Ebook_Matemática Financeira_SER e FAEL (Versão Digital)

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Elídio Luiz Martinelli;
Paulo Vitoriano Dantas Pereira.
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
M385m Martinelli, Elídio Luiz.
Matemática financeira / Elídio Luiz Marttinelli, Paulo Vitoriano 
Dantas Pereira. – 2. ed. – Curitiba: Fael, 2018. 
98 p.: il.
ISBN 978-85-5337-012-2
1. Matemática financeira I. Pereira, Paulo Vitoriano Dantas II. 
Título .
CDD 650.01513
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e Organização Osnir José Jugler
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Shutterstock.com/Horoscope
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Apresentação
Desde muito pequenas as crianças têm contato com dinheiro e 
para elas seu significado é o facilitador na obtenção de bens.
São poucas as pessoas que compreendem os cálculos de um 
financiamento ou fazem uma comparação entre o preço à vista e o 
total a prazo, na hora de adquirir um bem. Há falta de planejamento 
para a aposentadoria, e não é apenas no Brasil que isso acontece.
Esse cenário poderia mudar se o estudo da matemática finan-
ceira estivesse mais presente na vida das pessoas. Desde muito cedo as 
escolas deveriam trabalhar esses conteúdos, como forma de preparar 
seus alunos para a vida. 
Na elaboração deste livro, procurou-se abordar o estudo da 
matemática financeira focado, não somente, em cálculos matemáticos, 
mas também em situações do cotidiano, para que o leitor possa refletir 
sobre a melhor decisão a ser tomada diante de cada caso.
– 4 –
Matemática Financeira
Todas as movimentações financeiras são baseadas no cálculo de juros. 
Em um empréstimo, por exemplo, o pagamento é feito por intermédio de 
prestações mensais nas quais os juros estão embutidos. O valor final, do 
financiamento, é superior ao valor inicial do empréstimo, essa diferença é 
chamada de juros.
No primeiro capítulo, serão estudados os juros simples e compostos. É 
recomendado ao aluno relembrar alguns conteúdos de Matemática básica, 
necessários ao estudo deste tema, assim como, a utilização de uma calcula-
dora. Serão trabalhados, também, os conceitos, as características, as seme-
lhanças, as diferenças, os aspectos gráficos e financeiros de cada regime. 
O capítulo 2 tratará do desconto simples e composto, que é uma redu-
ção no valor nominal de uma aplicação, quando ela é quitada antes do ven-
cimento predeterminado. No Brasil, o desconto composto mais utilizado, no 
comércio em geral, é o desconto racional composto.
Quando pagamos algo em prestações, amortizamos o capital devido, o 
que exige um cálculo diferente da simples aplicação da taxa de juros. Para tanto, 
serão apresentados os conceitos de séries de pagamentos e seus diferentes tipos, 
muito utilizados nas situações de investimentos e de financiamentos.
Algumas séries envolvem o cálculo de progressões aritméticas. Nessas 
séries, as prestações crescem ou decrescem segundo uma progressão aritmética, 
com uma determinada razão. 
Serão estudados dois sistemas de amortização: o sistema de amortização 
constante, o SAC, e o sistema de amortização francês, o Price. A amortização 
está relacionada à financiamentos a longo prazo, como o da casa própria ou 
de veículos.
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema 
econômico, algumas delas, presentes no cotidiano das pessoas, como por 
exemplo, o financiamento da casa própria ou do automóvel, compras a crédito 
ou com cartão de crédito, empréstimos bancários, aplicações na poupança ou 
aplicações financeiras em geral.
Este livro pretende fazer uma introdução aos conceitos da Matemática 
Financeira, contribuindo para a formação do leitor, para que ele possa tomar 
decisões conscientes ao gerir sua vida financeira. 
Sumário
1 Juros Simples e Compostos | 7
2 Desconto Simples e Composto | 13
3 Equivalência de capitais | 21
4 Séries de pagamentos I | 31
5 Séries de pagamentos II | 49
6 Sistemas de amortização | 59
7 Correção monetária e inflação | 69
8 Análise de investimentos | 81
9 Depreciação | 93
 Referências | 97
2ª Edição
Curitiba
2018
Matemática 
Financeira
Elídio Luiz Martinelli
Paulo Vitoriano Dantas Pereira
UNIDADE 1
1
Juros Simples e 
Juros Compostos 
Existe uma grande diferença entre juros simples e compos-
tos, principalmente se analisarmos como se comporta o crescimento 
do dinheiro ao longo de um determinado período de tempo.
