Interpolação Polinomial na Forma Quadrática - Cálculo Numérico - Luiz Felipe Souza rev01

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FACULDADE CATÓLICA SALESIANA 
CURSOS DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO COM ÊNFASE EM 
ENGENHARIA DE INSTALAÇÕES NO MAR 
 
 
 
 
 
 
 
Por 
 
LUIZ FELIPE COSTA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL NA FORMA QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macaé - RJ 
ABRIL/2020 
 
 
FACULDADE CATÓLICA SALESIANA 
CURSOS DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO COM ÊNFASE EM 
ENGENHARIA DE INSTALAÇÕES NO MAR 
 
 
 
 
 
Por 
 
LUIZ FELIPE COSTA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL NA FORMA QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado em cumprimento as 
exigências da disciplina Cálculo 
Numérico, ministrada pelo professor 
Alexandre Marinho no curso de 
graduação em Engenharia de Produção 
com Ênfase em Engenharia de 
Instalações no Mar na Faculdade Católica 
Salesiana. 
 
 
 
 
Macaé - RJ 
ABRIL/2020 
 
 
FOLHA DE APROVAÇÃO 
 
 
Por 
 
LUIZ FELIPE COSTA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL NA FORMA QUADRÁTICA 
 
 
 
Trabalho apresentado em cumprimento as exigências da disciplina Cálculo 
Numérico, ministrada pelo professor Alexandre Marinho no curso de graduação 
em Engenharia de Produção com Ênfase em Engenharia de Instalações no Mar na 
Faculdade Católica Salesiana. 
 
 
_______________________________________________ 
Prof.º M.Sc. Alexandre Marinho 
 
 
 
 
Macaé - RJ 
ABRIL/2020 
 
 
EPÍGRAFE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matemática pura é, à sua 
maneira, a poesia das ideias 
lógicas. 
“Albert Einstein” 
 
 
RESUMO 
 
Neste trabalho acadêmico apresenta-se a abordagem teórica do método de 
interpolação polinomial na forma quadrática, bem como suas aplicações práticas e 
acadêmicas. Mostra-se neste trabalho a equação para a utilização da interpolação 
quadrática, bem como a equação do erro de truncamento. Sendo um processo de 
estimar valores de uma função, aplicação prática deste tipo de interpolação é ampla, 
resolvendo problemas desde crescimento de bactérias, previsão de infectados por 
algum novo vírus, consumo energético e afins. Para os fins acadêmicos, são 
aplicáveis na resolução de integração numérica, cálculo de raízes de equação, 
solução de equações diferenciais ordinárias entre outros. 
 
Palavras-chave: Interpolação, Polinomial, Quadrática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
This academic paper presents the theoretical approach of the polynomial 
interpolation method in quadratic form, as well as its practical and academic 
applications. This work shows the equation for using quadratic interpolation, as well 
as the truncation error equation. Being a process of estimating values of a function, 
practical application of this type of interpolation is broad, solving problems since the 
growth of bacteria, prediction of being infected by some new virus, energy 
consumption and the like. For academic purposes, they are applicable in solving 
numerical integration, calculating root equations, solving ordinary differential 
equations, among others. 
Keywords: Interpolation, Polynomial, Quadratic. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTAS DE TABELAS 
 
Tabela 01 – Função y = f(x) ........................................................................................ 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 8 
1.1 Objetivo Geral.................................................................................................... 9 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................... 9 
2.1 Conceito de interpolação ................................................................................... 9 
2.2 Interpolação Quadrática .................................................................................... 9 
2.2.1 Erro de Truncamento Para Interpolação Quadrática .................................... 10 
5 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 12 
 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 13 
 
ANEXO A - EXERCÍCIOS ......................................................................................... 14 
APÊNDICE A – RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS................................................ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
1 INTRODUÇÃO 
A aproximação de funções por polinômios é uma das ideias mais antigas da 
análise numérica, e também uma das mais usadas. Isto ocorre, pois, os polinômios 
são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novos polinômios, suas 
raízes podem ser encontradas com relativa facilidade. A simplicidade dos polinômios 
permite que a aproximação polinomial seja obtida de vários modos, portanto é 
vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que o represente. 
Além disso temos o teorema de Weirstrass que afirma que: toda função contínua 
pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio (FRANCO, 2020). 
Muitas Funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de 
pontos de um intervalo [a,b], como a função y = f(x), dada pela tabela 01 
(BARROSO, BARROSO, CAMPOS, MAIA, 2020). 
 
