EXPLICAÇÃO DERIVADAS

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Derivada 
 O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento. Apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.
Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre: 
 Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Dx = x1 - x0, e a variação de y é dada por Dy = f(x1) - f(x0), o que é ilustrado na figura a seguir:
Interpretação Geométrica: A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). 
Vejamos: Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é o coeficiente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. 
Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P? Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são (a + ∆x, f(a+ ∆x)). A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva.
Observação: O conceito que se conhece na geometria plana de reta tangente a uma circunferência, o qual estabelece que a reta tangente toca a circunferência em um único ponto, não pode ser estendido ao conceito de reta tangente a uma curva definida pela função y = f(x).
Observação: Uma conseqüência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável (ou diferenciável) em um ponto de seu domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico por este ponto, ou seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta comportamento pontiagudo. Estendendo este raciocínio a todos os pontos do domínio da função, notamos que o gráfico de uma função diferenciável é uma curva suave, sem nenhum pico “pontudo”. Assim, a função apresentada na da figura abaixo, por exemplo, não é diferenciável em x0, ou seja, neste ponto não existe a sua derivada, pois por (x0, f(x0) não passa uma única reta tangente.
Derivada da Função Constante
Derivada da função potência 
f(x)=x^n  ⇒  f′(x)=nx^n−1 
Para derivar qualquer função potência (funções do tipo xn; onde n representa um número inteiro), temos que “tombar o expoente para frente do x e subtrair um do expoente”. É a famosa regra do tombo. Vamos ver um exemplo?
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x^4
Então, como devemos tombar expoente (4) para frente do x e tirar um do expoente, fica assim:
f′(x)=4x^4−1= 4x^3 
Vamos fazer mais um?	
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x^20
Novamente, vamos tombar o expoente (20) para frente do x e tirar um, fica assim:
f′(x)=20x^20–1=20x^19
Entendeu como se faz? A tabela abaixo traz mais algumas derivadas:
	f(x)f(x)
	f′(x)f′(x)
	x
	1x^0=1
	X^2
	2x
	X^3
	3x2
	X^4
	4x3
	X^5
	5x4
	X^100
	100x^99
Derivada da Função Exponencial 
Para obter uma fórmula para a derivada de funções exponenciais
y = 
reescrevemos esta equação como
x = 
e diferenciamos implicitamente usando   para obter
que podemos reescrever usando y =   como
Assim, mostrando que se   for uma função diferenciável, então sua derivada em relação a x é
No caso especial onde b = e temos  e = 1n, assim      torna-se
Além disso, se u for uma função diferenciável de x, então tem-se a partir de      e       que
OBSERVAÇÃO.É importante distinguir entre diferenciar (expoente variável e base constante) e  (base variável e expoente constante).
Exemplo	
Os cálculos a seguir usam esses conceitos: 
                
Derivada do produto de uma constante por uma função:
A derivada de uma constate vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Para entendermos melhor, vamos ver alguns exemplos.
Exemplos: 
1) Derivada da função f(x) = 4x7 
Sendo assim, temos: f’(x) = 4.7x6 que resulta em: 28x6 
2) Derivada da função f(x) = 
Temos então: f’(x) = .x5 que resulta em: -4x5 
Derivada da soma de uma função
A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Seja f(x) = f1(x) + f2(x) +...+fn(x) uma função soma. 
Então: f’(x) = f1’(x) + f2’(x) +...+ fn’(x)
Exemplos: 
1) Seja f(x) = 3x5 + 8x – 3. Determine a derivada da função f(x).
Ou seja, a derivada da função f(x) será a derivada de cada um desses termos independentes, é como se cada termo fosse uma função. Temos:
Sendo assim, f’(x) = 15x4 + 8
OBS.: Isso porquê o x elevado a 0 resulta em 1 que multiplicado por 8, continua sendo 8 e a derivada de uma constante é zero.
2) Seja g(x) = 5x7 + 3x4 – 2x – 1. Calcule 
Temos então: = 35x6 + 12x3 – 2
Ainda podemos achar a função de x atribuída a algum valor qualquer.