– 8 –
Matemática Financeira
1.1 Conceitos
 2 Juros (j) – É bastante amplo o conceito de juros, contudo no caso de nosso 
estudo, juro representa a remuneração do Capital ou Principal (P), apli-
cado ou emprestado por determinado período de tempo. Porém, os juros 
podem ter denominação um pouco diferente quando aplicado no mer-
cado financeiro, ou seja, a taxa de juros pode ser: Nominal, Efetiva e Real
a) Taxa Nominal: Serve para definir o valor anual da taxa, porém os 
períodos de capitalização podem ser diários, mensais, bimestrais 
ou semestrais.
b) Taxa Efetiva: É a taxa em que os períodos de capitalização coinci-
dem com a unidade de tempo: 3% ao mês, capitalizados mensal-
mente ou 0,1% ao dia, capitalizados diariamente.
c) Taxa Real: São diretamente relacionadas aos fenômenos da inflação, 
bem como, algum outro tipo de taxa ou outros valores que sejam 
incorporados à taxa efetiva, no momento de um financiamento. 
Nesse caso, o valor da taxa efetiva será adicionado da inflação e de 
outras taxas. 
 2 Montante (S) – Representa o valor acumulado em determinado inter-
valo de tempo, resultado do Capital aplicado (P) + Juros (j) provenientes 
desta aplicação. S = P + j
 2 Período de Capitalização – Representa o intervalo de tempo em que irá 
incidir a taxa de juros. Exemplos: 
 2 0,05% ao dia- Capitalização Diária
 2 2 % ao mês – Capitalização Mensal
 2 5% ao bimestre – Capitalização Bimestral
 2 15% ao ano – Capitalização Anual
1.2 Juros Simples
Os juros (j) são ditos simples quando a taxa de juros incide diretamente 
sobre o Capital Inicial ou Principal (P) aplicado, independente do período 
de capitalização. Nesse caso os juros não são capitalizados.
– 9 –
Juros Simples e Juros Compostos 
Fórmula: J = P . i . n e S = J + P ou S = P . ( 1 + i.n) 
Onde: 
J = juros
P = Capital inicial ou Principal
S = Montante
i = Taxa de juros
n = Intervalo de tempo
1.3 Juros Compostos
Os juros são ditos compostos quando a taxa de juros incide sobre o Capi-
tal Inicial ou Principal (P) aplicado ou investido, somente no primeiro período 
de capitalização. Posteriormente a taxa de juros incidirá sempre sobre o Mon-
tante (S). Nesse caso os juros são capitalizados.
Fórmulas: S = P ( 1 + i )n e J = S – P 
Onde:
S = Montante
P = Capital inicial ou Principal
J = Juros
i = Taxa de juros
n = Intervalo de tempo
A grande diferença entre Juros Simples e Juros Compostos é percebida 
principalmente, quando um determinado Capital é aplicado a uma mesma 
taxa de juros, envolvendo diversos períodos de capitalização. Nesse caso, 
quanto maior o período de capitalização, maior será o Montante acumulado 
através de Juros Compostos.
TIPO DE 
JURO
CAPITAL 
APLICADO (P)
TAXA DE 
JUROS (i)
MONTANTE (S)
1º MÊS 2º MÊS 3º MÊS 4º MÊS
JUROS 
SIMPLES
10.000,00 5% AO MÊS 10.500,00 11.000,00 11.500,00 12.000,00
– 10 –
Matemática Financeira
TIPO DE 
JURO
CAPITAL 
APLICADO (P)
TAXA DE 
JUROS (i)
MONTANTE (S)
1º MÊS 2º MÊS 3º MÊS 4º MÊS
JUROS 
COMPOSTOS
10.000,00 5% AO MÊS 10.500,00 11.025,00 11.576,25 12.155,06
Observe que o Montante acumulado através de Juros Compostos foi 
superior ao acumulado pelos Juros Simples. Isso ocorreu em razão da taxa 
dos Juros Compostos, com exceção ao primeiro mês, incidir sempre sobre 
o Montante do mês anterior, enquanto que nos juros simples a taxa incide 
sempre sobre o valor do Capital Aplicado.
