Cálculos Matemáticos

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- Resposta: \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} \, dx = \ln|x + \sqrt{x^2 - 4}| + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração. 
 
157. Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{\sin(3x)}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{\sin(3x)} = \frac{5}{3}\). 
 
158. Encontre a solução para a equação logarítmica \(\log_6(2x - 1) = 3\). 
 - Resposta: \(x = \frac{217}{2}\). 
 
159. Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(\cosh(x))\). 
 - Resposta: \(f'(x) = \tanh(x)\). 
 
160. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = e^{2x} - 2x\). 
 - Resposta: \(y(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - x^2 + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
161. Encontre a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\). 
 - Resposta: \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C\), 
onde \(C\) é a constante de integração. 
 
162. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^3)}{x}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^3)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3\ln(x)}{x} = 0\). 
 
163. Calcule a derivada da função \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin(x)}}\). 
 - Resposta: \(f'(x) = \frac{\cos(x)}{2(1 - \sin(x))^{\frac{3}{2}}}\). 
 
164. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1 + y^2}\). 
 - Resposta: \(y(x) = \tan^{-1}(x + C)\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
165. Encontre a integral indefinida de \(\int e^x \cosh(x) \, dx\). 
 - Resposta: \(\int e^x \cosh(x) \, dx = \frac{1}{2}(e^{2x} + e^x) + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração.