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Derivadas: definição APRESENTAÇÃO O estudo da derivada é extremamente relevante, dada a sua praticidade e aplicação. A derivada pode ser entendida como uma taxa de variação, a inclinação de uma reta tangente ou, ainda, o limite de uma razão incremental. Como exemplos de aplicações, estão diversos fenômenos físicos, pois eles envolvem grandezas que variam, como a velocidade de um foguete, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade do tremor de um terremoto e a voltagem de um sinal elétrico, entre outros. Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário estar familiarizado com conceitos básicos de álgebra, como fatoração, racionalização e simplificações de expressões algébricas, além de conceitos básicos sobre funções e limites. Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá a derivada de uma função como o limite de uma razão incremental, sua análise geométrica e os métodos para encontrar a inclinação da reta tangente e sua equação matemática. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir a derivada de uma função como o limite de uma razão incremental.• Analisar geometricamente o conceito de derivada.• Determinar a equação da reta tangente a partir do conceito de derivada.• DESAFIO A Economia é uma área que se beneficia muito de aplicações da derivada. Por exemplo, muitos produtos podem ter um custo de produção mais baixo se forem fabricados em grandes quantidades. O número de unidades fabricadas é chamado de nível de produção e, para estudar a relação entre custos e níveis de produção, os economistas utilizam uma taxa de variação, denominada custo marginal, que nada mais é do que a derivada da função custo total. A notação C(x) representa o custo da produção de x unidades de certo produto, e o custo marginal do nível de produção (x0) é o custo de produzir uma unidade adicional. Suponha que você tenha sido contratado para fazer uma análise econômica para uma companhia aérea. De acordo com as informações, calcule: a) a estimativa do custo marginal de um passageiro adicional se o voo já tem 150 passageiros; b) se custaria mais acrescentar um passageiro quando já se tem 150 passageiros ou quando se tem 200 passageiros. INFOGRÁFICO O Cálculo é muito importante para o estudo do movimento, pois, para descrever o movimento de um objeto, é preciso especificar sua velocidade escalar, direção e sentido. Pode-se compreender tamanha importância, por exemplo, ao verificar que o estudo do movimento permite saber a velocidade de um avião, a direção e o sentido de seu movimento. No Infográfico a seguir, você verá o uso das derivadas aplicadas ao estudo do movimento. CONTEÚDO DO LIVRO A derivada é uma ferramenta matemática para estudar a taxa segundo a qual varia uma quantidade em relação a outra. Destaca-se que esse estudo está bastante relacionado com o conceito geométrico de uma reta tangente a uma curva. No capítulo Derivadas: definição, da obra Cálculo: limites de funções de uma variável e derivadas, você irá verificar a noção intuitiva, a derivada como limite de uma razão incremental, para então conhecer a definição formal. Verá, também, o passo a passo para que possa realizar uma interpretação geométrica da derivada. Boa leitura. Cálculo: limites de funções de uma variável e derivadas Cristiane da Silva Derivadas: definição Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Definir derivada de uma função como o limite de uma razão incremental. � Analisar geometricamente o conceito de derivada. � Determinar a equação da reta tangente a partir do conceito de derivada. Introdução Pensando na função de uma variável, temos a abscissa (x) e a função f(x) ou y, cujo valor depende da variável x. Por definição, o incremento da variável x é dado por x – a, e o incremento da função f(x) é dado por f(x) – f(a). Portanto, a razão incremental é . O estudo se dá por meio de representações gráficas e exemplos detalhados, ou seja, você acompanhará uma noção mais intuitiva e, em seguida, a formalização em rigor matemático. Veremos como as retas secantes tendem para a reta tangente, a inclinação da reta tangente, além das interpretações de derivada. As derivadas são bastante utilizadas na otimização de problemas – por exemplo, quando se tem interesse em obter a maximização ou minimiza- ção de um determinado fenômeno – e em aplicações na física, biologia e administração. Neste capítulo, você estudará o limite como uma razão incremental – a saber, incremento em linguagem matemática significa variação. Análises geométricas são propostas com as devidas interpretações e exemplifi- cações. Além disso, chama-se atenção para as diferentes notações com as quais você pode se deparar. Derivada de uma função Para iniciarmos o estudo da derivada, convém recordar a definição de reta tangente a um gráfico e calcular a sua inclinação, como mostramos na Figura 1. Reta secante é qualquer reta que passa por dois pontos de uma curva ou um gráfico, cuja inclinação pode ser calculada supondo dois pontos P e Q do gráfico de y = f(x). Observe a Figura 1. Se P = (a, f(a)) e Q = (x, f(x)) com x ≠ a, temos a inclinação da reta secante por P e Q = , em que ∆f = f(x) – f(a) e ∆x = x – a. A razão incremental é dada pela expressão (ROGAWSKI, 2008). Figura 1. Inclinação das retas secante e tangente. Fonte: Rogawski (2008, p. 97). As representações gráficas da Figura 2, a seguir, mostram o que acontece com o ponto Q quando tende a P, ou quando x tende a a. Derivadas: definição2 Figura 2. As retas secantes tendem para a reta tangente quando Q tende a P. Fonte: Rogawski (2008, p.98). (a) (b) (c) (d) Note que as retas secantes tendem a ficar cada vez mais próximas da reta tangente. Suponha que Q está se movendo em direção a P, então parece que as retas secantes giram para a reta tangente, como demonstrado na Figura 2d. Podemos, então, esperar que as inclinações das retas secantes tendam à incli- nação da reta tangente. Sendo assim, a derivada f′(a) pode ser definida como o limite f′(a) = (ROGAWSKI, 2008). 3Derivadas: definição Outra forma de escrever a razão incremental é usando a variável h: h = x – a Temos x = a + h e x ≠ a, conforme a Figura 3: Figura 3. Reta secante e razão incremental em termos de h. Fonte: Rogawski (2008, p. 98). A variável h tende a 0 quando x → a. Portanto, podemos reescrever a derivada como: Fonte: Rogawski (2008, p. 98). Derivadas: definição4 Rogawski (2008, p. 98) define formalmente a derivada como: a derivada de uma função f em x = a é o limite (se existir) das razões incrementais: Quando existir o limite, dizemos que f é derivável em x = a ou, então, que é diferenciável e x = a. Uma definição equivalente é: Exemplo Encontre a derivada da função y = 2x pela definição de limite. f (́a) = 2 Na próxima seção, intensificaremos o estudo da derivada por meio da análise geométrica de seu conceito, com exemplos detalhados para elucidar o conteúdo. 5Derivadas: definição Análise geométrica de derivada Anton, Bivens e Davis (2014) utilizam uma notação muito semelhante à que acabamos de estudar para analisar geometricamente o conceito de deri- vada. Os autores definem a reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) da curva, como mostra a seguinte Figura 4. Figura 4. A reta secante tende para a reta tangente quando Q tende a P. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 132). Nesse caso, considere um ponto Q(x, f(x)) na curva que seja distinto de P e verifique a inclinação mPQ da reta secante por P e Q: mPQ = . Quando x tende a x0, então o ponto Q aproxima-se do ponto P. Se a inclinação mPQ da reta secante por P e Q tender a um limite quando x → x0, consideramos esse limite como a inclinação mtg da reta tangente em P. Então, suponha que x0 seja um ponto no domínio da função f. A reta tangente à curva y = f(x) no pontoP(x0, f(x0)) é a de equação y – f(x0) = mtg(x – x0), em que sempre que existir o limite (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Derivadas: definição6 Exemplo 1 Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1). Exemplo 2 Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2,1) (Figura 5). 7Derivadas: definição Figura 5. Inclinação da reta tangente à curva . Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 133). Exemplo 3 Encontre as inclinações das retas tangentes à curva em x0 = 1, x0 = 4 e x0 = 9. Para tornar a busca mais eficiente, encontraremos a inclinação para um valor arbitrário de x0 e, depois, substituiremos os valores numéricos específicos. Racionalizando a expressão para ajudar a eliminar a forma indeterminada do limite: Derivadas: definição8 Agora, as inclinações em x0 = 1, x0 = 4 e x0 = 9 podem ser obtidas substi- tuindo esses valores na fórmula geral de mtg (Figura 6): Inclinação em Inclinação em Inclinação em Figura 6. Inclinações das retas tangentes à curva y = em x0 = 1, x0 = 4 e x0 = 9. Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 133). 9Derivadas: definição Note que, à medida que x se aproxima de zero pela direita, o gráfico vai ficando mais vertical, tanto que a tangente ao gráfico em x = 0 é uma reta vertical, e o eixo y é uma assíntota vertical para a função anterior. Isso ocorre porque: Ou seja, quanto mais perto de zero, mais a inclinação aumenta e tende ao infinito, uma vez que uma reta vertical faz 90° com a horizontal e, nesse caso, não é possível obter o valor da inclinação. Por outro lado, na medida em que x aumenta, isto é, x → +∞, o gráfico vai ficando mais horizontal. Isso acontece porque a inclinação vai se aproximando de zero, que é a inclinação do eixo horizontal (eixo x). Nem todas as funções contêm derivadas em todos os pontos. É possível que o limite que define a derivada de uma função f não exista em certos pontos do domínio de f. Por exemplo, vimos que a função não possui derivada em x = 0. Nesses pontos, a derivada não está definida. Braga (2012, p. 92) destaca duas interpretações de derivada: � a derivada f′ de uma função f é a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x; � a derivada f′ de uma função f é a função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação x no ponto x. Na próxima seção, veremos como determinar a equação da reta tangente a partir do conceito de derivada. Equação da reta tangente Nesta seção, você aprenderá como encontrar uma equação de uma reta tan- gente usando a derivada. Além disso, verá representações gráficas, conceitos e notações, usualmente utilizados em derivadas. Derivadas: definição10 Rogawski (2008) destaca que, na forma ponto-inclinação, a equação da reta tangente por P = (a, b) de inclinação m é dada por y – b = m(x – a). E também define uma reta tangente da seguinte maneira: “Suponha que f(x) seja derivável em x = a. A reta tangente ao gráfico de y = f(x) em P = (a, f(a)) é a reta por P de inclinação f′(a). Uma equação da reta tangente é y – f(a) = f′(a)(x – a)” (ROGAWSKI, 2008, p. 99). Exemplo 1 Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 em x = 5. Precisamos calcular f′(5). Isso pode ser feito a partir da equação . Em seguida, aplicamos a equação y – f(a)(x – a) com a = 5. Como f(5) = 25, uma equação da reta tangente é y – 25 = 10(x – 5) ou, na forma inclinação- -corte, y = 10x – 25, como mostrado na Figura 7, a seguir. Figura 7. Reta tangente a y = x2 em x = 5. Fonte: Rogawski (2008, p. 99). 11Derivadas: definição Rogawski (2008) afirma que também convém ver a derivada como uma função f′(x) em que o valor em um ponto x = a particular é f′(a). A função f′(x) ainda é definida como um limite, mas o número a é substituído pela variável x. Sendo assim: Se y = f(x), também costumamos escrever y′ ou y′(x) em vez de f′(x). São apenas notações diferentes para expressar o mesmo conceito. Cabe destacar que o domínio de f′(x) consiste em todos os valores de x do domínio de f(x) para os quais existe o limite. Pode-se afirmar que f(x) é derivável em (a, b) ou, então, que é diferenciável em (a, b), se existir f′(x) para cada x em (a, b). Quando dizemos que f′(x) é derivável (ou diferenciável) sem especificar um intervalo, queremos indicar que f′(x) existe para todo x no domínio de f(x), inclusive nas extremidades, quando houver (ROGAWSKI, 2008). Exemplo 2 Prove que f(x) = x3 – 12x é derivável. Calcule f′(x) e encontre uma equação da reta tangente em x = – 3. Para calcular f′(x) (Figura 8), seguiremos três passos. 1. Escrever por extenso o numerador da razão incremental: f(x + h) – f(x) = ((x + h)3 – 12(x + h)) – (x3 – 12x) f(x + h) – f(x) = (x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 12x –12h) – (x3 – 12x) f(x + h) – f(x) = 3x2h + 3xh2 + h3 – 12h f(x + h) – f(x) = h(3x2 + 3xh + h2 – 12) 2. Dividir por h e simplificar a razão incremental: Derivadas: definição12 3. Calcular a derivada tomando o limite: Nesse limite, x é tratado como uma constante, pois não varia quando h → 0. Vemos que o limite existe para todo x, portanto f(x) é derivável e f′(x) = 3x2 – 12. Agora, calcula-se: f(–3) = (–3)3 – 12(–3) = 9 f′(–3) = 3(–3)2 – 12 = 15 Uma equação da reta tangente em x – 3 é y – 9 = 15(x + 3). Ou seja: y = 15x + 45 + 9 y = 15x + 54 Figura 8. Gráfico de f(x) = x3 – 12x. Fonte: Rogawski (2008, p. 108). 