MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Prévia do material em texto

Roleta A Roleta B
FIGURA 2.5 Você pode girar A duas vezes, B duas vezes ou A e depois 
B. Qual opção lhe dá a melhor chance de obter um vermelho e um azul?
FIGURA 3.1 Nós usamos as ideias que já temos (pontos azuis) para 
construir uma nova ideia (ponto vermelho), desenvolvendo neste proces-
so uma rede de conexões entre elas. Quanto mais ideias forem usadas e 
mais conexões forem formadas, melhor a nossa compreensão.
V V
Az Az
Am Am
FIGURA 2.6 Um diagrama de árvore para a roleta A na Figura 2.5.
VM AZ VD
Roleta A Roleta B
AM
VM
AZ
AZ
AZ
AM
VD
FIGURA 2.7 Um quadrado mostra a chance de obter cada cor para as 
roletas na Figura 2.5.
azu
l
ver
me
lho
Par
tida
Topo
FIGURA 23.1 Os estudantes fazem um rodízio girando uma roleta e re-
gistrando os resultados. A primeira cor que alcançar o topo é a vencedora.
O mesmo jogo pode ser jogado com outros dispositivos randômicos.
Compreensão
relacional
Compreensão
instrumental
Contínuo da compreensão
FIGURA 3.4 A compreensão é uma medida da qualidade e da quantidade de conexões que uma nova ideia tem com as já existentes. Quanto maior 
o número de conexões a uma rede de ideias já desenvolvida, melhor a compreensão.
Muito improvável Muito provávelIgualmente provável
Chances de obter a cor azul
Impossível Com certeza
FIGURA 23.4 A linha de probabilidade ou “linha das chances”. Use essas diferentes faces de roleta para ajudar os alunos a perceber como a chance 
poder estar em lugares diferentes ao longo de uma quantidade contínua entre o Impossível (0) e a Certeza (1).
www.grupoa.com.br
CONHECIMENTO 
MATEMÁTICO
John A. Van de Walle
Jo
hn A
. Va
n d
e
 W
a
lle
Jo
hn A
. Va
n d
e
 W
a
lle
M
ATEM
Á
TIC
A
 N
O
 EN
SIN
O
 FUN
D
A
M
EN
TA
L
John A. Van de Walle
NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
N
O
 EN
SIN
O
 FUN
D
A
M
EN
TA
L
6ª edição
MATEMÁTICA
M
ATEM
ÁTIC
A
MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
Matemática no ensino fundamental apresenta ideias e discussões de profundidade inigualável 
para orientar os estudantes em formação que irão ensinar matemática e para ajudar os 
alunos de ensino fundamental a desenvolver uma compreensão real da disciplina aplicada 
em sala de aula. John A. Van de Walle, um dos principais especialistas em como as crianças 
aprendem matemática, observa que 80% dos estudantes que compram este livro o mantém 
como referência quando começam suas carreiras profissionais como professores. O texto 
reflete os benefícios da instrução construtivista – ou centrada no aluno – em matemática.
Além disso, é estruturado de forma a proporcionar o máximo de flexibilidade, contendo 24 
capítulos compartimentados e breves, que podem ser misturados e combinados para se 
adaptarem a qualquer disciplina ou abordagem de ensino.
Destaques:
• Principal livro-texto mundial para professores de matemática.
• Fundamentação teórica completa para formação de professores.
• Propostas práticas eficazes para ensino em sala de aula.
• Parâmetros para avaliação de aprendizagem.
• Indicação de bibliografia e sites totalmente adaptados 
para a língua portuguesa.
Conheça também
BOALER, J.
Mentalidades matemáticas: estimulando o potencial 
dos estudantes por meio da matemática criativa, das 
mensagens inspiradoras e do ensino inovador
BOALER, J.
O que a matemática tem a ver com isso? Como 
professores e pais podem transformar a aprendizagem 
da matemática e inspirar sucesso
BOALER, MUNSON & WILLIAMS
Mentalidades matemáticas na sala de aula: 
ensino fundamental
BRIZUELA, B. 
Desenvolvimento matemático na criança: 
explorando notações
HUMPHREYS & PARKER
Conversas numéricas: estratégias de cálculo mental 
para uma compreensão profunda da matemática
POSAMENTIER & KRULIK 
A arte de motivar os estudantes do ensino médio 
para a matemática
SMOLE, K. 
A matemática na educação infantil: a teoria 
das inteligências múltiplas na prática escolar
SMOLE & DINIZ (Orgs.) 
Coleção mathemoteca – vols. 1 a 6
SMOLE, DINIZ & CÂNDIDO 
Cadernos do Mathema: jogos de matemática 
de 1º a 5º ano – ensino fundamental 
SMOLE, DINIZ & MILANI 
Cadernos do Mathema: jogos de matemática 
de 6º a 9º ano – ensino fundamental
SMOLE, DINIZ, PESSOA & ISHIHARA
Cadernos do Mathema: jogos de matemática 
– ensino médio
SUTHERLAND, R. 
Ensino eficaz de matemática
WALL, E.
Teoria dos números para professores do ensino 
fundamental
03701_VAN-DE-WALLE_Matematica_no_ensino_fundamental.indd 1 07/06/2019 17:22:22
V217m Van de Walle, John A.
 Matemática no ensino fundamental : formação de 
professores e aplicação em sala de aula [recurso eletrônico] / 
John A. Van de Walle ; tradução: Paulo Henrique Colonese. – 
6. ed. – Porto Alegre : Penso, 2009.
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-8429-028-4
1. Matemática – Ensino fundamental. 2. Conceitos
numéricos. 3. Senso numérico. 4. Operações. I. Título.
CDU 51:373.3
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
346 John A. Van de Walle
no desenvolvimento do senso numérico e em aborda-
gens informais para a adição e a subtração. De 6
a
 a 8
a
 série, os 
alunos devem expandir suas habilidades para incluir todas as 
operações com frações, decimais e porcentagens.
Uma abordagem baseada em resolução 
de problemas e senso numérico
Ainda que suas diretrizes curriculares demandem o ensi-
no de todas as quatro operações com frações na 5
a
 série, ainda 
aconselha-se que você seja menos apressado para chegar aos 
procedimentos algorítmicos (pois você vai deixar muitos alunos 
para trás na corrida) até que esteja claro que eles estejam prontos 
(poucos estados norte-americanos exigem multiplicação e divi-
são de frações antes da 5
a
 série). Os alunos podem se tornar ade-
quadamente profi cientes no uso de métodos informais inventados 
por eles mesmos e que eles compreendam.
As seguintes diretrizes devem ser mantidas em mente ao de-
senvolver estratégias computacionais com frações:
1. Comece com tarefas simples contextualizadas. Huinker
(1998) faz uma excelente defesa para o uso de problemas
contextualizados e para permitir que os alunos desenvol-
vam seus próprios métodos de computação com frações.
Os problemas ou contextos não precisam ser muito elabo-
rados. O que você quer é um contexto que estabeleça algum 
signifi cado à operação e às frações envolvidas.
2. Conecte o signifi cado do cálculo com fração com o cál-
culo com números inteiros. Ao considerar qual o signi-
fi cado de 212 × 34, devíamos perguntar: “O que 2 × 3 sig-
nifi ca?”. Os conceitos de cada operação são os mesmos
e alguns benefícios podem ser obtidos conectando essas
ideias.
3. Faça com que a estimativa e os métodos informais desem-
penhem um papel importante no desenvolvimento de estra-
tégias. “212 × 34 deve ser maior ou menor que 1? Maior ou
menor que 3?” A estimativa mantém o enfoque nos signifi -
cados dos números e das operações, encoraja o pensamen-
to refl exivo e ajuda a construir o senso numérico informal 
com frações.
4. Explore cada uma das operações usando modelos. Use
uma variedade de modelos. Faça os alunos defenderem
suas soluções usando modelos, incluindo seus desenhos
simples. Você descobrirá que, às vezes, é possível obter
respostas com modelos que não parecem ajudar com abor-
dagens de lápis e papel. Isso é bom! As ideias ajudarão as
crianças a aprender a pensar sobre as frações e as opera-
ções, contribuirão para os métodos mentais e fornecerão
uma base útil quando eventualmente você chegar aos algo-
ritmos normais.
Nas próximas discussões, é encorajada a exploração infor-
mal para cada operação. Existe também um desenvolvimento 
orientado para cada um dos algoritmos tradicionais.
Adição e subtração
Como com o cálculo com números inteiros, forneça ta-
refas computacionais sem dar regras ou procedimentos para 
completá-las. Os alunos usarão uma variedade de métodos e os 
métodos variarão extensamente com as frações encontradas nos 
problemas.Nenhuma tentativa é feita nesse capítulo para descrever to-
das as estratégias de resolução que os alunos poderiam desenvol-
ver. Eles continuarão a encontrar caminhos para resolver proble-
mas com frações e suas abordagens informais contribuirão para 
o desenvolvimento de métodos mais normais (Huinker, 1998;
Lappan e Mouck, 1998; Schifter, Bastable e RusselI, 1999c).
