Matematica avancaçada-106

Prévia do material em texto

281. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 - Resposta: Aplicando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), a 
derivada é \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\). 
 
282. Resolva a equação diferencial \(y'' + 11y' + 18y = 0\). 
 - Resposta: A equação característica associada é \(r^2 + 11r + 18 = 0\), que fatora para 
\((r + 9)(r + 2) = 0\). Portanto, a solução é \(y(x) = (Ax + B)e^{-9x} + (Cx + D)e^{-2x}\), onde 
\(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são constantes. 
 
283. Determine a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 11x + 18} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos reescrever o integrando como \(\frac{1}{(x - 9)(x - 2)}\), e então a 
integral torna-se \(\int \frac{1}{(x - 9)(x - 2)} \, dx = \frac{1}{x - 9 - x + 2} + C = \frac{1}{-7} \ln|x 
- 9| - \ln|x - 2| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
284. Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 11x} - x}{x}\). 
 - Resposta: Podemos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por 
\(\sqrt{x^2}\), então o limite se torna \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 11x} - x}{x} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 11x} - x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2} + x}{\sqrt{x^2} + x} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{x + 11x - x}{x\sqrt{1 + \frac{11}{x}}} = \lim_{x \to \infty} 
\frac{11x}{x\sqrt{1 + \frac{11}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{11}{\sqrt{1 + 0}} = 11\). 
 
285. Encontre a solução para a equação \(18^x = 262144\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(262144\) como \(18^3\), então a equação se torna 
\(18^x = 18^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
286. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 11x^2 + 19x)\). 
 - Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 11x^2 + 19x} 
\cdot (3x^2 - 22x + 19)\). 
 
287. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{10} + y^{10}}{xy}\). 
 - Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^9}{y} + 
\frac{y^9}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis, 
obtemos \(\frac{dy}{y^9} = (\frac{x^9}{y} + \frac{y^9}{x}) dx\). Integrando ambos os lados, 
chegamos a \(-\frac{1}{13y^{10}} = \frac{x^{10}}{10} + \frac{y^{10}}{10x} + C\), onde \(C\) é 
uma const