series de potencias

Prévia do material em texto

IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Notas de Aula de Cálculo
Séries de Potências
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
17 de outubro de 2018
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Sumário
1 Séries de Potências 3
1.1 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Estudo da Convergência das Séries de Potências . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Intervalo de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Diferenciação e Integração de Séries de Potências . . . . . . . . . . . 7
1.5 Representação de Funções como Séries de Potências . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Séries de potências geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Polinômios de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Expansão de Funções em Séries de Taylor e de Maclaurin . . . 10
1.6.3 Convergência das séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Séries de Potências de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
Capítulo 1
Séries de Potências
O objetivo deste texto consiste em representar as funções elementares
do Cálculo como séries de potências de x. A seguir, verifica-se para quais valores de
x a série obtida é convergente. Os valores de x que tornam uma série convergente
são determinados pelo teste da razão.
Uma série de potências de x é um caso particular de uma série de funções.
Quando f é representada por uma série de função, pode-se estudar a relação entre
a função f e os coeficientes da série.
As séries de potências aparecem em muitos problemas da Física Mate-
mática como, por exemplo, em fenômenos ondulatórios.
1.1 Séries de Funções
Considere uma sequência ann=∞n=0 de números reais. A soma das funções
S(x) = a0(x) + a1(x) + a2(x) + a3(x) + a4(x) + . . .+ an(x) + . . . .
denomina-se série de funções.
Pode-se ainda escrever a soma dos n-primeiros termos da série represen-
tada por
Sn(x) = a0(x) + a1(x) + a2(x) + a3(x) + a4(x) + . . .+ an(x) + . . . .
Mais geralmente define-se uma série de funções como segue.
3
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.2. SÉRIES DE POTÊNCIAS
Definição 1.1.1. Denomina-se série de funções toda série na qual o termo geral é
uma função da variável x e denota-se por
+∞∑
n=0
un(x) = u0(x) + u1(x) + u2(x) + . . .+ un(x) + . . . .
Para cada valor de x fixado, obtém-se uma série numérica, que pode ser
convergente ou divergente.
Exemplo 1.1.1. Sejam as funções de R → R definidas por
u0(x) = 1,
u1(x) = x,
u2(x) = x
2,
u3(x) = x
3,
u4(x) = x
4,
· · · ,
un(x) = x
n,
. . . .
A soma dos n-primeiros termos da série é representada por
Sn(x) = 1 + x+ x
2 + x3 + . . .+ xn.
Exemplo 1.1.2. São exemplos de séries de funções
a)
+∞∑
n=0
cos(nx)
n2 + 1
b)
+∞∑
n=1
sen(n4x)
n2
.
1.2 Séries de Potências
As séries de potências são séries de funções que aparecem com frequência
em problemas de aplicações. São úteis também no processo de integração de funções
que não possuem antiderivadas elementares, na resolução de equações diferenciais e
para aproximar funções por polinômios.
4 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.2. SÉRIES DE POTÊNCIAS
Definição 1.2.1. Uma série de potências é uma série cujos termos envolvem apenas
potências de x multiplicadas por coeficientes constantes dn. Uma série de potências
é uma expressão da forma
+∞∑
n=0
dnx
n = d0 + d1x+ d2x
2 + d3x
3 + . . .+ dnx
n + . . . , (1.2.1)
em que d0, d1, d2, . . . são números denominados coeficientes da série.
Em geral, uma série da forma
+∞∑
n=0
dn(x−c)n = d0+d1(x−c)+d2(x−c)2+d3(x−c)3+ . . .+dn(x−c)n+ . . . (1.2.2)
é chamada uma série de potências centrada em c (ou ainda ao redor de c), onde c é
uma constante.
Exemplo 1.2.1. A série
+∞∑
n=0
xn é uma série de potências onde todos os coeficientes
dn são iguais a 1. O centro da série é x = 0.
Exemplo 1.2.2. A série
+∞∑
n=1
cos(x) + sen(x)
2n3 + n
não é uma série de potências, pois seus
termos não envolvem apenas potências de x.
Uma série de potências pode ser considerada uma função de x
f(x) =
+∞∑
n=0
dn(x− c)n, (1.2.3)
onde o domínio de f são todos os valores de x para os quais a série converge. Toda
série converge em seu centro c.
