Cálculos Matemáticos

Prévia do material em texto

- Resposta: \(\int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{\frac{3}{2}} + C\), 
onde \(C\) é a constante de integração. 
 
148. Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\). 
 
149. Encontre a solução para a equação logarítmica \(\log_3(x + 4) = 3\). 
 - Resposta: \(x = 81 - 4 = 77\). 
 
150. Calcule a derivada da função \(f(x) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}}\). 
 - Resposta: \(f'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))}}\). 
 
151. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y}\). 
 - Resposta: \(y(x) = \sqrt{(x + C)^2 - x}\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
152. Encontre a integral indefinida de \(\int e^x \sinh(x) \, dx\). 
 - Resposta: \(\int e^x \sinh(x) \, dx = \frac{1}{2}(e^{2x} - e^x) + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração. 
 
153. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{x}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 
 
)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x} = 0\). 
 
154. Calcule a derivada da função \(f(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}\). 
 - Resposta: \(f'(x) = -\sin(x)(\tan(x) + \sin(x))\). 
 
155. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y^2 - 4\). 
 - Resposta: \(y(x) = \frac{2}{C - x}\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
156. Encontre a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx\).