Exploração informal
Considere o seguinte problema.
Marcos comprou 4 14 quilos de doce para sua mãe. Mas o doce 
parecia tão gostoso que ele comeu 78 de um quilo do doce. 
Quanto sobrou para ele dar a sua mãe?
Solicitou-se que uma turma de 5
a
 série resolvesse esse pro-
blema de dois modos. Muitos alunos tentaram ou usaram corre-
tamente um algoritmo de subtração normal para números mistos 
como um método. Porém, nem um desenho simples ou outra ex-
plicação foram encontrados na turma para o algoritmo. Como 
mostrado na Figura 17.1, Christian cometeu um erro com o algo-
ritmo, mas desenhou uma fi gura correta mostrando 414 = 348 e obte-
ve uma resposta correta de 278 . Porém, ele não estava confi ante em 
seu desenho e o riscou. Embora muitos alunos não compreendam 
seus métodos processuais, aqueles que não estão acostumados a 
justifi car seus métodos acreditarão mais no algoritmo mecânico 
do que em seu próprio raciocínio.
Um método de desenho usado por muitos alunos da turma 
envolvia tomar 18 de 
7
8 e adicioná-la sobre o 
1
4 como mostrado no 
desenho de Brandon. Apenas DaQuawn fez isso primeiro de 
modo simbólico. Seu “segundo método” é um desenho funda-
mentando seu trabalho. Quando DaQuawn compartilhou sua 
Matemática no Ensino Fundamental 347
ideia com a turma, disse, “Eu tomei isso dos oitavos, e assim eu 
podia diminuí-lo de 78. Isso deixou 
1
8. Então mudei [aponta para o 
quarto de círculo] para 18. Menos 
1
8 de... não, some isso a 
1
8 para 
obter 28 mais 
1
8 que é igual a 
3
8”. O professor de DaQuawn percebe 
que ele está “lutando arduamente com a leitura e a escrita, embo-
ra tenha um bom senso numérico”. Esse professor valoriza corre-
tamente o raciocínio dos alunos e o distingue de suas habilidades 
de expressar ideias.
Esses exemplos não apenas ilustram como o trabalho escrito 
pode forçar os estudantes a explicar seu raciocínio, mas também 
que eles têm grande difi culdade com qualquer explicação para 
algoritmos que eles não tenham desenvolvido por si mesmos.
Os alunos parecem ter uma preferência por desenhos circu-
lares para representar frações. Talvez isso diga algo sobre o uso 
excessivo daquele modelo. Os desenhos na Figura 17.1 não são 
precisos. Porém, os alunos não estão fazendo conclusões basea-
das no tamanho das fatias, em vez disso, eles estão desenhando 
para explicar seu raciocínio. Quando os alunos estiverem usando 
desenhos dessa maneira, não se preocupe com frações desenha-
das sem precisão.
Como você pede aos alunos para resolver um problema pode 
fazer toda diferença no que acontecerá na sala de aula. Por exem-
plo, considere esse problema:
Jack e Jill compraram duas pizzas médias, uma de queijo e uma 
de pepperoni. Jack comeu 56 de uma pizza e Jill comeu 
1
2 de uma 
pizza. Quanto das pizzas eles comeram juntos?
Faça uma pausa e refl ita
Tente pensar em dois modos que os alunos resolveriam esse proble-
ma, sem usar uma abordagem simbólica de denominador comum.
Se os alunos desenharem círculos como no exemplo ante-
rior, alguns tentarão preencher o buraco de 16 na pizza. Então, 
eles precisarão compreender como obter 16 de 
1
2. Se conseguem 
pensar em 12 como 
3
6, eles podem usar um do sextos para preen-
cher o buraco. Outra abordagem, após desenhar as duas pizzas 
circulares, é notar que existe uma metade e mais 2 sextos nos 56 
de pizza [56 = 36 + 26]. Ponha as duas metades juntas para fazer um 
inteiro e sobrará mais 26 – obtendo então 1
2
6. Essas são certamente 
boas soluções que representam o tipo de pensamento informal 
que você quer encorajar.
Agora suponha que você pediu aos alunos para resolver o 
mesmo problema de pizza usando barras de Cuisenaire ou tiras 
de fração. A primeira decisão que deve ser feita é qual barra ou 
tira usar como o todo. Essa decisão não é exigida com um mo-
delo circular. O todo deve ser o mesmo para ambas as frações, 
embora haja uma propensão para usar o inteiro mais fácil para 
cada fração. Novamente, esse assunto não surge com círculos. 
Nesse caso, a tira menor que funcionará é a tira 6 (azul-escuro). 
A Figura 17.2(a) ilustra uma solução. O raciocínio exigido nesta 
tarefa ajuda a abrir caminho para uma abordagem de denomi-
nador comum. A Figura 17.2(b) ilustra como uma adição seme-
lhante poderia ser feita com um modelo de conjunto.
Como vimos no primeiro exemplo (Figura 17.1), os alu-
nos podem e usam métodos informais para a subtração, como 
também para a adição. Esse raciocínio informal é extremamente 
importante. Os estudantes devem se sentir confortáveis com os 
diferentes métodos de tomar frações simples separadamente e 
recombiná-las de modos que façam sentido. Mantenha as frações 
em seus problemas “amigáveis” com denominadores não maio-
res do que 12. Não há necessidade de adicionar quintos e sétimos 
ou até quintos e doze avos. Com números assim, desenhos são 
quase impossíveis e os denominadores comuns muito grandes 
são sempre exigidos. Embora forçar o uso de um modelo como 
tiras de fração ou conjuntos possa fazer os alunos se prepararem 
para a estratégia de denominadores comuns, é melhor permane-
cer nessa abordagem a princípio.
O mito dos denominadores comuns
Os professores comumente dizem aos alunos “para adicio-
nar ou subtrair frações, você deve primeiro obter o denominador 
comum”. A explicação normalmente é algo como, “Afi nal, você 
não pode adicionar maçãs e laranjas”. Essa declaração bem in-
FIGURA 17.1 Estudantes na 5a série mostram como resol-
veram o problema 414 – 
7
8. Para a maioria dos estudantes, seus 
métodos baseados em desenhos têm pouca relação com seus 
algoritmos simbólicos. O trabalho de DaQuawn, um estudante 
que está em transição – lutando bravamente para construir as 
novas ideias – é uma exceção.
348 John A. Van de Walle
tencionada é essencialmente falsa. Uma declaração correta po-
deria ser, “para usar o algoritmo normal de adicionar ou subtrair 
frações, você deve primeiro obter o denominador comum”. E a 
explicação seria então, “O algoritmo é projetado para trabalhar 
apenas com denominadores comuns”.
Usando suas próprias estratégias inventadas, os alunos ve-
rão que muitas soluções corretas são encontradas sem obter um 
denominador comum. Considere essas somas e diferenças:
3
4 + 18 12 – 18 23 + 12 112 – 14 123 + 34
Trabalhar com os diferentes modos em que as partes fra-
cionárias estão relacionadas umas às outras geralmente fornece 
soluções sem denominadores comuns. Por exemplo, metades, 
quartos e oitavos são facilmente relacionados. Também, observe 
os três terços compondo um inteiro em um círculo como na Figu-
ra 17.3. Você já notou que a metade do todo é um terço mais uma 
metade de um terço ou um sexto [12 = 13 + 16]? A diferença entre um 
terço e um quarto é um doze avos [13 – 
1
4 = 1 12]. Outro modelo útil é 
um rosto de relógio, onde cada intervalo de cinco minutos é um 
doze avos do todo. Com relações desse tipo, muitos cálculos de 
fração podem ser resolvidos sem ter de primeiro obter denomi-
nadores comuns.
Desenvolvendo o algoritmo
Apesar do precedente, é razoável desenvolver um algoritmo 
para a adição e subtração e as crianças provavelmente precisa-
rão de um pouco de orientação para conseguir isso. Ao mesmo 
tempo, elas podem facilmente fundamentar suas explorações 
informais e ver que a abordagem de denominador comum é sig-
nifi cativa.
Denominadores iguais
A maioria das listas de objetivos primeiro especifi ca a adi-
ção e a subtração com denominadores iguais. Isso é ao mesmo 
tempo infeliz e desnecessário! Se os alunos têm uma boa base 
com conceitosde fração, eles devem ser capazes de adicionar 
ou subtrair frações com mesmo denominador imediatamente. Os 
alunos que não estão confi antes em resolver problemas como 34 + 
2
4 ou 3
7
8 – 1
3
8 quase certamente não possuem ainda bons conceitos 
de fração e fi carão perdidos em qualquer desenvolvimento adi-
cional. A ideia de que o número superior informa a contagem e o 
número inferior diz o que é contado torna a adição e a subtração 
de frações com mesmo denominador o mesmo que adicionar e 
subtrair números inteiros.