NosJuros simples o crescimento do capital é linear: 500 + 500 + 500 + 
500 = R$ 2000,00
Nos Juros compostos o crescimento é exponencial : 500 + 525 + 551,25 
+ 578,81 = R$ 2155,06
1.4 Uso de fórmulas
Exemplo 1:
Vamos tomar por base o demonstrativo da planilha anterior. Temos um 
Capital (P) no valor de R$ 10.000,00 aplicado à uma taxa de juros ( i ) de 5% 
ao mês, num intervalo de tempo (n) de 4 meses. Como encontrar o valor dos 
Juros e do Montante aplicando as fórmulas de Juros Simples e Compostos, 
respectivamente?
(I) Aplicação da fórmula através de Juros Simples
J = P . i . n => Logo: J = 10000 . 0,05 . 4 => Assim temos Juros Simples= 
 R$ 2000,00
S = P + J => Logo: S = 10000 + 2000 => Assim temos Montante de Juros 
Simples = R$ 12000,00
Obs.: Sempre que usar uma taxa (percentual %) de juros em qualquer 
fórmula, a mesma deverá ser divida por 100 – Assim temos: 5% = 0,05 ou 
10% = 0,10.
– 11 –
Juros Simples e Juros Compostos 
(II) Aplicação da fórmula através Juros Compostos
S = P . ( 1 + i )n => Logo S = 10000 (1 + 0,05)4 => S = 10000 . 1,215506 
 => Assim temos Montante de Juros Compostos = R$ 12155,06
J = S – P => Logo J = 12155,06 – 10000,00 => Assim temos Juros Compostos 
= R$ 2.155,06
Exemplo 2:
Um determinado aplicador deposita um Capital (P) de R$ 50.000,00 
em um Banco que paga juros de 1,5% ao mês, durante 2 anos. Qual será o 
valor dos Juros (J) acumulados e do Montante (S), através de Juros Simples e 
Compostos, ao final desse período?
Dados:
P = R$ 50.000,00
i = 1,5% ao mês
n = 2 anos = 24 meses (obs.: sempre deveremos aplicar taxa e tempo 
proporcionais, ou seja, taxa e tempo anual, ou, taxa e tempo mensal, ou 
taxa e tempo dia e assim sucessivamente ).
S = ?
J = ?
(I) Através de Juros Simples
J = P . i . n => Logo: J = 50000 . 0,015 . 24 => Assim temos Juros Simples 
 J = R$ 18.000,00 e
S = P + J => Logo: S = 50000 + 18000 => Assim temos Montante de Juros 
Simples S = R$ 68000,00
(I) Através Juros Compostos
S = P . ( 1 + i )n => Logo S = 50000 (1 + 0,015)24 => S = 50000 . 1,429503 
=> Assim temos Montante de Juros Compostos 
S = R$ 71.475,14 e
J = S – P => Logo J = 71.475,14 – 50000,00 => Assim temos Juros Compostos 
 J = R$ 21.475,14
– 12 –
Matemática Financeira
Conclusão
Notadamente, os juros compostos representam uma remuneração maior 
sobre o capital aplicado, principalmente se o intervalo de tempo da aplicação 
for maior que 1. Os exemplos acima foram capazes de demonstrar a dife-
rença existente entre as duas aplicações. Um exemplo clássico e conhecido 
por todos, onde se utiliza Juros Compostos, é o das cadernetas de poupança 
no Brasil. 
2ª Edição
Curitiba
2018
Matemática 
Financeira
Elídio Luiz Martinelli
Paulo Vitoriano Dantas Pereira
UNIDADE 2
2
 Desconto Simples e 
Desconto Composto
Muitas vezes, portadores de títulos de crédito, tais como 
duplicatas e notas promissórias com vencimentos futuros, necessi-
tam gerar caixa objetivando saldar seus compromissos financeiros, 
ou seja, possuem títulos (ativos) com direito de recebimento futuro, 
porém, não possuem dinheiro no momento atual. Nesse momento, 
os portadores desses títulos procuram as instituições financeiras, 
visando transformar esses papéis em dinheiro. Buscando atender as 
necessidades dos clientes, o Banco irá propor a cobrança de uma 
determinada taxa de juros (Desconto) e consequentemente a libera-
ção de uma quantia inferior (Valor Líquido) ao valor de face (Valor 
Nominal) do referido título. Resumindo, a diferença entre o valor 
de face do título/valor nominal (N) e o valor recebido pelo portador 
do título/valor líquido (V) é o que se denomina Desconto (D).