Tabela 01 – Função y = f(x) 
i xi yi 
0 X0 y0 
1 X1 y1 
2 X2 y2 
3 X3 y3 
 
Fonte: Adaptado de Barroso, Barroso, Campos e Maia, 2020 
 
 Neste caso, tendo-se que trabalhar com esta função e não dispondo de sua 
forma analítica, pode-se substituí-la por outra função, que é uma aproximação da 
função dada e que é deduzida a partir de dados tabelados (BARROSO, BARROSO, 
CAMPOS, MAIA, 2020). 
 Além destas, podem-se também encontrar funções cuja forma analítica é 
muito complicada, fazendo com que se procure uma outra função que seja uma 
aproximação da função dada e cujo manuseio seja bem mais simples. As funções 
que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como: 
9 
 
exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial (BARROSO, BARROSO, 
CAMPOS, MAIA, 2020). 
 
1.1 Objetivo Geral 
O objetivo deste trabalho é abordar teoricamente sobre a interpolação 
polinomial na forma quadrática. 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
2.1 Conceito de interpolação 
Seja a função y = f(x), dada pela tabela 01. Deseja-se determinar f(x), sendo: 
a) X ∈ (x0, x3) e x ≠ xi , i = 0, 1, 2, 3 
b) X ∉ (x0, x3) 
Para resolver (a) tem-se que fazer uma interpolação. E, sendo assim, 
determina-se o polinômio interpolador, que é a aproximação da função tabelada. 
Todavia, para resolver (b), deve ser realizada uma extrapolação (BARROSO, 
BARROSO, CAMPOS, MAIA, 2020). 
 
2.2 Interpolação Quadrática 
Obtém-se a fórmula se, de uma função, são conhecidos três pontos distintos, 
então o polinômio interpolador será: 
 
 
 O polinômio é conhecido como função quadrática, cuja imagem 
geométrica é uma parábola (BARROSO, BARROSO, CAMPOS, MAIA, 2020). 
 Para determinar os valores de é necessário resolver o 
sistema: 
(1) 
10 
 
 
onde os pontos (x0, y0), (x1,y1) e (x2, y2) são conhecidos. 
 Observe-se que a matriz dos coeficientes é: 
 
 
 O determinante desta matriz é conhecido como Determinante de 
Vandermonde. Pode-se provar que: 
 
 
2.2.1 Erro de Truncamento Para Interpolação Quadrática 
O erro de truncamento é dado pelas expressões: 
 
 
 
Vem: 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
11 
 
 
 
Como P2(t) e Et(t) são funções polinomiais e supondo que f(t) seja contínua 
em [x0, x2] e derivável em (x0, x2) G(t) tembém o é e, além disso, se anula pelo 
menos para t = x0, t = x1, t = x2 e t = x. 
 Logo tem-se: 
 
 Derivando G (t) três vezes, vem: 
 
 Logo, 
 
(7) 
(8) 
12 
 
5 CONCLUSÃO 
A interpolação é importante processo utilizado para estimar valores de uma 
dada funçãof para valores de x diferentes de xi, para i = 0,...,n, sabendo apenas os 
valores de f(x) em dados pontos. Suas aplicações práticas são diversas, desde a 
obtenção de valores intermediários em tabelas, como, por exemplo, o crescimento 
de bactérias, consumo de água, energia etc. até a solução de equações diferenciais 
ordinárias. 
Ao fim deste trabalho conclui-se que os objetivos, relativos ao entendimento 
teórico acerca da aplicação teórica da interpolação polinomial na forma quadrática, 
foram atingidos. É esperado que este trabalho possa embasar a realização de 
exercícios teóricos, bem como aplicações de caráter prático, que se enquadrem nos 
padrões de interpolação polinomial na forma quadrática. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
FRANCO, N. M. B. Calculo Numérico. Universidade de São Paulo, Instituto de 
Ciências Matemáticas e de Computação. São Paulo 
 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS, F. F.; MAIA, M. L. Cálculo 
Numérico: Com Aplicações. Edição 2. 
 
MONTERA, L. Métodos Numéricos: Interpolação. UFMS, Facom. Mato Grosso do 
Sul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
ANEXO A - EXERCÍCIOS 
 
Exercício 01 – A tabela abaixo ilustra o volume de produção de cerveja para um 
dado período de tempo. Utilizando o método da interpolação quadrática responda 
qual o volume aproximado de produção de cerveja em 2,8h? Determine o erro de 
truncamento. 
 
VOLUME DE CERVEJA PRODUZIDA 
Horas 0 1 2 2,8 3 4 
Litros 5 40 67 ? 95 129 
 
 
Exercício 02 – Na tabela abaixo está assinalado o número de habitantes de Belo 
Horizonte nos últimos quatro censos realizados entre as décadas de 1950 e 1980. 
 
ANO 1950 1960 1970 1980 
Nº de Habitantes 352.724 683.908 1.235.030 1.814.990 
 
Usando o método de interpolação quadrática, determine o número aproximado de 
habitantes de Belo Horizonte no ano de 1965. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
APÊNDICE A – RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
Resolução do exercício 01: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Resolução do exercício 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17