Exemplo: Derivada da função anterior para x = 0.
Teremos: g’(x) = 35.(0)6 + 12.(0)3 – 2, resultando g’(0) = -2.
Derivada Trigonométricas das funções seno e cosseno:
São derivadas muito importantes, porquê são funções constantes na Engenharia, Biologia e Economia, dentre outros. Isso se deve por causa de diversos fenômenos periódicos como: marés, ritmo cardíaco, campo eletromagnético e também o tempo. Sendo diversas funções periódicas determinadas através do seno e do cosseno.
Derivada da Função Seno:
Proposição: 
Se y = sen x, então y’ = cos x.
Derivada da Função Cosseno:
Proposição:
Se y = cos x, então y’ = - sen x.
Derivada do produto de uma função
Sejam u e v funções e f uma função definida por f(x) = u(x) . v(x), temos uma função produto. Então:
f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
Conclui-se que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Ou seja, a derivada da função produto não é o produto das duas funções.
Exemplos:
1) X².cos(x)
Seguindo a regra, temos: f’(x) = (x²)’ . cos(x) + x² . cos(x)’ resultando em f’(x) = 2x.cos(x) – x².sen(x) 
2) Seja f(x) = (2x³ + 3) . (x5 + 2x). Determine f’(x):
Utilizando a regra de derivada do produto, temos: f’(x) = (2x³ + 3)’ . (x5 + 2x) + (2x³ + 3) . (x5 + 2x)’
f’(x) = 6x² . (x5 + 2x) + (2x³ + 3) . (5x4 + 2) * Aplica-se a distributiva.
f’(x) = 6x7 + 12x³ + 10x7 + 4x³ + 15x4 + 6
f’(x) = 16x7 + 15x4 + 16x³ + 6
Derivada do quociente de uma função
Assim como na derivada do produto, a derivada da função quociente não é o quociente de duas ou mais funções.
Seja f(x) = onde v(x) ≠ 0 uma função quociente, dizemos que:
f’(x) = 
Exemplo:
Seja f(x) = . Determine f’(x):
Utilizando a regra de derivada do quociente, temos: f’(x) = 
*Aplica-se a distributiva: 
f’(x) = 
f’(x) = 
Derivada da função Composta (Regra da cadeia)
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de x, então y é uma função diferenciável de x e:
Também pode ser dada como: f(g(x)). 
É um tipo de derivada que requer mais cuidado.
Exemplo simples:
1) Dada a função: y = (3x + 2)³
Utilizando a regra da cadeia nós iremos chamar 3x + 2 de u, sendo assim essa função se transforma em: y = u³. 
Assim, será a derivada de y = u³ porquê é a derivada de y em relação a u. E que resulta em: 3u²
Depois, que é a derivada de u = 3x + 2, ou seja a derivada de u em relação a x. Que resulta em 3.
Então o que queremos é: fazer as duas derivadas para encontrar a derivada de y em relação a x.
 resultando em: 3u² . 3 
 => 
Exemplo 2: 
Se y = sen u e u é uma função diferenciável de x, então y’ = cos u.u’
Seja y = sen(3x³), determine y’. 
Observação: Neste caso u = 3x³
Resolução: 
y’ = cos u . u’, onde a derivada de u é u’ = 9x² e assim temos:
y’ = cos(3x³).9x²
Observação: Por tanto, como u era uma função diferenciável de x, nós calculamos asua derivada e multiplicamos no final.
Exemplo 3: 
Se y = cos u e u é uma função diferenciável de x, então y’ = -sen u.u’
Seja y = cos(4x³), determine y’. 
Resolução:
y’ = -sen u . u’, onde a derivada de u é u’=12x² e assim temos:
y’ = -sen(4x³).12x³ 
Exemplo 4:
Dada a função y = (3x² - 5x + 2)6. Calcule :
Nós iremos derivar a parte de fora vezes a derivada da parte de dentro.
6(3x² - 5x + 2)5 . (6x -5)
 = (36x – 30) . (3x² - 5x +2)5