– 14 –
Matemática Financeira
Assim temos => D = N – V
Onde:
D = Desconto
N = Valor Nominal/ Valor de face do Título
V = Valor Atual/ Valor líquido recebido pelo portador do título.
Da mesma maneira como ocorre com os juros simples e compostos, o 
Desconto também pode ser simples e composto.
2.1 Desconto Simples 
Pode ser classificado de duas maneiras:
a) Desconto Racional Simples, também conhecido por Desconto por 
Dentro e,
b) Desconto Comercial ou Bancário, também conhecido por Desconto 
por Fora.
Fórmulas:
 2 Desconto Racional Simples ou Por Dentro
a) Cálculo do Desconto Racional Simples: N i nDr=
(1+i n)
⋅ ⋅
⋅ 
b) Cálculo do Valor Atual: NAr=
(1+i n)⋅
Onde:
Dr = Desconto Racional Simples
N = Valor Nominal/ Valor de face de um título
Ar = Valor Atual do Desconto Racional / Valor líquido recebido 
i= Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
– 15 –
 Desconto Simples e Desconto Composto
 2 Desconto Comercial Simples, Bancário ou Por Fora
a) Cálculo do Desconto Comercial: Dc = N . i . n
b) Cálculo do Valor Atual: Ac = N (1 – i . n)
Onde:
Dc = Desconto Comercial Simples
N = Valor Nominal/ Valor de face de um título
Ac = Valor Atual do Desconto Comercial / Valor líquido recebido 
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
Exemplo:
Calcular o Valor Atual (A) e o Valor do Desconto (D) de um título 
de R$ 10.000,00, resgatado 03 meses antes do seu vencimento, a 
razão de uma taxa de desconto (i) de 6% ao mês, através do Desconto 
Racional Simples (Dr) e Desconto Comercial Simples (Dc).
Dados:
N = R$ 10.000,00
n = 3 meses
i = 6% ao mês
Ar = ?
Dr = ?
Ac = ?
Dc = ?
Solução:
(I) Através do Desconto Racional Simples (Dr)
N 10.000 10.000Ar= Ar= Ar= Logo: Ar= R$8.474,58
(1+i n) (1+0,06 3) 1
 
,18
 ⇒ ⇒
⋅ ⋅
– 16 –
Matemática Financeira
N i n 10.000 0,06 3 1800Dr= Dr= Dr= Logo: Dr= R$1.525,42
(1+i n) (1+0,06 3) 1,18
Dr= N - A
 
 Dr= 10.000-8.474,58 Dr= R$1.525,42r
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⇒
⋅ ⋅
(II) Através do Desconto Comercial Simples (Dc)
Ac = N ( 1 – i.n) => Ac = 10000 ( 1 – 0,06 . 3) => Ac = 10000 . 0,82 
Logo: Ac = R$ 8.200,00
Dc = N . i . n => Dc = 10000 . 0,06 . 3 Logo: Dc = R$ 1.800,00 ou
Dc = N – Ac Dc = 10000 – 8.200 Dc = R$ 1.800,00
Observação: Através do exemplo anterior foi possível constatar que o 
Desconto Racional Simples é mais interessante para o portador do título, 
enquanto o Desconto Comercial Simples é mais vantajoso para o Banco.
2.2 Desconto Composto
O cálculo do desconto simples (linear) não contempla o real 
comportamento exponencial dos juros. Geralmente os descontos simples, 
racional ou comercial são aplicados principalmente nos títulos de curto 
prazo, ou seja, aqueles com período inferior a um ano. Nesse sentido, nossa 
abordagem a partir deste momento estará direcionada para o cálculo do 
Desconto Composto.
O regime de desconto composto (exponencial) pode ser classificado, tal 
como o desconto simples, de duas maneiras:
a) Desconto Racional Composto ou Por Dentro (Financeiro) e
b) Desconto Composto Comercial ou Por Fora
O Desconto Financeiro é aquele em que o valor do desconto é calculado 
usando-se uma taxa de juros composta antecipada e o Desconto Composto 
Comercial é quando o cálculo é realizado usando-se uma taxa de juros com-
postos postecipada.
