Lista 8, Representações de funções como Séries de Potência

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8a Lista de Exercícios - Representações de funções como Séries
de Potência
Disciplina: Cálculo II
Questão 1 Se o raio de convergência da série de potências
∞∑
n=0
cnx
n for 10, qual será o raio de convergência da série
∞∑
n=1
ncnx
n−1
Questão 2 Suponha que você sabe que a série
∞∑
n=0
bnx
n converge para |x| < 2. O que você pode dizer da série a seguir? Por
quê?
∞∑
n=0
bn
n+ 1
xn+1
Questão 3 Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de
convergência.
(a) f(x) =
1
1 + x
(c) f(x) =
1 + x
1− x
(b) f(x) =
2
3− x
(d) f(x) =
x2
a3 − x3
, a 6= 0
Questão 4 (a) Use a derivação para encontrar a representação em série de potências com centro 0 para
f(x) =
1
(1 + x)2
Qual o raio de convergência?
(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f(x) =
1
(1 + x)3
.
(c) Use o item (b) para achar uma série de potências para f(x) =
x2
(1 + x)3
.
Questão 5 Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de con-
vergência.
(a) f(x) = ln(5− x) (b) f(x) = x2tg−1(x3) (c) f(x) =
(
x
2− x
)3
Questão 6 (a) Completando quadrado, mostre que∫ 1
2
0
dx
x2 − x+ 1
=
π
3
√
3
(b) Usando a fatoração de x3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do ítem (a). Depois expresse 1x3+1 como
a soma de uma série de potências e use-a para mostrar a seguinte fórmula para π:
π =
3
√
3
4
∞∑
n=0
(−1)n
8n
(
2
3n+ 1
+
1
3n+ 2
)
Questão 7 Considere a série
∞∑
n=0
xn
n!
.
(a) Encontre seu raio de convergência.
(b) Defina f(x) =
∞∑
n=0
xn
n!
. Mostre que f(x) = f ′(x).
(c) Mostre que e−xf(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
(d) Mostre que ex =
∞∑
n=0
xn
n!
(Sugestão: Use que f(0) = 1).