Observação 1.2.1. Observe que a série (1.2.3) pode ser vista como a generalização
de um polinômio. O principal objetivo de estudar essas séries é tornar possível repre-
sentar uma função como uma série de potências. Expressar uma função conhecida
como uma soma infinita de termos é uma estratégia muito útil para integrar funções
que não têm antiderivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.
Exemplo 1.2.3.
+∞∑
n=1
xn
n!
é uma série de potências com centro em zero e com coefi-
cientes dn =
1
n!
.
Para cada valor x fixo, a série de potências é uma série numérica que
pode ser testada quanto a sua convergência ou divergência. Uma série de potências
pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros.
5 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.3. ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE POTÊNCIAS
1.3 Estudo da Convergência das Séries de Potências
Teorema 1.3.1. Para cada série de potências
+∞∑
n=0
dn(x − c)n exatamente uma das
seguintes afirmações é verdadeira:
1. A série converge apenas em x = c, ou seja, no centro da série de potência.
2. A série converge para todo valor de x ∈ R.
3. Existe um número real positivo R (conhecido como raio de convergência) tal que
a série converge (absolutamente) se |(x− c)| < R e diverge se |(x− c)| > R.
- O número R é chamado raio de convergência da série de potências.
- Se a série converge apenas em x = c, diz-se que o raio de convergência R = 0.
- Se a série converge para todo x ∈ R, diz-se que o raio de convergência
R = ∞.
1.3.1 Intervalo de Convergência
O conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge é
chamado intervalo de convergência da série de potências. Para determinar o raio e
o intervalo de convergência de uma série de potências utiliza-se o teste da Razão ou
o teste da Raiz.
Observação 1.3.1. Teste dos Extremos: vale ressaltar que os testes da Razão
e da Raiz são inconclusivos quando o limite é igual a 1. Portanto, nada pode-se
afirmar nestes casos e os extremos do intervalo de convergência deverão ser testados
separadamente.
Exemplo 1.3.1. Determine o domínio de convergência de
+∞∑
n=1
xn
n3n
.
Exemplo 1.3.2. Determine os valores de x para os quais as séries de potências são
convergentes:
a)
+∞∑
n=1
xn
n!
b)
+∞∑
n=1
(−1)n+12
nxn
n3n
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.4. DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
c)
+∞∑
n=1
(x− 3)n+1
n
d)
+∞∑
n=1
n!xn
1.4 Diferenciação e Integração de Séries de Potên-
cias
Se a série de potências
+∞∑
n=0
dn(x−c)n tem um raio de convergência R > 0,
então a função f definida por
f(x) = d0 + d1(x− c) + d2(x− c)2 + . . . =
+∞∑
n=0
dn(x− c)n
é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (c − R, c + R). Além disso, a
derivada e a primitiva de f são
f ′(x) = d1 + 2d2(x− c) + 3d3(x− c)2 + . . . =
+∞∑
n=1
ndn(x− c)n−1
∫
f(x)dx = K + d0(x− c) + d1
(x− c)2
2
+ d2
(x− c)3
3
+ . . . =
+∞∑
n=0
dn
(x− c)n+1
n+ 1
+K,
onde K é a constante de integração.
Observação 1.4.1. O raio de convergência da série obtida por derivação ou inte-
gração de uma série de potência termo a termo é o mesmo que o da série original.
Porém, deve-se testar a convergência nos extremos do intervalo.
Exemplo 1.4.1. Seja f(x) =
+∞∑
n=1
xn
n
, determine os intervalos de convergência para
a)
∫
f(x)dx
b) f ′(x)
7 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.5. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES COMO SÉRIES DE POTÊNCIAS
1.5 Representação de Funções como Séries de Po-
tências
1.5.1 Séries de potências geométricas
Considere a série geométrica
+∞∑
n=0
arn =
a
1− r
. Fazendo a = 1 e r = x,
tem-se:
+∞∑
n=0
xn =
1
1− x
.
Logo a expansão da função f(x) =
1
1− x
em séries de potências em
torno de x = 0 é:
f(x) =
1
1− x
=
+∞∑
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . para |x| < 1.
Se na expressão
+∞∑
n=0
xn =
1
1− x
, troca-se x por −x, obtém-se:
f(x) =
1
1− (−x)
=
1
1 + x
=
+∞∑
n=0
(−x)n =
+∞∑
n=0
(−1)nxn para |x| < 1.
