AOL2 - Calculo diferencial Uninassau

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Módulo C - 63326 . 7 - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) – Questionário 
1. Pergunta 1 
/1 
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem 
inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, que 
relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, entre outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e 
acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) 
falsa(s): 
I. ( ) é uma relação trigonométrica. 
II. ( ) é uma relação trigonométrica. 
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x). 
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, F, V, V. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
V, F, V, F. 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/1 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são muito 
úteis para resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. 
Mensurar áreas e encontrar a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e integrais. Saber 
distingui-las é essencial. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos estudados em 
Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 2, 3, 4. 
2. 
3, 4, 2, 1. 
3. 
1, 2, 4, 3. 
4. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
5. Incorreta: 
2, 1, 3, 4. 
3. Pergunta 3 
/1 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de inúmeros 
limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas derivando o numerador 
e o denominador de uma função que é escrita em forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus 
conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
F, V, F, F. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
V, F, F, V. 
4. Pergunta 4 
/1 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é 
utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas 
funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a 
partir daí, obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da 
velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas 
informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro 
grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do 
primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração 
é constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III. 
2. 
I, II e IV. 
3. 
III e IV. 
Resposta correta 
4. 
I, II, III. 
5. 
II e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas 
de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na 
modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
2. 
4, 1, 2, 3. 
3. 
4, 2, 1, 3. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
6. Pergunta 6 
/1 
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa 
regra tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser 
aplicada, também, inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que 
cessam. 
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra. 
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital. 
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
2. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
3. 
F, F, F, V. 
4. 
F, F, V, V. 
5. 
V, V, V, F. 
7. Pergunta 7Crédito total dado 
/1 
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de 
manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de 
exercícios, já que nem sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de 
funções trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes 
ferramentas para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito 
em poucos passos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e 
a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. 
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). 
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. 
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, II e IV. 
8. Pergunta 8 
/1 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no 
entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, 
ao substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, 
encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informaçõese os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas 
propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito 
ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Mostrar opções de resposta 
9. Pergunta 9 
/1 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, 
tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o 
nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de 
variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, 
enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e 
as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 
9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
II e III. 
4. Incorreta: 
I e II. 
5. 
I e III. 
10. Pergunta 10 
/1 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma 
função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, 
novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira 
mais rápida e simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus 
conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em 
cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, V. 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, F, V, V. 
5. 
V, V, F, F.