A facilidade com que os alunos podem ou não adi-
cionar frações de mesmo denominador deve ser vi-
sualizada como uma importante avaliação do con-
ceito antes de empurrar os alunos para um algoritmo 
mais avançado. Como já indicado, os estudantes que não veem 
No
ta
s 
so
bre
 avaliação
Ache uma tira para um todo que permita modelar
ambas as frações.
Inteiro
Que conjunto (tamanho) pode ser usado para o todo?
O menor é um conjunto de 15.
1
5
6
1
2
A soma é 1 inteiro e uma barra cinza a mais que um
inteiro. Uma barra cinza é da barra azul-escuro.
Assim, + = 1 .
1
3
+56
1
2
5
6
1
2
1
3
2
5
4
3
Combine (adicione) as frações.
 são 6 contadores e são 20 contadores.
Em conjuntos de 15, isto é, ou 1
2
5
4
3
26
15
11
15
11
15
(a)
(b) 2–5
4–3+
5–6
1–2+
FIGURA 17.2 Usar modelos para adicionar frações pode insti-
gar os alunos a pensar sobre denominadores comuns.
1–6
1–6
1—12
1—12
FIGURA 17.3 Existem muitas relações fracionárias que podem 
ser observadas simplesmente pensando como metades, terços, 
quartos, sextos e doze avos se ajustam em um círculo repartido.
Matemática no Ensino Fundamental 349
essas somas ou diferenças como triviais provavelmente ainda não 
compreendem os signifi cados de numerador e denominador. 
Qualquer desenvolvimento simbólico adicional quase certamente 
não será compreendido.
Uma compreensão dos algoritmos para adição e subtração 
também é muito dependente de uma compreensão conceitual 
da equivalência de frações. Desafi e-os a completar uma soma 
como 38 + 48 e escrever a equação terminada no quadro. Então, em 
baixo dessa equação, escreva uma segunda soma formada com 
equivalentes facilmente vistos para cada fração como mostrado 
aqui:
3
8 + 48 = 78
 6 
16 + 12 = ?
Discuta brevemente o fato de que 38 é equivalente a 
 6 
16 como 
também 48 a 
1
2. Agora desafi e os alunos a escrever a resposta para 
a segunda equação e dar uma justifi cativa para sua resposta. Eles 
devem perceber que a resposta é 78. A segunda soma é a mesma 
que a primeira porque embora as frações pareçam diferentes, elas 
realmente são os mesmos números. Os estudantes que não per-
cebem prontamente isso podem não compreender o conceito de 
equivalência e um trabalho adicional com equivalência pode ser 
necessário. ■
Denominadores diferentes
Para conseguir que os alunos se aproximem de denominado-
res comuns, considere uma tarefa como 58 + 24 onde só uma fração 
precisa ser mudada. Deixe os alunos usarem qualquer método 
para conseguir o resultado de 118. Muitos notarão que os modelos 
para as duas frações fazem um inteiro e existe 18 extra [
5
8 + 48 = 88 
+ 18]. A questão chave a levantar nesse momento é “Como pode-
mos modifi car esse problema para um que seja tão fácil como 
quando as partes são as mesmas?”. Para esse exemplo, é relativa-
mente fácil ver que quartos podem ser transformados em oitavos. 
Desafi e-os a usar modelos ou desenhos para explicar por que o 
problema original e também o problema convertido devem ter a 
mesma resposta.
Em seguida experimente alguns exemplos, onde ambas as 
frações precisarão ser modifi cadas – por exemplo, 23 + 14. Encoraje 
os estudantes a resolver esses problemas sem uso de modelos 
ou desenhos se for possível. Sugira sem cobranças que o uso de 
frações equivalentes possa ser uma ferramenta mais fácil do que 
um desenho. Na discussão das resoluções dos alunos, concentre 
a atenção na ideia de reescrever o problema para torná-lo mais 
fácil. Verifi que se eles compreenderam que o problema reescrito 
é o mesmo que o original e, então, deve ter a mesma resposta. 
É claro que isso pode e deve ser confi rmado pela modelagem 
de ambas as formas da soma. Porém, se os alunos expressam 
alguma dúvida sobre a equivalência dos dois problemas (“1 1 12 é 
realmente a resposta para 23 + 14?”), isso devia ser uma pista de 
que o conceito de frações equivalentes ainda não foi bem-com-
preendido.
Conforme os alunos continuem a explorar soluções para 
somas e diferenças de frações, os modelos devem permanecer 
disponíveis para uso. Os três exemplos na Figura 17.4 mostram 
como modelos poderiam ser usados. Note que modelos de tiras 
de fração e de conjuntos exigem que os alunos pensem sobre o 
tamanho de um inteiro (todo) que possa ser usado com ambas as 
frações.
O erro mais comum ao adicionar frações é adicionar am-
bos os numeradores e denominadores. Em vez de saltar e tentar 
corrigir esse erro diretamente, aproveite essa oportunidade para 
uma maravilhosa discussão com a turma. Uma ideia é mostrar 
5
6
1
2
Use a barra verde escura como um todo. Ela possui
6 brancas de comprimento.
inteiro
Isso é exatamente o
mesmo que +
Reescreva o
problema.
9
12
8
12
Use conjuntos de 12.
3–5
1–2+
3–4
2–3+
5–6
1–2–
3
4
2
3
3
5
1
2
Essas são as próprias.
Então as reescreva.
 + é o mesmo
que +
3
5
1
26
10
5
10
Em termos da barra
branca, o problema
 é o
mesmo que
5
6
1
2–
5
6
3
6–
FIGURA 17.4 Reescrevendo problemas de adição e de subtra-
ção envolvendo frações.
350 John A. Van de Walle
mistos em todas as suas atividades com adição e subtração e dei-
xe os estudantes resolverem esses problemas de modo que seja 
signifi cativo para eles. Além disso, é quase certo que os alunos 
adicionarão os números inteiros primeiro e, então, abordarão as 
frações usando o algoritmo ou algum método que faça sentido.
Para a subtração, lidar primeiro com os números inteiros 
ainda faz sentido. Considere esse problema: 518 – 3
5
8. Depois de 
subtrair 3 de 5, os alunos precisarão lidar com os 58.
Alguns tirarão 58 da parte inteira, 2, restando 1
3
8, e então mais 
1
8 formando 1
4
8.
2 + 3 + 18 – 3 – 58
2 – 58 + 18
1 + 38 + 18
1 + 48 = 148
Outros podem retirar o 18 que está lá e então, 
4
8 dos restantes 2.
2 – 58 + 18
2 – 48
1 + 48 = 148
Um terceiro método, mas improvável, é trocar um dos con-
juntos por 88, adicioná-lo a 
1
8 e então tirar 
5
8 dos 
9
8 resultantes. Esse 
último método é o equivalente ao algoritmo tradicional.
2 – 58 + 18
1 + 1 + 18– 58
1 + 89 + 18 – 58
1 + 98 – 58
1 + 48 = 148
Estimativa e métodos simples
Com denominadores menores ou iguais a 16, a estimativa 
usando “boas” frações como metades e quartos normalmente é 
possível e deve ser encorajada. A estimativa também leva a méto-
dos informais que são geralmente mais fáceis que os algoritmos 
tradicionais para obter respostas exatas.
Considere 718 – 2
3
4. Uma primeira estimativa poderia ser 5 
[7-2], ignorando as frações. Mas será maior ou menor que 5? 
Outros poderiam começar considerando que 718 é quase 7 e 2
3
4 
está perto de 3, o que resultaria em cerca de 4 [7-3], talvez um 
pouco mais. Uma vez que os alunos comecem a pensar nesses 
aos estudantes a seguinte solução para adicionar 12 + 13 que você 
viu, apresentada por um alunos imaginário de outra turma:
Adicione
Portanto, .
Some as partes superior e inferior.
1–2
1–3
1–2
1–3
2–5+ =
Desafi e os alunos a decidir se o colega está certo. Se não 
estiver, o que está errado com a resolução?
 Faça uma pausa e refl ita
Por que a resposta não pode ser e o que está errado com o racio-
cínio do estudante?
Concentre-se primeiro na resposta. A soma de 25 é menor que 
1
2 quando, de fato, 
1
2 + 13 deve ser maior que 12. Quando os alunos 
estiverem seguros de que a soma não pode ser 25, é válido deixar 
que eles decidam o que está errado com o raciocínio. A falhano 
raciocínio é um erro fácil dos estudantes cometerem ao usarem 
um modelo de fração onde o todo não é um tamanho fi xo como 
ocorre com as fatias de pizza circular. Nesse exemplo, cada uma 
das frações na equação é modelada com um todo diferente. Re-
lembre a falácia da pizza discutida no Capítulo 16.