– 17 –
 Desconto Simples e Desconto Composto
Fórmulas:
 2 Desconto Racional Composto ou Por Dentro
a) Cálculo do Desconto Racional Composto:
n
n
(1+i) -1 N
(
D =
1+i)
r
 
b) Cálculo do Valor Atual: 
 
n
N 
(
A =
1+i)
r
Onde:
Dr = Desconto Racional Composto
N = Valor Nominal/ Valor de face de um título
Ar = Valor Atual do Desconto Racional / Valor líquido recebido 
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
 2 Desconto Comercial Composto ou Por Fora
a) Cálculo do Desconto Comercial: Dc = N [1- (1 - i)n]
b) Cálculo do Valor Atual: Ac = N (1 – i)n
Onde:
Dc = Desconto Comercial Composto
N = Valor Nominal/ Valor de face de um título
Ac = Valor Atual do Desconto Comercial / Valor líquido recebido 
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
Observação: É importante destacar que muitas das fórmulas 
utilizadas no cálculo do desconto composto se assemelhamas 
do cálculo do desconto simples. A principal diferença está no 
fato de que o intervalo de tempo no desconto composto ocorre 
de maneira exponencial. Muitos autores costumam utilizar 
– 18 –
Matemática Financeira
siglas diferentes visando diferenciar os dois tipos de desconto. 
Porém, para efeitos didáticos optamos em manter as mesmas 
siglas objetivando facilitar o entendimento do aluno. Até mesmo 
os exemplos a seguir foram feitos com o mesmo enunciado do 
desconto simples, para facilitar a comparação do cálculo das 
diferentes modalidades de Desconto.
Exemplo:
Calcular o Valor Atual (A) e o Valor do Desconto Composto (D) 
de um título de R$ 10.000,00, resgatado 03 meses antes do seu 
vencimento, a razão de uma taxa de desconto (i) de 6% ao mês, 
através do Desconto Racional Composto (Dr) e Desconto Com-
posto Comercial (Dc).
Dados:
N = R$ 10.000,00
n = 3 meses
i = 6% ao mês
Ar = ?
Dr = ?
Ac = ?
Dc = ?
Solução:
(I) Através do Desconto Racional Composto (Dr) 
n 3
n
n 3
3
 
N(1+i) -1 (1+0,06) -1 Dr=10.000 Dr=10.000 0,160381 
(1+i) (1+0,
N 10.000 10.000Ar= Ar= Ar= Logo: Ar= R$8.393,19
1,191016(1 + i) (1+0,06)
Dr=
Logo: Dr= R$1.603,81
Ou Dr
06)
 
 =N-Ar Dr=10.00
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⋅
 0 - 8.393,19 Dr=1.603,81
– 19 –
 Desconto Simples e Desconto Composto
(II) Através do Desconto Comercial Composto (Dc)
Ac = N (1 – i)n => Ac = 10000 (1 – 0,06)3 => Ac = 10000 . 0,830584 
Logo Ac = R$ 8.305,84
Dc = N [1- (1 - i)n] => Dc = 10000 [1 – (1 – 0,06)3] => Dc = 10000 . 0169416 
Logo Dc = R$ 1.694,16 
Ou Dc = N – Ac c = 10000 – 8.305,84 Dc = R$ 1.694,16
Observação: Da mesma forma que ocorreu no cálculo do Desconto 
Simples no exemplo anterior foi possível constatar que o Desconto 
Racional Composto é mais interessante para o portador do título, enquanto 
o Desconto Comercial Composto é mais vantajoso para o Banco.
3
 Equivalência 
de capitais
A importância da determinação da equivalência de capitais 
revela‑se similarmente às possibilidades e às necessidades de anteci‑
par ou prorrogar títulos nas operações financeiras. Outra possibili‑
dade corrente se fundamenta na substituição de um título por outro 
ou por vários.
Tais situações dizem respeito, de modo geral, à equivalência 
de valores referentes a datas diferentes. Para a resolução dessas ques‑
tões é que usamos a equivalência de capitais.
Para nos auxiliar nesse processo de aprendizagem, necessita‑
mos de algumas definições importantes e assim daremos início ao 
nosso estudo.
– 22 –
Matemática Financeira
3.1 Data focal
É a data de referência para comparação dos valores referidos com datas 
diferentes.
Exemplo
Uma pessoa tem um título a receber, cujo valor nominal é de R$ 
15.000,00, a vencer em 2 anos. Esse cidadão possui hoje R$ 20.000,00, 
que vai aplicar à taxa de 2% a.m. Quanto essa pessoa tem hoje, daqui a 
um ano e também daqui a dois anos?
