Lista 14 - Quádricas

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- Cálculo 2: Lista de exercícios - Cilindros e Superfícies Quádricas 1
Questão 1 (a) O que a equação y = x2 representa como uma curva em R2?
(b) O que ela representa como uma superfície em R3?
(c) O que a equação z = y2 representa?
Questão 2 (a) Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica x2 + y2 − z2 = 1;
(b) Se trocarmos a equação na parte (a) para x2 − y2 + z2 = 1, como isso afeta o gráfico?
(c) E se trocarmos a equação em (a) para x2 + y2 + 2y − z2 = 0?
Questão 3 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
(a) x = y2 + 4z2
(c) −x2 + 4y2 − z2 = 4
(b) 9x2 − y2 + z2 = 0
(d) 25x2 + 4y2 + z2 = 100
Questão 4 Faça um correspondente entre a equação e seu gráfico.
(a) x2 + 4y2 + 9z2 = 1
(c) x2 − y2 + z2 = 1
(e) y = 2x2 + z2
(g) x2 + 2z2 = 1
(b) 9x2 + 4y2 + z2 = 1
(d) −x2 + y2 − z2 = 1
(f) y2 = x2 + 2z2
(h) y = x2 − z2
Questão 5 Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
(a) y2 = x2 +
1
9
z2
(b) 4x2 − y + 2z2 = 0
(c) 4x2 + y2 + 4z2 − 4y − 24z + 36 = 0
(d) x2 − y2 + z2 − 4x− 2y − 2z + 4 = 0
Questão 6 Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto (−1, 0, 0) e
do plano x = 1.
1Exercícios retirados do livro: Cálculo, Vol. II, de James Stewart.
Respostas:
1. (a) Parábola
(b) Cilindro parabólico com domínios paralelos ao eixo z
(c) Cilindro parabólico com domínios paralelos ao eixo x
2. (a) x = k, y2 − z2 = 1− k2, hiperbole(k 6= ±1)
y = k, x2 − z2 = 1− k2, hiperbole(k 6= ±1)
z = k, x2 + y2 = 1 + k2, círculo
(b) A hiperboloide é rotacionada de modo que tenha o eixo no eixo y
(c) A hiperboloide é deslocada uma unidade na direção negativa y
3. (a) Paraboloide elíptica com eixo no eixo x
(b) Cone elíptico com eixo no eixo y
(c)Hiperboloide de duas folhas
(d) Elipsoide
4. (a) VII (b) IV (c) II (d) III (e) VI (f) I (g) VIII (h) V
5. (a) y2 = x2 + z2
9 , Cone elíptico com eixo no eixo y
(b) y
4 = x2 + z2
2 , Paraboloide elíptico com eixo no eixo y
(c)x2 + (y−2)2
4 + (z − 3)2 = 1, Elipsoide com centro (0, 2, 3)
(d)(y + 1)2 = (x− 2)2 + (z − 1)2, Cone circular com vértice (2,−1, 1) e eixo paralelos ao eixo y
6. −4x = y2 + z2, paraboloide