Múltiplos comuns
Muitos alunos têm difi culdade em determinar denominado-
res comuns porque não podem apresentar múltiplos comuns dos 
denominadores rapidamente. Essa é uma habilidade que você 
pode desejar exercitar, pois também depende de ter um bom co-
mando dos fatos fundamentais da multiplicação. A próxima ati-
vidade foi elaborada para trabalhar a habilidade de determinar o 
menor múltiplo comum ou denominadores comuns.
Flashes de Cartões MMC
Faça cartões para “fl ashes” com pares de números que se-
jam denominadores potenciais. A maioria deve ser menor 
que 16. Para cada cartão, os alunos tentam dar o menor 
múltiplo comum, ou MMC (veja Figura 17.5). Não deixe 
de incluir pares que sejam primos, tais como 9 e 5; Os pa-
res em que um é múltiplo do outro, como 2 e 8; e pares 
que tenham um divisor comum, como 8 e 12.
Atividade 17.1
Números mistos
Um algoritmo independente para a adição e subtração de 
números mistos não é necessário, embora números mistos sejam 
com frequência tratados como tópicos separados em livros didá-
ticos tradicionais e em algumas listas de objetivos. Evite formar 
várias camadas de frações com mais outra regra. Inclua números 
Use pares de números entre 2 e 12.
Escreva o MMC no verso.
12
43,
6
62,
18
96,
Cartões com divisores comuns maiores
podem ser feitos do mesmo modo.
FIGURA 17.5 Flashes de cartões menor múltiplo comum 
(MMC).
Matemática no Ensino Fundamental 351
termos (já sabendo que o resultado está entre 4 e 5), um método 
signifi cativo para obter uma resposta exata geralmente é possível 
sem usar um algoritmo.
Examine os exercícios de fração para adição e subtração em 
um livro didático das séries fi nais do EF. Verifi que quantos deles 
você pode fazer sem lápis e papel. Desafi e os alunos a fazer o 
mesmo.
O volume da 6
a
 série do programa curricular Connected Ma-
thematics não dedica muito tempo com a adição e a subtração de 
frações. Porém, concentra uma atenção considerável em conec-
tar frações, decimais e porcentagens. A atividade descrita aqui 
envolve uma abordagem aberta para adição de fração apropriada 
àquela série.
Matemática
Conectada
Fonte: Connected Mathematics: Bits and Pieces II: Using Rational 
Numbers. Direitos Autorais © 2002 pela Universidade Estadual 
de Michigan, Glenda Lappan, James T. Fey, William M. Fitzger-
ald, Susan N. Friel & Elizabeth Difanis Phillips. Publicada pela Pe-
arson Education, Inc., publicada em Pearson Prentice Hall. Usado 
com permissão.
Seção A
Lapp
Bouck
Wong
Krebs
Foley
Stewart
Gardella Fuentes
Fitz Burg Walker
Theule
Seção B6
a Série: partes e pedaços II
Pesquisa 4: somar e subtrair frações
Contexto
“Partes e Pedaços II” é a segunda unidade completa da 
6
a
 série que explora frações. Na unidade anterior, a ênfase é 
colocada sobre os signifi cados de fração e as conexões com 
decimais e porcentagens. Nessa unidade, estratégias para to-
das as quatro operações são exploradas também como cálculos 
com decimais e porcentagens.
Descrição de tarefa
Este problema se baseia na compreensão dos alunos de 
frações como parte de uma região. Duas seções de terreno são 
mostradas no mapa, cada seção tendo 640 acres* (1 milha qua-
drada). O problema é dividido em duas partes. Primeiro, os 
alunos determinam que fração de uma seção (um quadrado) 
cada pessoa possui. Dando continuidade, eles também deter-
minam o número de acres que cada pessoa possui, uma primei-
ra aplicação de uma fração vezes um número inteiro.
A segunda parte do problema inclui uma pequena tarefa 
lógica, como também adição de frações, envolvendo os pro-
prietários de alguns terrenos vendidos a outros proprietários de 
terras. Os estudantes recebem pistas sobre as transações. Sua 
tarefa é redesenhar o mapa, descobrir quanto terreno cada um 
dos quatro proprietários restantes tem e explicar o seu raciocí-
nio. Aqui estão as pistas das transações:
Pista 1: Quando todas as vendas forem completadas, qua-
tro pessoas – Theule, Fuentes, Wong e Gardella – pos-
suem toda a terra nas duas seções.
Pista 2: Theule comprou de uma pessoa e agora possui 
terreno equivalente a 12 de uma seção.
Pista 3: Fuentes comprou de três pessoas e agora possui o 
equivalente a 1332 de uma seção.
Pista 4: Gardella agora possui o equivalente a 12 de uma 
seção.
 * N. de T.: acre – unidade de medida de superfície agrária, correspon-
dente a 40,47 ares ou 4.047 m
2
. Então, 640 acres = 2.590.080 m2 = 
(1.609)
2
 m
2
 = 1 milha quadrada.
Pista 5: Wong agora possui todo o restante do terreno nas 
duas seções.
Pista 6: Cada um dos quatro donos podem caminhar ao 
redor de todo o seu terreno sem ter de cruzar o terreno 
de outra pessoa.
De acordo com o manual, a maioria dos alunos acaba sub-
dividindo cada seção com uma malha 8 × 8 e usa isso para 
determinar a parte fracionária de cada parcela. Na discussão, 
os estudantes são encorajados não apenas a usar seus dese-
nhos, mas também a usar a adição de frações para justifi car 
suas conclusões a partir das pistas.
O componente de raciocínio lógico (desafi o) e o ambiente 
contextualizado desse problema o tornam atraente para estu-
dantes na 6
a
 série. Na lição seguinte, os alunos são desafi ados 
a descobrir pelo menos um algoritmo (regra) para adicionar 
frações e outro para subtrair frações. Note como o problema 
do terreno pode ajudar os alunos a perceber algum valor no 
uso de denominador comum e prepará-los para planejar seus 
próprios procedimentos.
Séries Finais do EF
352 John A. Van de Walle
Multiplicação
Quando trabalhamos com números inteiros, dizemos que 3 
x 5 signifi ca “3 conjuntos de 5”. O primeiro fator diz quanto do 
segundo fator você tem ou quer. Esse é um bom lugar para co-
meçar. As histórias-problemas simples são um recurso auxiliar 
signifi cativo nesse desenvolvimento.
Exploração informal
As histórias-problema que você usar para propor tarefas de 
multiplicação para as crianças não precisam ser muito elabora-
das, mas é importante pensar sobre os números que você usará 
nos problemas. Uma possível progressão em termos da difi culda-
de dos problemas é desenvolvida nas próximas seções.
Conceitos iniciais
Considere esses dois problemas como boas tarefas iniciais:
Há 15 carrinhos na coleção de carros de brinquedo de Michael. 
Dois terços dos carros são vermelhos. Quantos carros verme-
lhos Michael tem?
Suzana tem 11 biscoitos. Ela quer compartilhá-los com suas três 
amigas. Quantos biscoitos Suzana e cada uma de suas amigas 
receberão?
Encontrar a parte fracionária de um número inteiro, a tarefa 
em ambos os problemas, não é diferente da tarefa de encontrar 
uma parte fracionária de um todo. No problema dos carrinhos de 
Michael, pense sobre os 15 carros como o todo e você quer obter 
2
3 do todo. Primeiro, encontre o terço, dividindo 15 por 3. Multi-
plicar por terços, não importa quantos terços, envolve dividir por 
3. O denominador é um divisor.
O problema dos biscoitos de Suzana é o mesmo problema 
de compartilhar discutido no último capítulo. Dividir por 4 é o 
mesmo que multiplicar por 14. Ou pense nos 11 biscoitos como o 
todo. Quantos em um quarto? Os biscoitos são usados de modo 
que os itens possam ser subdivididos. Os muitos modos de os 
alunos resolverem esses problemas de compartilhar foram discu-
tidos no Capítulo 16.
Os problemas em que o primeiro fator ou multiplicador é 
um número inteiro também são importantes.
Wayne encheu 5 garrafas com 23 de litros de refrigerante em 
cada garrafa. Quanto refrigerante Wayne usou?
Esse problema pode ser resolvido de diferentes maneiras. 
Algumas crianças juntarão os terços, fazendo conjuntos confor-
me consigam. Outroscontarão todos os terços e então descobri-
rão quantos litros inteiros existem em 10 terços.
