Aula 9 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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{
𝑎𝑥0
2 + 𝑏𝑥0 + 𝑐 = 𝑦0
𝑎𝑥1
2 + 𝑏𝑥1 + 𝑐 = 𝑦1
𝑎𝑥2
2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 𝑦2
→ {
64𝑎 + 8𝑏 + 𝑐 = 24,6
144𝑎 + 12𝑏 + 𝑐 = 33,4
289𝑎 + 17𝑏 + 𝑐 = 32,2
 
 
[
64
144
289
 
8
12
17
 
1
1
1
 | 
24,6
33,4
32,2
]
𝐿1
0
𝐿2
0
𝐿3
0
 
1º Pivotação: 
𝐿1
1 = −
64
289
∙ 𝐿3 + 𝐿1
0 
𝐿2
1 = −
144
289
∙ 𝐿3 + 𝐿2
0 
𝐿3
1 = 𝐿3
0 
[
0
0
289
 
4,236
3,529
17
 
0,779
0,502
1
 | 
17,469
17,356
32,2
] 
 
2º Pivotação: 
𝐿1
2 = 𝐿1
1 
𝐿2
2 = −
3,529
4,236
∙ 𝐿1 + 𝐿2
1 
𝐿3
2 = 𝐿3
1 
[
0
0
289
 
4,236
0
17
 
0,779
−0,147
1
 | 
17,469
2,803
32,2
] 
 
{
 4,236𝑏 + 0,779𝑐 = 17,469
 −0,147𝑐 = 2,803
289𝑎 + 17𝑏 + 𝑐 = 32,2
 
 
Da 2ª Equação, determinamos c: 
−0,147𝑐 = 2,803 → 𝑐 = 19,068 
 
Da 1ª equação, determinamos b: 
4,236𝑏 + 0,079𝑐 = 17,469 → 𝑏 = 7,622 
 
Da 3ª equação, determinamos a: 
289𝑎 + 17𝑏 + 𝑐 = 32,2 → 𝑎 = −0,271 
 
Solução: 
𝑎 = −0,271 → 𝑎 ≅ −0,27 
𝑏 = 7,622 → 𝑏 ≅ 7,62 
𝑐 = −19,027 → 𝑐 ≅ −19,03 
 
Assim, a equação será: 
𝑦 = −0,271𝑥2 + 7,622𝑥 − 19,027 
 
𝑦′ = −0,542𝑥 + 7,622 
 = −0,542𝑥 = −7,622 → 𝑥 = 14,063 
 
Logo 𝑥 = 14,04ℎ 
 
𝑦(14,063) = −0,271(14,063)2 + 7,622(14,063) − 19,027 
𝑦(14,063) = 34,6º𝐶 
 
 
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04 – x 
100 – 60min 
X=2,4min 
14:02h 
 
A temperatura máxima do dia foi de 34,6ºC, aproximadamente, e foi registrada as 
14:02h 
 
Pós-Aula→ Exercícios 
 
1) Seja a função y=f(x) definida pelos pontos 𝑃0(0,00; 1,35) 𝑒 𝑃1(1,00;2,94). 
Determine o valor de f(0,73) 
2) Determine o valor de f(0,2) usando os valores tabelados da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² −
2𝑥 + 1 
x F(x) 
0,5 0,25 
0,3 0,49 
0,1 0,81 
 
 
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Aula 11 
 
Pré – aula: Terminar os exercícios da aula anterior. 
Aula: 
4.2 Interpolação Lagrangeana 
 
→Polinômio de Lagrange 
 
Denomina-se Polinômio de Lagrange as expressões matemáticas do tipo: 
𝑝𝑖(𝑥) =∏(𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=𝑜
𝑖≠𝑗
 
 
→Polinômio de Lagrange de grau n=2 
Sejam os pontos 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0), 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦0) 𝑒 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) 
 
𝑝0(𝑥) =∏(𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=𝑜
𝑖≠𝑗
= (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) 
𝑝1(𝑥) =∏(𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=𝑜
𝑖≠𝑗
= (𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥2) 
𝑝2(𝑥) =∏(𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=𝑜
𝑖≠𝑗
= (𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1) 
 
→ Polinômio Interpolador de Lagrange 
Denomina-se polinômio interpolador de Lagrange a expressão matemática: 
𝑝𝑛(𝑥) =∑
∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛 
 
∏ (𝑥1 − 𝑥𝑗)
 
𝑗=0
𝑖≠𝑗
𝑛
𝑖=0
∙ 𝑦1 =∑
𝑝𝑖(𝑥)
𝑝𝑖(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
∙ 𝑦1 
 
→ Polinômio interpolador de Lagrange de grau n=2 
𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0)| 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1)|𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) 
𝑝2(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1) ∙ (𝑥0 − 𝑥2)
∙ 𝑦0 +
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥0) ∙ (𝑥1 − 𝑥2)
∙ 𝑦1 +
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0) ∙ (𝑥2 − 𝑥1)
∙ 𝑦2 
 
Exemplo: Segundo o IBGE o crescimento populacional brasileiro deu-se na forma: 
Ano Pop (𝑥 106) 
1955 72 
1965 86 
1975 100 
1985 121 
Fonte: IBGE 
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Vamos supor, contudo, apenas 3 pontos: 𝑃0 = (55,72), 𝑃1 = (65,86)𝑒 𝑃2 = (85,121). 
Determine a população do ano de 1975. 
X=75 
 
𝑝2(75) =
(76 − 65) ∙ (75 − 85)
(55 − 65) ∙ (55 − 85)
∙ 72 +
(75 − 55) ∙ (75 − 85)
(65 − 55) ∙ (65 − 85)
∙ 86
+
(75 − 55) ∙ (75 − 65)
(85 − 55) ∙ (85 − 65)
∙ 121 
 
𝑝2(75) =
(10) ∙ (−10)
(−10) ∙ (−30)
∙ 72 +
(20) ∙ (−10)
(10) ∙ (−20)
∙ 86 +
(20) ∙ (10)
(30) ∙ (20)
∙ 121 
𝑝2(75) = −
100
300
∙ 72 +
(−200)
(−200)
∙ 86 +
200
600
∙ 121 
𝑝2(75) = 102,33 
𝑝2(75) = 102 𝑥10
6 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Erro Absoluto:∆= |𝑉 − 𝑣| → ∆= |100 − 102| = 2 
 
Erro Relativo:𝛿 =
∆
|𝑉|
=
2
100
= 2% 
 
Quadro resumo: 
 
𝑥0 𝑥1 𝑥2 
∏ 
55 65 85 
𝑥0 55 -10 -30 300 
𝑥1 65 10 -20 -200 
𝑥2 85 20 20 600 
𝑥 75 30 10 -10 
 
𝑝2(75) = −
100
300
∙ 72 +
(−200)
(−200)
∙ 86 +
200
600
∙ 121 
𝑝2(75) = 102,33 
𝑝2(75) = 102 𝑥10
6 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
4.3 Interpolação de Newton 
 
Utilizaremos a chamada técnica das diferenças divididas: 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑦0 + ∑∆𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑦0∏(𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑖−1
𝑗=0
 
Exemplo: 
1) Sejam os dados de posicionamento de um ônibus partindo do marco zero de uma 
rodovia federal. 
Tempo(min) 60 80 100 120 140 
Posição 75 95 112 138 151 
 
Determine o posicionamento do ônibus passados 95 min. 
 
i 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∆(1)𝑦0 ∆(2)𝑦0 ∆(3)𝑦0 ∆(4)𝑦0