Ao trocar x por x2 na expressão anterior, chega-se a:
f(x) =
1
1 + x2
=
+∞∑
n=0
(−x2)n =
+∞∑
n=0
(−1)nx2n para |x| < 1.
Integrando a expressão anterior:∫
1
1 + x2
dx =
+∞∑
n=0
(−1)n(
∫
x2ndx),
obtém-se
arctg(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
para |x| < 1.
Exemplo 1.5.1. Determine uma expansão em série de potências para f(x) =
3
x+ 5
centrada em c = 0.
Exemplo 1.5.2. Determine uma expansão em série de potências para f(x) =
1
x
centrada em c = 1.
8 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IME
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.5. REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES COMO SÉRIES DE POTÊNCIAS
Exemplo 1.5.3. Determine uma expansão em série de potências para f(x) = ln(x)
centrada em c = 1.
Exemplo 1.5.4. Determine uma expansão em série de potências de x − 2 para
f(x) = ln(1 + x).
Exercício 1.5.1. Determine uma expansão em série de potências para cada função
em torno do ponto c indicado e determine o intervalo de convergência.
a) f(x) =
1
2− x
, c = 0
b) f(x) =
1
2− x
, c = 5
c) f(x) =
3
2x− 1
, c = 0
d) f(x) =
4
3x+ 2
, c = 2
e) f(x) =
1
(1 + x2)2
, c = 0
f) f(x) = ln(1− x), c = 0
g) f(x) =
x
1− x2
, c = 0
h) f(x) =
1
1− x4
, c = 0.
Exercício 1.5.2. Sabendo que a função f(x) = ex é representada pela série de
potências
+∞∑
n=0
xn
n!
para todo x.
a) Represente a função f(x) = e
√
x;
b) Calcule o valor da soma
+∞∑
n=0
(−1)n
n!2n
;
c) Obtenha uma série de potências para representar f(x) =
ex − 1
x
e, por derivação
termo a termo, prove que
+∞∑
n=0
n
(n+ 1)!
= 1.
Exercício 1.5.3. Mostre que f(x) = ln(x) = ln(2)+
+∞∑
n=1
(−1)n+1
n2n
(x−2)n, 0 < x < 4.
9 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.6. SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
1.6 Séries de Taylor e de Maclaurin
1.6.1 Polinômios de Taylor e de Maclaurin
Seja uma função f que possui derivadas até a ordem n em um intervalo
contendo c, o polinômio de Taylor de f de grau n em torno de x = c é:
Pn(x) = f(c) +
f ′(c)
1!
(x− c) + f
′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f
(n)(c)
n!
(x− c)n.
Quando c = 0, obtém-se o polinômio de Maclaurin de f :
Pn(x) = f(0) +
f ′(0)
1!
x+
f ′′(0)
2!
x2 + . . .+
f (n)(0)
n!
xn.
Exemplo 1.6.1. Determine o n-ésimo polinômio de Maclaurin de f(x) = ex.
Exemplo 1.6.2. Obtenha o n-ésimo polinômio de Maclaurin de f(x) = cos(x). Use
P6 para aproximar o valor cos(0, 1).
1.6.2 Expansão de Funções em Séries de Taylor e de Maclau-
rin
Se uma função f tem derivadas de todas as ordens em x = c, então a
série
+∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n = f(c) + f
′(c)
1!
(x− c) + f
′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f
(n)(c)
n!
(x− c)n
é chamada de série de Taylor de f(x) em c.
Além disso, se c = 0 essa série é também conhecida como a série de
Maclaurin de f .
Observação 1.6.1. Se uma série de potências converge para f(x), então a série
tem que ser uma série de Taylor. Mas nem toda série formada por coeficientes de
Taylor an =
f (n)(c)
n!
converge para f(x).
Exemplo 1.6.3. Represente a função f(x) = sen(x) como uma série de Maclaurin.
10 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.7. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES
1.6.3 Convergência das séries de Taylor
Se uma função f(x) tem derivadas de todas as ordens em um intervalo
centrado em c, então a igualdade
f(x) =
+∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n
é válida se, e somente se, lim
n→+∞
Rn(x) = 0, onde Rn(x) =
f (n)(z)
(n+ 1)!
(x− c)n+1 e z está
entre x e c.