Partes unitárias sem subdivisões
Para expandir as ideias apresentadas, considere estes três 
problemas:
Você tem sobrando 34 de uma pizza. Se você der 
1
3 da sobra de 
pizza a seu irmão, quanto de uma pizza inteira seu irmão terá?
Alguém comeu do bolo, deixando apenas . Se você comer 23 
do bolo que sobrou, quanto de um bolo inteiro você comerá?
Glória usou 212 tubos de tinta azul para pintar o céu em seu 
quadro. Cada tubo possui 45 onças* de tinta. Quantas onças de 
tinta azul Glória usou?
Note que as unidades ou partes fracionárias nesses proble-
mas não precisam ser mais subdivididas. O primeiro problema é 
1
3 de três coisas, o segundo é 
2
3 de nove coisas e o último é 2
1
2 de 
quatro coisas. O enfoque permanece no número de partes da uni-
dade no todo e então, o tamanho das partes determina o número 
de conjuntos. A Figura 17.6 mostra como problemas desse tipo 
poderiam ser modelados. Porém, é muito importante deixar os 
alunos modelar e resolver esses problemas a seu próprio modo, 
usando quaisquer modelos ou desenhos que eles escolherem. 
Exija apenas que eles consigam explicar seu raciocínio.
 * N de T.: antiga unidade de medida de peso de diversos países, com valo-
res que variam entre 24 g e 33 g.
Existem 6 contadores em , então existem 4 contadores
em × .
6
8
2
3
6
8
Use conjuntos de 8 para modelar os oitavos.
Use hexágonos como inteiros.
Pegue de cada inteiro.1
3
de 2 = ou13
2
3
Queremos desses34
4
5
de =3
4
4
5
3
5
 de 4 coisas
é 3 coisas.
3
4
2–
3
6–
8
×
3–
4
4–
5
×
1–
3
2×
FIGURA 17.6 Modelando problemas de multiplicação em que 
os pedaços da unidade não exijam maior subdivisão.
Matemática no Ensino Fundamental 353
Subdividindo as partes da unidade
Quando os pedaços precisarem ser subdivididos em partes 
menores da unidade, os problemas se tornam mais desafi adores.
Zack ainda tem 23 do gramado para cortar. Após o almoço, ele 
cortou 34 da grama que faltava. Quanto do gramado inteiro 
Zack cortou após o almoço?
O zoólogo tinha uma garrafa enorme da bebida favorita dos 
animais, a Zoo-Cola. O macaco bebeu 15 da garrafa. A zebra be-
beu 23 do que sobrou. Quanta da garrafa de Zoo-Cola a zebra 
bebeu?
 Faça uma pausa e refl ita
Pare por um momento e tente compreender como você resolveria 
cada um desses problemas usando modelos e analisando o signifi ca-
do das frações. Faça desenhos e fi guras para lhe ajudar, mas não use 
um algoritmo computacional.
No problema do gramado de Zack é necessário encontrar 
quartos de duas coisas, os dois terços da grama que falta cortar. 
No problema da Zoo-Cola, você precisa de terços de quatro coi-
sas, os 4 quintos da bebida que sobrou. Novamente, os conceitos 
de o número superior ser o contador e o número de parte inferior 
nomear o que é contado desempenham um papel importante. A 
Figura 17.7 mostra duas soluções possíveis para o problema do 
gramado de Zack. Abordagens semelhantes podem ser usadas 
para o problema da Zoo-Cola. Você pode ter usado desenhos di-
ferentes, mas as ideias devem ser as mesmas.
Se os alunos usarem contadores para modelar problemas 
onde as unidades exijam subdivisão, surge uma difi culdade adi-
cional. A Figura 17.8 ilustra o que poderia acontecer ao resolver 
o problema 35 × 
2
3. (Três quintos de 
2
3 de um inteiro é quanto do 
inteiro?) Aqui a representação de um inteiro deve ser mudada 
de modo que o terço possa ser subdividido. Conjuntos de 6, 9 e 
12 podem todos ser usados para mostrar os terços. Para cada um 
desses, porém, 23 de um inteiro não pode ser dividido em 5 partes 
para obter 35. Quando um conjunto de 15 é usado como inteiro, 
2
3 
é mostrado com 10 contadores e o problema pode ser resolvi-
do. Não desencoraje os estudantes a usar contadores, mas esteja 
preparado para ajudá-los a encontrar caminhos para mostrar os 
terços usando conjuntos maiores.
O problema na Figura 17.8 ofe-
rece outro possível caminho que me-
rece ser mencionado. Como não há 
contexto para o problema, por que 
não usar a propriedade comutativa – 
girar os fatores e considerar 23 de 
3
5. 
Uau! Você percebe que a resposta é 
2/5 quase imediatamente?
Desenvolvendo o algoritmo
Se você dedicar um tempo adequado para que seus alunos 
explorem a multiplicação de frações como acabamos de descre-
ver, o algoritmo da multiplicação tradicional será relativamente 
simples de desenvolver. Passe de problemas contextualizados 
para um cálculo direto. Faça os alunos usarem um quadrado ou 
um retângulo como modelo.
Uma tarefa inicial
Para propor uma tarefa baseada em problemas aos alunos, 
lhes forneça um desenho de 34 de um quadrado como mostrado 
na Figura 17.9. A tarefa é usar o desenho para determinar o 
produto 35 × 34 (três quintos de três quartos de um inteiro) e ex-
plicar o resultado. Lembre-se que você quer determinar uma 
parte fracionária da parte sombreada. A unidade, porém, o 
modo que as partes são medidas, deve permanecer o quadrado 
inteiro.
Corte todos os 3 terços em 4
partes. Cada parte é . Três
quartos dos 8 doze avos da
grama que falta cortar é . 6
12
 1
12 
Corte cada terço pela metade
e pegue 3 partes.
Metade de um terço é um
sexto, então é .3
6
3–
4
2–
3Quanto é de ?
FIGURA 17.7 Soluções para produtos de fração quando as 
partes da unidade precisam ser subdivididas.
ou 25
6
15
Use contadores. 
Precisamos de terços.
Experimente conjuntos de 3.
são 10 contadores.23
de 10 são 2 contadores.15
de 10 são 6 contadores.35
×35
2
3
3–
5
2–
3
×
Obtemos , mas isso não
pode ser dividido em 5
partes. Experimente
um número maior.
2
3
FIGURA 17.8 Modelando a multiplicação de frações com con-
tadores.
Um plano de lição ex-
pandida para os alunos 
explorarem multipli-
cação de frações pode 
ser encontrado no site 
www.artmed.com.br.
U l d li ã
LIÇÃO
EXPANDIDA
354 John A. Van de Walle
Desenhado como mostrado, o caminho mais fácil para obter 
3
4 da região sombreada é dividi-la em quartos usando linhas em 
direções opostas. Então o problema é determinar que tipos de 
partes da unidade essas partes são. Embora os alunos possam 
não pensar nisso, um método fácil de fazê-lo é estender as li-
nhas, subdividindo todo o inteiro em quartos. Então o produto 
dos denominadores diz quantos pedaços estão no todo (o tipo da 
unidade) e o produto dos numeradores diz o número de pedaços 
no produto.
Evite empurrar os alunos para formalizar a regra ou algo-
ritmo de multiplicar os números na parte superior e inferior. 
Muitos estudantes simplesmente contarão cada menor parte nos 
desenhos e não notarão que os números de fi las e colunas são 
realmente os dois numeradores e os dois denominadores, respec-
tivamente. Você pode orientar os alunos nesse sentido propondo 
um problema com o esboço inicial, mas pedindo que eles deter-
minem o produto sem mais desenhos. Experimente 78 × 45, onde os 
números tornam quase obrigatório você multiplicar.
Alerta: Muitos textos tornam essa abordagem de fatiar qua-
drados, tão mecânica que ela acaba realmente se tornando um 
algoritmo sem sentido. É dito aos alunos para sombrear um qua-
drado de um jeito para o primeiro fator e do modo oposto para 
o segundo fator. Sem fundamentação, eles são informados que 
o produto é a região que é duplamente sombreada. Desse jeito, 
você também poderia apresentar a regra aos alunos e esquecer as 
explicações.
Fatores maiores que um
Muitos livros didáticos fazem os alunos mudarem os nú-
meros mistos para frações impróprias a fi m de multiplicá-los. 
Naquele modo, o mesmo algoritmo pode ser aplicado. Embora 
não exista nada matematicamente errado com esse método, não 
é necessário. Enquanto os alunos explorarem a multiplicação, 
comece a incluir tarefas onde um dos fatores seja um número 
misto. Por exemplo, 34 × 212. Os estudantes que compreenderem 
que 212 signifi ca 2 + 12 quase certamentemultiplicarão 34 × 2 e 34 × 12 
e adicionarão os resultados – usando a propriedade distributiva.
