠𝑒 𝑒 ≥ 𝑒∗
𝜃𝐿 𝑠𝑒 𝑒 < 𝑒∗
Lista 1, exercício 2:
Próxima aula
[BKM] 
[MWG] A. Mas-Colell, M. Whinston, and J. Green.
Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.
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	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 14: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 15: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 16: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 17: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 18: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 19: Equilíbrio desagregador (separating equilibrium)
	Slide 20: Equilíbrio agregador (pooling equilibrium)
	Slide 21: Equilíbrio agregador (pooling equilibrium)
	Slide 22: RESUMO
	Slide 23: Intervenção de Pareto Restrita (second best intervention)
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26