Observação 1.6.2. Etapas para determinar uma série de Taylor
1) Derive f(x) diversas vezes e calcule cada derivada em c: f(c), f ′(c), f ′(c), . . .,
f (n)(c). Tente reconhecer o padrão seguido por esses números.
2) Uma sequência obtida na primeira etapa para obter os coeficientes de Taylor an =
f (n)(c)
n!
e determine o intervalo de convergência da série de potências resultante:
f(x) = f(c) +
f ′(c)
1!
(x− c) + f
′′(c)
2!
(x− c)2 + . . .+ f
(n)(c)
n!
(x− c)n + . . .
3) Dentro desse intervalo de convergência, determine se a série converge para f(x).
A determinação dos coeficientes de Taylor e de Maclaurin derivando a
função sucessivas vezes pode ser difícil, então pode-se utilizar as séries elementares
já obtidas para escrever a série que representa a função de interesse.
1.7 Séries de Potências de Funções Elementares
As seguintes séries foram obtidas nos exemplos e exercícios deste texto.
1) ex =
+∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+ . . .+
xn
n!
+ . . ., |x| < ∞
2) cos(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
. . .+ (−1)n x
2n
(2n)!
+ . . ., |x| < ∞
3) sen(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
. . .+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
+ . . ., |x| < ∞
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.7. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES
4)
1
1− x
=
+∞∑
n=0
xn = 1 + x+ x2 + . . .+ xn + . . ., |x| < 1
5)
1
1 + x
=
+∞∑
n=0
(−1)nxn = 1− x+ x2 + . . .+ (−1)nxn + . . ., |x| < 1
6) (1+x)k = 1+kx+
k(k − 1)
2!
x2+
k(k − 1)(k − 2)
3!
x3+
k(k − 1)(k − 2)(k − 3)
4!
x4+
. . ., |x| < 1
7)
1
x
=
+∞∑
n=0
(−1)n(x−1)n = 1−(x−1)+(x−1)2−(x−1)3+ . . .+(−1)n(x−1)n+ . . .,
0 < x < 2
8) arctg(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
= x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ . . .+ (−1)n x
2n+1
2n+ 1
, |x| < 1.
Deve-se lembrar que se pode representar certas funções como soma de
séries de potências pela manipulação de séries geométricas ou pela diferenciação ou
integração de tais séries.
Exemplo 1.7.1. Determine a série de Maclaurin para:
a) f(x) = sen(x2)
b) f(x) = cos(
√
x)
c) f(x) = (sen(x))2
Exemplo 1.7.2. Utilize uma série de potênciaspara aproximar
∫ 1
0
e−x
2
dx com erro
menor do que 0, 01.
Exercício 1.7.1. Determine a série de Taylor (centrada em c) das funções:
a) f(x) = e−x
2
, c = 0
b) g(x) = cos(x), c = π
4
c) h(x) = sen(4x), c = 0
d) m(x) = ln(x2 + 1), c = 0
e) n(x) =
1
x2
, c = 1
Exercício 1.7.2. Obtenha a série de Maclaurin para as funções:
12 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS
a) f(x) =
1
(1 + x)2
b) g(x) =
1√
4 + x2
c) h(x) =
√
1 + x3
Exercício 1.7.3. Utilize uma série de potências para aproximar
∫ π
2
0
sen(x)
x
dx com
erro menor do que 0, 0001.
Exercício 1.7.4. Determine uma série de potências de x para representar a função
f(x) =
1− cos(x)
x
e, usando o resultado, conclua que lim
n→0
1− cos(x)
x
= 0.
1.8 Lista de Exercícios
1) Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências:
a)
+∞∑
n=0
(2n)!
xn
2n
b)
+∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 5)
n
n5n
c)
+∞∑
n=0
(4x)n
d)
+∞∑
n=1
nn(x− 3)n
2) Seja a série de potências f(x) =
+∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 5)
n
n5n
, determine:
a) f ′(x)
b)
∫
f(x)dx
c) o raio e o intervalo de convergência de f(x), f ′(x) e
∫
f(x)dx.
3) Sejam f(x) =
+∞∑
n=0
x2n+1
(2n+ 1)!
e g(x) =
+∞∑
n=0
x2n
(2n)!
.
a) Encontre os intervalos de convergência de f(x) e g(x).
b) Mostre que g(x) = f ′(x).