Quando ambos os fatores são números mistos, há quatro 
produtos parciais, do mesmo modo que ocorre quando multipli-
cando 2 números de dois algarismos.
 Faça uma pausa e refl ita
Determine os quatro produtos parciais nesta multiplicação: 3 × 2 .
A Figura 17.10 mostra como esse produto poderia ser des-
coberto multiplicando as partes individuais. Na maioria dos ca-
sos, as frações resultantes provavelmente não são difíceis de tra-
balhar. Mais importante, o processo é mais conceitual e também 
é adequado à estimativa, antes ou depois dos produtos parciais 
serem determinados.
A Figura 17.11 mostra como o mesmo produto é modelado 
usando a abordagem de área usada para frações menores que 1. 
Note que mudando esse problema relativamente simples para fra-
ções impróprias e aplicando o algoritmo, o resultado seria 9912, uma 
fração bastante difícil de ser vista. O método de produto parcial da 
Figura 17.10 parece fazer muito mais sentido. Note que os mes-
mos quatro produtos parciais da Figura 17.10 podem ser encontra-
dos no retângulo na Figura 17.11.
Isso significa de um conjunto de . Para obter o produto, forme e então separe dele.3
5
3
4
3
5
3
4
Desenhe todas
as linhas em
uma direção.
3
5
3
5
Esta região é o PRODUTO. É de . 
5 4
3 3
Existem três filas e três colunas no PRODUTO ou 3 × 3 partes.
O TODO é agora cinco filas e quatro colunas, então existem 5×4 partes no todo.
O PRODUTO = × 3
5
3
4
 9
20
Número de partes no produto
Tipo de partes 
3 × 
× 
3
= = 45 =
Se você estender as 
linhas divisórias por 
todo o quadrado, você 
poderá determinar que 
parte fracionária cada 
peça representa.
3–
5
3–
4
×
FIGURA 17.9 Desenvolvimento do algoritmo para a multiplicação de frações.
FIGURA 17.10 Quando se multiplica dois números mistos, ha-
verá quatro produtos parciais. Estes podem então ser adicionados 
até se obter o produto total ou uma estimativa pode ser sufi cien-
te. Aqui a resposta é próxima de 8. [quase quatro × quase dois]
Matemática no Ensino Fundamental 355
Técnicas mentais e estimativas
Continuando com o mesmo produto de 323 × 214 por um 
momento, como você estimaria a resposta? Usando a técnica 
de estimativa de arredondar um fator para cima e o outro para 
baixo, esse produto poderia ser estimado como 4 × 2. Essa 
estimativa simples pode ser tudo que é necessário em um con-
texto real. Também é boa o sufi ciente para ajudar os alunos 
a verifi car se sua resposta calculada está dentro dos limites 
esperados.
No mundo real, existem muitas instâncias em que o pro-
duto de um número inteiro por uma fração ocorre e onde uma 
estimativa mental ou até uma resposta exata seja bastante útil. 
Por exemplo, artigos de venda são geralmente listados como 
“desconto de 14”, ou lemos sobre o “aumento de 
1
3” no número 
de eleitores registrados. As frações são substitutos excelentes 
para porcentagens, como você verá no próximo capítulo. Para 
obter uma estimativa de 60% de R$ 36,69, é muito útil pensar 
em 60% como 35 ou como um pouco menos que 
2
3.
Esses produtos de frações com números inteiros grandes po-
dem ser mentalmente calculados pensando sobre os signifi cados 
dos números nas partes superior e inferior da fração. Por exem-
plo, 35 são 3 de um quinto. Então, se você quiser 
3
5 de 350, por 
exemplo, primeiro pense sobre um quinto de 350, ou 70. Se um 
quinto é 70, então três quintos são 3 × 70 ou 210. Embora esse 
exemplo tenha números muito adaptáveis, ilustra um processo 
para multiplicar mentalmente um número grande por uma fra-
ção: Primeiro determine a parte da unidade fracionária e então 
multiplique pelo número de partes que você quer.
Quando os números não forem tão simpáticos, encoraje os 
alunos a usar números compatíveis. Para estimar 35 de R$ 36,69, 
um número compatível [com 15] útil é R$ 35,00. Um quinto de 35 
é 7, então três quintos são 3 × 7 ou 21. Agora ajuste um pouco 
– talvez acrescente uns 50 centavos a mais, obtendo uma estima-
tiva de R$ 21,50.
Os alunos devem praticar a estimativa de números inteiros 
vezes frações em muitos contextos reais: 314 galões de tinta à R$ 
14,95 por galão ou 78 dos 476 alunos que assistiram ao jogo de 
futebol nessa sexta-feira. Ao trabalharem com decimais e por-
centagens, essas habilidades serão revisitadas e mais uma vez, a 
matemática parecerá mais conectada do que desconectada.
Divisão
“Inverta o divisor e multiplique” é provavelmente uma das 
regras mais misteriosas na matemática elementar. Queremos 
evitar esse mistério a todo custo. Porém, primeiro faz sentido 
examinar a divisão com frações de uma perspectiva mais fa-
miliar.
Como com as outras operações, volte ao signifi cado da divi-
são com números inteiros. Recorde que há dois signifi cados para 
a divisão: Partição e Medida. Revisaremos brevemente ambos os 
signifi cados e veremos algumas histórias-problemas envolvendo 
frações. (Você pode compor um problema textual agora mesmo 
que resultaria no cálculo de 2 12 ÷ 14?)
Você deve fazer os alunos explorarem ambos os problema 
de medida e de partição. Aqui nós discutiremos cada tipo de pro-
blema separadamente para maior clareza. Em sala de aula, os 
tipos de problemas devem provavelmente ser misturados. Como 
com a multiplicação, como os números se relacionam uns aos 
outros nos problemas tende a afetar a difi culdade.
Exploração informal:
conceito de partição
Com muita frequência pensamos sobre os problemas de 
partição estritamente como problemas de compartilhar: 24 ma-
çãs a serem compartilhadas entre 4 amigos. Quantas maçãs cada 
amigo obterá? Recorde do Capítulo 10, porém, que essa mesma 
estrutura de compartilhamento se aplica em problemas de taxas: 
Se você caminha 12 quilômetros em 3 horas quantos quilôme-
tros você caminha em uma hora? Ambos os problemas são, de 
fato, problemas de partição, faça as perguntas, “Quanto é um?”, 
“Quanto é a quantidade para um amigo?”, “Quantos quilômetros 
Todo
2
1
3
ou
O PRODUTO é 3 conjuntos de 2 .23
1
4
=
Há 11 filas e 9 colunas, ou 11 × 9 partes, no PRODUTO.
O INTEIRO agora tem três filas e quatro colunas
ou 3 × 4 partes.
3 × 2 = × = PRODUTO =2–3
1–4
9–4
11—3
Número de partes
de partesTipos
== = 8 3–4
99—12
11 × 9——— 3 × 4
2–3
11—3
1–4
9–4
2–
3
1–
4× 23
FIGURA 17.11 A mesma abordagem usada para desenvol-
ver o algoritmo para frações menores que 1 pode ser expandida 
para números mistos.
356 John A. Van de Walle
são percorridos em uma hora?”; 24 é a quantidade para os 4 ami-
gos, 12 quilômetros é a quantidade para as 3 horas.
Divisores de número inteiro
Ter uma quantidade total sendo uma fração com o divisor 
um número inteiro não é realmente um grande salto. Esses pro-
blemas ainda são fáceis de pensar como situações de comparti-
lhamento. Porém, ao trabalhar nessas questões, observe que você 
está respondendo a questão, “Quanto é o todo?” ou “Quanto por 
um?”.
Cássia tem 514 metros de tira para fazer três laços para presen-
tes de aniversário. Quanta tira ela deve usar para cada laço se 
ela quiser usar o mesmo comprimento de tira em cada laço?
Quando o 514 é pensado como partes fracionárias, existem 
21 quartos a compartilhar ou 7 quartos para cada tira. Alterna-
tivamente, poderia se pensar em primeiro distribuir 1 metro por 
laço, deixando 214 metros ou 9 quartos. Esses 9 quartos são então 
compartilhados, 3 quartos por laço, para um total de 134 metros 
para cada laço. Independente do processo particular, as partes 
da unidade não exigiram subdivisão adicional a fi m de fazer a 
divisão. No próximo problema, as partes devem ser divididas em 
partes menores.