13Derivadas: definição Exemplo 3 Prove que y = x–2 é derivável e calcule y′. O domínio de y = x–2 é {x:x ≠ 0}. Portanto, supomos que x ≠ 0. Calculamos diretamente f′(x), sem fazer a separação dos três passos do exemplo anterior: Cancelando h O limite existe para todo x ≠ 0. Portanto, y é derivável e y = –2x–3. Notação de Leibniz A notação “linha” y′ e f′(x) foi introduzida pelo matemático francês Joseph Louis La- grange (1736 – 1813). Há outra notação-padrão para a derivada, introduzida por Leibniz: Derivadas: definição14 No Exemplo 2, mostramos que a derivada de y = x–2 é y′ = –2x–3. Na notação de Leibniz, esse resultado é escrito como: Para especificar o valor da derivada num valor fixado de x, digamos, x = 4, escrevemos: A notação não deve ser entendida como quociente (dy dividido por dx), pois as expressões dy e dx são denominadas diferenciais, aqui, tratadas simplesmente como símbolos sem significado independente. Fonte: Rogawski (2008, p. 108–109). ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p. BRAGA, R. O. Cálculo I: estudo da derivada. São Leopoldo: Unisinos, 2012. 190 p. ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2008. 624 p. 15Derivadas: definição DICA DO PROFESSOR Uma das interpretações da derivada é que a derivada de uma função é a função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x no ponto y. Nesta Dica do Professor, você verá uma estimativa da distância percorrida ao longo de um intervalo de tempo por aproximação linear, aprofundando o estudo da derivada e constatando sua aplicação prática. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Calcule a derivada de f( x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto. A) y = 3x. B) y = 2x + 3. C) y = 3x + 2. D) y = x2 –1. E) y = x3 – 1. 2) Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa correta. A) f'(3) = –2. B) f'(3) = 2. C) f'(3) = –3. D) f'(3) = 4. E) f'(3) = 3. 3) Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função e assinale a alternativa correta. A) f'(2) = 4. B) f'(2) = –2. C) D) E) Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e assinale a alternativa correta. 4) A) f'(2) não existe; f'(3) = 3; f'(4) = 5. B) f'(2) = 1; f'(3) = 3; f'(4) = 1. C) f'(2) = 2; f'(3)= 3; f'(4) = 1. D) f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1. E) f'(2) = –1; f'(3) = 0; f'(4) não existe. Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir:5) A) Reta A. B) Retas B e D. C) Reta C. D) Retas A e C. E) Retas A e D. NA PRÁTICA Quando há interesse na determinação do efeito de uma variável sobre outra (por exemplo, o impacto da variação no ângulo do chute de um jogador sobre a distância do mesmo, ou, ainda, o impacto da variação do preço de um ingresso sobre a bilheteria), pode ser definida uma função f(x), em que ∆(f) = f(a) + ∆x – f(a), que descreve essa variação. Acompanhe, na prática, a aplicação das derivadas no estudo da variação do peso em altitude, com base na lei da gravitação de Newton. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Calculando derivadas pela definição de limite Neste vídeo, você assiste a uma explicação de como encontrar a derivada de uma função pela definição de limites e como representar a derivada de uma parábola, que será uma reta, no plano cartesiano. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Introdução à derivada: retas tangentes Neste vídeo, você acompanha a resolução do problema da reta tangente, partindo da representação de uma curva no plano cartesiano, da taxa de variação abordando a reta secante, da variação de y e de x, para, por fim, pelos limites, chegar à derivada. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Equação da reta tangente Neste vídeo, o professor apresenta a reta tangente e como fazer para encontrar a equação da reta tangente em um dado ponto. São abordados vários exemplos detalhados e ilustrados por meio de gráficos. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Lista de exercícios Para aprender Derivadas: definição, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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