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS
c) Mostre que g′(x) = f(x).
4) Determine uma expansão em série de potências para cada uma das funções em
torno de c e determine o seu intervalo de convergência.
a) f(x) =
x3
(1− x4)2
, c = 0
b) g(x) =
x
2− 3x
, c = 0
c) h(x) =
3
4− x
, c = −2
d) m(x) =
1
1 + 4x2
, c = 0
5) Usando uma expansão em série de potências de x para f(x) =
1
(1− x)2
, mostre
que
+∞∑
n=1
n
2n
= 2.
6) Obtenha uma expansão em série de potência para f(x) = x2e−x, e derivando o
resultado, prove que
+∞∑
n=2
(−1)n (n+ 2)2
n+1
n!
= 8.
7) Integrando de x = 0 a x = 1 uma série de potências representando a função
f(x) = xex, mostre que
+∞∑
n=1
1
n!(n+ 2)
=
1
2
.
8) Usando uma série de potências adequada, aproxime a integral
∫ 1
0
cos(x)
x
dx com
quatro casas decimais.
9) Escreva a série de Taylor (centrada em c) das funções:
a) f(x) = cos2(x), c = 0
b) g(x) = ex, c = 1
c) h(x) =
1
3x
, c = 2
d) m(x) = x cos(x), c = 0
10) Utilize a série binomial para calcular a série de Maclaurin para h(x) =
1√
1− x
.
11) Utilize uma série de potências para f(x) =
sen(x)
x
e mostre que lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
12) Use o polinômio de Taylor para aproximar ln(1, 75) com erro menor que 0, 001.
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS
13) Utilizando os conhecimentos obtidos como estudo de séries de potências, obtenha
as igualdades:
a)
+∞∑
n=1
nxn =
x
(1− x)2
b)
+∞∑
n=1
n2xn =
x+ x2
(1− x)3
c)
+∞∑
n=0
(n+ 1)xn =
1
(1− x)2
d)
+∞∑
n=1
xn
n
= ln
(
1
1− x
)
e)
+∞∑
n=1
x2n−1
2n− 1
=
1
2
ln
(
1 + x
1− x
)
Respostas da Lista
1) a) raio de convergência: nulo; intervalo de convergência: converge apenas no
centro.
b) raio de convergência: 5; intervalo de convergência: (0, 10].
c) raio de convergência:
1
4
; intervalo de convergência:
(
−1
4
,
1
4
)
.
d) raio de convergência: nulo; intervalo de convergência: converge apenas no
centro.
2) a) f ′(x) =
+∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 5)
n−1
5n
b)
∫
f(x)dx =
+∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 5)
n+1
n(n+ 1)5n
c) Para f(x): centro: 5, raio de convergência: 5, int. de convergência: (0, 10].
Para f ′(x): centro: 5, raio de convergência: 5, int. de convergência: (0, 10).
Para
∫
f(x)dx: centro: 5, raio de convergência: 5, int. de convergência:
[0, 10].
3) intervalo de convergência: R
4) a) −
+∞∑
n=1
nx4n−1, (−1, 1)
b)
+∞∑
n=1
3n
2n+1
xn+1,
(
−2
3
,
2
3
)
.
15 Notas de aula de Cálculo - FURG
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
IM
E
F
-
FU
R
G
-
1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS
c)
1
2
+∞∑
n=1
(x+ 2)n
6n
, [−4, 4[.
d) −
+∞∑
n=1
(−1)n4nx2n,
(
−1
2
,
1
2
)
.
5) Exercício de demonstração
6) Exercício de demonstração
7) Exercício de demonstração
8) −0, 2398
9) a) 1 +
+∞∑
n=1
(−1)n22n−1 x
2n
(2n)!
, x ∈ R.
b)
+∞∑
n=0
e(x− 1)n
n!
, x ∈ R.
c)
+∞∑
n=1
(−1)n
2n+1
(x− 2)n, (0, 4).
d)
+∞∑
n=1
(−1)nx2n+1
(2n)!
, x ∈ R.
10)
+∞∑
n=0
1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1) · xn
2nn!
, |x| < 1.
11) demonstração
12) ln(1, 75) = 0, 56
13) demonstração
14) a)
5
16
b)
e
1
7
7
c) e3 − 1
d)
32
27
e) 6
16 Notas de aula de Cálculo - FURG