Marcos tem 114 de hora para terminar suas três tarefas domés-
ticas. Se ele dividir seu tempo uniformemente, quanto tempo 
ele pode dar a cada uma das tarefas?Note que a pergunta é “Quanto tempo para uma tarefa?”. Os 
5 quartos de uma hora que Marcos tem não são divisíveis nitida-
mente em três partes. Então algumas ou todas as partes devem 
ser subdivididas. A Figura 17.12 mostra três modelos diferentes 
para realizar isso. Em cada caso, todos os quartos são subdivi-
didos em três partes iguais, produzindo doze avos. Há um total 
de 15 doze avos ou 1512 horas para cada tarefa (Teste essa resposta 
contra a solução em minutos: 114 de hora fazem 75 minutos, que 
divididos em 3 tarefas dá 25 minutos por tarefa).
Divisores fracionários
O conceito de compartilhar parece falhar quando o divisor é 
uma fração. Porém, é muito útil para manter em mente que para 
problemas de partição e de taxas a questão fundamental é “Quan-
to para cada um?”. De modo interessante, essa é exatamente o 
segundo tipo de questão nas tarefas parte-todo do Capítulo 16: 
Dada a parte, ache o todo – quanto é um? Por exemplo, se um 
conjunto de 18 contadores é 214, quanto é um conjunto todo? Ao 
resolver esses problemas, a primeira tarefa é encontrar o número 
em um quarto e então multiplicar por 4 para obter quatro quartos 
ou uma unidade. Vamos ver se podemos ver o mesmo processo 
no seguinte problema:
Elizabeth comprou 313 quilos de tomates a R$ 2,50. Quanto ela 
pagou por quilo?
 Faça uma pausa e refl ita
A quantidade dada de R$ 2,50 é distribuída por 313 quilos. Quan-
to custa 1 quilo? Resolva o problema do mesmo modo que você 
resolveria um problema parte-todo. Tente resolver agora, antes de 
continuar a leitura.
Em 313 existem 10 terços. Como R$ 2,50 cobrem (ou é dis-
tribuído) dez terços, 1 terço é coberto por um décimo dos R$ 
2,50 ou 25 centavos. Existem 3 terços em um. Então, 75 centavos 
devem cobrir 1 quilo ou 75 centavos por quilo.
1 de horas para fazer três tarefas. Quanto tempo para
cada tarefa?
1–4
(1 dividido em 3 conjuntos iguais)
1–4
Uma abordagem é dividir cada quarto em 3 partes.
horas por tarefa5—12
1 de horas1–4
1 de horas
15 partes de 12 avos. 5 em cada tarefa.
1–4
É necessário ser capaz de dividir cada quarto em 3 partes.
Use conjuntos de 12 como um inteiro.
1 de horas1–4
15 contadores em 1 . Coloque 5 em cada conjunto.
Cada contador é ou 5 minutos.
1–4
1—12
FIGURA 17.12 Três modelos de divisão de partição com um 
divisor de número inteiro.
Matemática no Ensino Fundamental 357
Experimente os seguintes problemas usando uma estratégia 
semelhante.
Daniel pagou R$ 2,40 por uma caixa de 34 quilos de doces. 
Quanto custa um quilo?
Adriana descobriu que se caminhar rápido durante seu exer-
cício matutino, ela consegue percorrer 212 quilômetros em 
3
4 de 
uma hora. Ela quer saber quantos quilômetros por hora está 
correndo.
Em ambos os problemas, primeiro encontre a quantidade 
para um quarto e então o valor de um inteiro. O problema da ca-
minhada de Adriana é um pouco mais difícil porque os 212 quilô-
metros ou 5 meios quilômetros não são nitidamente divisíveis em 
três partes. Se isso for difícil para você, tente dividir cada metade 
em três partes. Desenhe fi guras ou use modelos se isso ajudar.
Exploração informal:
conceito de medida
Quase todas as explorações de divisão com frações encon-
tradas no currículo das séries iniciais e fi nais do EF envolvem 
o conceito de medida. Para revisar, 13 ÷ 3 com esse conceito 
signifi ca “Quantos conjuntos de 3 há em 13?”. Aqui temos um 
ambiente contextualizado: Se você tiver 13 quartos de limona-
da, quantas cantinas contendo cada uma 3 quartos você pode 
encher? Uma ideia básica para lidar com esse exemplo envolve 
lidar com aquele último quarto após encher as primeiras quatro 
cantinas. Se você continuar a encher uma quinta cantina, obterá 
apenas um quarto. Ela será preenchida apenas de um terço. Então 
uma resposta é 413 cantinas.
Como esse é o conceito de divisão é bem predominante nos 
livros didáticos e será usado para desenvolver um algoritmo para 
dividir frações, é importante que os alunos explorem essa ideia 
em situações contextualizadas.
Resultados de números inteiros
Os alunos prontamente compreendem problemas do tipo:
Você está indo a uma festa de aniversário. Da fábrica de sor-
vete “Ben & Jerry” você compra 6 quartilhos* de sorvete. Se 
você servir 34 de um quartilho de sorvete para cada convidado, 
quantos convidados podem ser servidos? (Schifter, Bastable e 
Russell, 1999b, p. 120)
Os alunos tipicamente desenham fi guras de seis coisas di-
vididas em quartos e contam quantos conjuntos de 34 podem ser 
 * N. de T.: quartilho é uma unidade de medida de capacidade anglo-saxô-
nica para líquidos, equivalente a 1,136 litros no Canadá e a 0,568 litros no 
Reino Unido.
obtidos. A difi culdade está em ver isso como 6 ÷ 3
4
, e esta parte 
exigirá alguma orientação direta de sua parte. Uma ideia é com-
parar o problema a um outro, envolvendo números inteiros (6 
quartilhos, 2 por convidado) e fazer uma análise.
Aqui temos um problema ligeiramente mais complexo:
O Sr. Brown, um fazendeiro, descobriu que tinha 214 galões de 
concentrado de fertilizante líquido. É necessário 34 de galão 
para fazer um tanque completo com mistura de fertilizante. 
Quantos tanques cheios de mistura ele pode produzir?
Tente resolver esse problema sozinho. Use qualquer mo-
delo ou desenho que você quiser para ajudar a explicar o que 
está fazendo. Observe que você está tentando descobrir quantos 
conjuntos de 3 quartos estão em um conjunto de 9 quartos. Sua 
resposta deve ser 3 tanques cheios (não 3 quartos). Aqui temos 
outro problema para você experimentar:
Linda tem 423 metros de tecido. Ela está fazendo roupas de 
bebê para o bazar. Cada padrão de vestidinhos precisa de 116 
metros de tecido. Quantos vestidinhos ela poderá fazer com o 
tecido que tem?
O que torna esse problema um pouco diferente é que a quan-
tidade dada está em terços e o divisor está em sextos. Como você 
quer medir “conjuntos” de 116, em algum lugar na resolução, os 
sextos precisarão ser usados. Duas ideias são apresentadas na Fi-
gura 17.13.
Respostas que não são números inteiros
Se Linda tivesse 5 metros de tecido, ela poderia fazer apenas 
quatro vestidos porque um vestido incompleto não faz sentido. 
Mas suponha que o fazendeiro Sr. Brown começou com 4 ga-
lões de concentrado. Após fazer cinco tanques de mistura, ele 
teria usado 154 ou 3
3
4 galões do concentrado. Com o 
1
4 do galão que 
sobrou ele poderia fazer um tanque parcial de mistura. Ele pode 
fazer 13 de um tanque de mistura, pois é necessário 3 quartos para 
fazer um todo e ele tem 1 quarto de um galão.
Aqui temos outro problema para explorar:
João está construindo um pátio. Cada seção exige 23 de uma 
jarda** cúbica de concreto. O caminhão de concreto carrega 214 
jardas cúbicas de concreto. Se não houver quantidade sufi cien-
te para completar uma seção, João pode fazer uma divisão e 
concretar uma seção parcial. João pode fazer quantas seções 
com o concreto de uma carga de caminhão?
 ** N. de T.: jarda é uma unidade de medida de comprimento, inglesa e norte-
americana, equivalente a 91, 44 cm ou três pés, próxima de um metro.
358 John A. Van de Walle
 Faça uma pausa e refl ita
Você deve primeiro tentar resolver esse problema de uma maneira 
signifi cativa para você. Pare e tente fazer isso agora.
Após resolvê-lo de seu modo, tente este método: mude todos 
os números para a mesma unidade (doze avos). Então o proble-
ma se torna: Quantos conjuntos de 8 doze avos há em um conjun-
to de 27 doze avos? A Figura 17.14 mostra dois problemas não 
contextualizados resolvidos desse mesmo modo, cada um com 
um modelo diferente. Isto é, em ambos o dividendo ou quan-
tidade dada e o divisor são expressos no mesmo tipo de partes 
fracionárias. Isto resulta em um problema de divisão de número 
inteiro (No problema concreto, a resposta é a mesma que 27 ÷ 
8). Em sala de aula, após os alunos resolveram problemas como 
esses usando seus próprios métodos, sugira essa abordagemde 
unidade comum.
