Matematica avancaçada-103

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- Resposta: Aplicando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), a 
derivada é \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\). 
 
262. Resolva a equação diferencial \(y'' + 9y' + 14y = 0\). 
 - Resposta: A equação característica associada é \(r^2 + 9r + 14 = 0\), que fatora para \((r 
+ 7)(r + 2) = 0\). Portanto, a solução é \(y(x) = (Ax + B)e^{-7x} + (Cx + D)e^{-2x}\), onde \(A\), 
\(B\), \(C\) e \(D\) são constantes. 
 
263. Determine a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 9x + 14} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos reescrever o integrando como \(\frac{1}{(x - 7)(x - 2)}\), e então a 
integral torna-se \(\int \frac{1}{(x - 7)(x - 2)} \, dx = \frac{1}{x - 7 - x + 2} + C = \frac{1}{-5} \ln|x 
- 7| - \ln|x - 2| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
264. Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 9x} - x}{x}\). 
 - Resposta: Podemos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por 
\(\sqrt{x^2}\), então o limite se torna \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 9x} - x}{x} = \lim_{x 
\to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 9x} - x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2} + x}{\sqrt{x^2} + x} = \lim_{x \to 
\infty} \frac{x + 9x - x}{x\sqrt{1 + \frac{9}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{9x}{x\sqrt{1 + 
\frac{9}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{9}{\sqrt{1 + 0}} = 9\). 
 
265. Encontre a solução para a equação \(14^x = 38416\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(38416\) como \(14^3\), então a equação se torna 
\(14^x = 14^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
266. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 9x^2 + 15x)\). 
 - Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 9x^2 + 15x} 
\cdot ( 
 
3x^2 - 18x + 15)\). 
 
267. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^8 + y^8}{xy}\). 
 - Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^7}{y} + 
\frac{y^7}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis, 
obtemos \(\frac{dy}{y^7} = (\frac{x^7}{y} + \frac{y^7}{x}) dx\). Integrando ambos os lados, 
chegamos a \(-\frac{1}{9y^8} = \frac{x^8}{8} + \frac{y^8}{8x} + C\), onde \(C\) é uma 
constante de integração. Portanto, a solução geral é \(9y^8 = -\frac{1}{\frac{x^8}{9} - 
\frac{y^8}{9x} - C}\).