Desenvolvendo os algoritmos
Existem dois algoritmos diferentes para a divisão de frações. 
Os métodos de ensinar ambos os algoritmos são discutidos aqui.
O algoritmo de denominador comum
O algoritmo de denominador comum se baseia no conceito 
de medida ou subtração repetida da divisão. Considere o pro-
blema 35 ÷ 12. Como mostrado na Figura 17.15, uma vez que cada 
número seja expresso em termos da mesma parte fracionária, a 
resposta é exatamente a mesma que o problema de número in-
teiro 10 ÷ 3. O nome da parte fracionária (o denominador) não é 
mais importante e o problema passa a ser dividir os numeradores. 
A regra ou algoritmo resultante, então, é: para dividir frações, 
primeiro identifi que denominadores comuns e então divida os 
numeradores. Por exemplo, 53 ÷ 14 = 2012÷ 3 12 = 20 ÷ 3 = 203 = 623.
Experimente usar fatias de torta, tiras de fração e então con-
juntos de contadores para modelar 123 ÷ 34 e 38 ÷ 12 para lhe ajudar a 
desenvolver esse algoritmo.
O algoritmo de inverter e multiplicar
Inverter o divisor e multiplicar pode ser um dos procedi-
mentos pior compreendidos no currículo do EF. (Você sabe por 
que inverter e multiplicar funciona?) De maneira interessante, 
em um estudo muito discutido sobre professores chineses e nor-
2–
3
1–
6÷ 14
Eu reparti os dois terços em quatro sextos.
Então usei um inteiro e um sexto para cada peça.
Formaram 4 peças.
Eu reparti tudo em sextos. Isso fez 24 (dos 4) e
mais 4 dos . Isso totalizou 28. Então 1 são
 , assim dividi os 28 por 4 e obtive 7.
1
6
2
3
7
6
FIGURA 17.13 Duas soluções para o problema: Quantos 
comprimentos de 1 metros podem ser cortados de 423 metros 
de tecido?
Quantos conjuntos de podem ser formados com 1 ?
Transforme tudo
para doze avos.
Escolha conjuntos de 10 como o todo.
1 conjunto
Assim ÷ = .2–5
1–2
4–5
 são 5
contadores
1–2 são 4
contadores
2–5
Há 1 conjuntos de em .
7–8
8—12
15—12
Quantos conjuntos de em ?
1–2
2–5
Quantos conjuntos de 5 em um conjunto de 4?
2–3
Conjuntos de
2–3
1 conjunto de 
2–3
1 é 15 doze avos.1–4
1–4
de um conjunto7–8
Cada conjunto de 
é formado por 8
doze avos.
2–3
 de um
conjunto de 5
4–5
2–
5
1–
2÷
1–
4
2–
3÷1
FIGURA 17.14 Modelos para o conceito de medida da divi-
são de fração.
Matemática no Ensino Fundamental 359
te-americanos, Liping Ma (1999) descobriu que a maioria dos 
professores chineses não só usam e ensinam esse algoritmo, mas 
também compreendem por que funciona. Os professores nos 
Estados Unidos se mostraram profundamente carentes em sua 
compreensão da divisão de fração.
Se você retornar aos poucos problemas de partição discuti-
dos, você descobrirá que resolvê-los quase imediatamente pro-
voca o algoritmo de inverter e multiplicar. Vamos olhar mais um 
exemplo em que ambos o dividendo e o divisor sejam frações 
próprias.
Um pequeno balde pode ser preenchido até 78 usando 
2
3 de um 
galão de água. Quanto o balde pode comportar se for comple-
tamente preenchido?
Ignore temporariamente que a quantidade é 23 de um galão da 
água. Desenhe uma fi gura simples como a da Figura 17.16.
Novamente, recorde os problemas parte-todo em que a tare-
fa era achar o todo. Isso é feito aqui – encontrar um balde inteiro, 
se a água dada é 78 do todo. Um balde cheio é 
8
8. Como a água no 
balde é sete das oito partes necessárias para encher o balde, divi-
dir a água por 7 e multiplicar aquela quantidade por 8 resolve o 
problema. Então, tome o 23, divida por 7 e multiplique por 8.
Agora recorde os signifi cados de denominador e numera-
dor. O denominador em uma fração divide o inteiro em partes, e 
desse modo indica o tipo de parte. O denominador é um divisor. 
O numerador nos diz a quantidade dessas partes. O numerador é 
um multiplicador. No problema dividimos o 23 por 7 e multiplica-
mos por 8. Então, multiplicamos o 23 por 
8
7.
Em muitos livros didáticos das séries fi nais do EF, uma jus-
tifi cativa mais simbólica para o procedimento de inverter e multi-
plicar é oferecida. Essas explicações são semelhantes à mostrada 
na Figura 17.17.
 Faça uma pausa e refl ita
Leia a explicação na Figura 17.17. Essa razão é mais ou menos sig-
nifi cativa para você do que a baseada no problema com o balde 
de água? Dada sua escolha, que algoritmo – denominador comum 
ou inverter e multiplicar – você selecionaria para ensinar aos seus 
alunos?
Decisões curriculares
As suas respostas à questão recém-formulada podem ter 
uma infl uência em como você ensina a divisão de frações. Não 
importa muito como os alunos façam as operações, desde que 
possam realizá-las de modo signifi cativo e com precisão de um 
modo razoavelmente efi ciente. Cada um dos algoritmos é válido. 
Independente de que algoritmo seja a sua meta, você está forte-
mente aconselhado a se fundamentar em um trabalho informal 
com histórias-problema. A maioria das histórias-problema dos 
livros didáticos para a divisão de fração parecem ser problemas 
de medida. Esse não é o caso na China. Nos Estados Unidos, 
muito pouca pesquisa foi realizada para explorar a abordagem de 
partição de inverter e multiplicar.
O site da NLVM (http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibra-
ry.html) tem uma boa coleção de applets sobre fra-
ção. O Number bar lines permite ao usuário colocar 
barras de qualquer comprimento fracionário ao lon-
go de uma reta numérica. A reta numérica pode ser ajustada para 
ter incrementos de 12 a 
 1 
15, mas o usuário deve decidir. Por exem-
N
ot
as
 te
cnológicas
1–2
5–3
1–2
5–3
significa “Quantos conjuntos de há em ?”
Reformule o problema com denominadores comuns:
3–6
10—6“Quantos conjuntos de há em ?”
5–3
10—6=
1–2
3–6=
1–3
10—3
1–2
5–3
3–63 conjuntos de ou conjuntos de em .
Faça conjuntos de dos ”3–6
10—6
5–3
1–2
10—3
10—3
3–3÷ ÷ ÷= = ou10 3
5–
3
1–
2
÷
FIGURA 17.15 Modelos para o método de denominador co-
mum para a divisão de fração.
7–8 preenchido2–3
galão
FIGURA 17.16 O balde está 78 cheio. Um sétimo da água ve-
zes 8 é a quantidade necessária para preencher o balde inteiro.
360 John A. Van de Walle
plo, se barras de 34 e 
1
3 são colocadas ponta a ponta, o resultado 
não pode ser lido no applet até os incrementos estarem em doze 
avos. Uma tarefa de divisão é bem ilustrada com as barras na 
abertura do applet.
Rectangle multiplication (também no site NLVM) mostra o 
modelo de área para a multiplicação de quaisquer duas frações 
até 2 × 2. Embora o applet faça um trabalho excelente ao conec-
tar o modelo à equação, muito do trabalho de raciocinar é tirado 
do usuário. Mesmo assim continua sendo recomendado.
O Fractions operations da Tenth planet (Sunburst) é um dos 
poucos softwares que fazem um trabalho razoavelmente bom no 
desenvolvimento de conceitos das operações com frações por 
meio de gráfi cos e áudio inteligentes. A multiplicação e a divi-
são estão especialmente bem feitas. O lado negativo é que muito 
pouco raciocínio refl exivo é exigido do usuário. Uma sugestão 
para esse e outros programas semelhantes é usá-los com a turma 
toda, parando em momentos apropriados de modo que os alunos 
possam trabalhar no problema ao espírito de uma abordagem ba-
seada em resolução de problemas.
Portanto,
Multiplique ambos os
lados por .
= ( )
6–5
( é o inverso de .)6–5
5–6
Escreva a equação em uma
forma equivalente como o
produto com um fator
desconhecido.
= ×3–4
× × ×3–4
6–5
=× × 13–4
6–5
=×3–4
6–5
6–5
5–6
= =÷ ×3–4
3–4
6–5
5–6
Mas também =÷3–4
5–6
5–6
Em geral
÷ =a–b
c–d ×
a–b
d–c
3–
4
5–
6÷ =
FIGURA 17.17 Para dividir, inverta o divisor e multiplique.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.