Hoje
20.000,00
x
y
z
meses
24120
15.000,00
24
15.000
x 20.000 R$ 29.325,82
(1,02)
= + =
1 ano
12
12
15.000
y 20.000 (1,02) R$ 37.192,24
(1,02)
= ⋅ + =
2 anos
24z 20.000 (1,02) 15.000= ⋅ +
z = R$ 47.168,74
– 23 –
 Equivalência de capitais
3.2 Equação de valor
A equação de valor possibilita que capitais distintos sejam igualados, em 
datas distintas, para uma única data, com a fixação de uma taxa de juros. 
Exemplo anterior
O valor para um ano: y = R$ 37.192,24 é composto por R$ 25.364,84 
oriundo do capital inicial de R$ 20.000,00 mais juros de 2% a.m. e 
R$ 11.827,40, que é o valor presente dos R$ 15.000,00 à taxa de juros de 2% 
a.m. O valor para dois anos: z = R$ 47.168,74 passa direto do perío do 0 para 
o período de 24 meses.
A equação de valor corresponde a:
12z ' 37.192,24 (1,02)= ⋅
z’ = R$ 47.168,74
Concluímos que as duas equações, z (exemplo anterior) e z’, resultam no 
mesmo valor. Isso significa que a comparação de capitais com juros compos‑
tos não depende da data focal.
3.3 Capitais equivalentes
Dois ou mais capitais são equivalentes quando, em datas de vencimentos 
determinadas, submetidos a uma mesma data focal e a uma mesma taxa de 
juros, produzirem valores semelhantes. Veja a seguir. 
Capital Data De Vencimento
C
1
1
C
2
2
C
3
3
C
4
4
... ...
C
n
n
– 24 –
Matemática Financeira
Representação no diagrama de fluxo:
n20 1 3 4
C1
C2
C3
C4
Cn
Então, em uma data, a uma taxa de juros, esses capitais serão equivalentes se:
31 2 n
1 2 3 n
CC C C
V ........
(1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
= = = = =
+ + + +
V = valores atuais
Exemplo
Dado os valores nominais da tabela a seguir, considerando uma taxa de 
juros de 10% a.m., verificar se os capitais são equivalentes.
Capital ( R$ ) Datas de vencimento (Anos)
1.100,00 1
1.210,00 2
1.331,00 3
1.464,10 4
1.610,51 5
1
1 1
C 1.100
V R$ 1.000,00
(1 i) 1,10
= = =
+
2
2 2
C 1.210
V R$ 1.000,00
(1 i) 1,21
= = =
+
3
3 3
C 1.331
V R$ 1.000,00
(1 i) 1,331
= = =
+
– 25 –
 Equivalência de capitais
4
4 4
C 1.464,10
V R$ 1.000,00
(1 i) 1,4641
= = =
+
5
5 5
C 1.610,51
V R$ 1.000,00
(1 i) 1,61051
= = =
+
Logo, todos os capitais são equivalentes. Isso significa que o possuidor 
desses valores ficará indiferente ao período de tempo. 
Vamos pensar, agora, o mesmo exemplo, considerando a data 2.
No diagrama de fluxo:
520 1 3 4
C1
C2
C3
C4
C5
1
1 1
C
V 1.100 1,10 R$ 1.210,00
(1 i)−
= = ⋅ =
+
2
2 0
C 1.210
V R$ 1.210,00
(1 i) 1
= = =
+
3
3 1
C 1.331
V R$ 1.210,00
(1 i) 1,10
= = =
+
4
4 2
C 1.464,10
V R$ 1.210,00
(1 i) 1,21
= = =
+
5
5 3
C 1.610,51
V R$ 1.210,00
(1 i) 1,331
= = =
+
Conclusão: na data 2, todos os capitais são equivalentes.
– 26 –
Matemática Financeira
3.4 Valor atual de um conjunto de capitais
Uma carteira de aplicações com títulos de renda fixa com diferentes ven‑
cimentos constitui um conjunto de capitais caracterizado pelo valor nominal 
de cada título.
Capital Data do vencimento
C
1
1
C
2
2
C
3
3
... ...
C
n
n
O problema consiste em determinar o valor da carteira, ou seja, o valor atual. 
31 2 n
1 2 3 n
CC C C
V ........
(1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
= + + + +
+ + + +
Exemplo
Seja o conjunto de capitais da tabela a seguir.
Capital(R$) Data de vencimento (Mês)
10.000,00 6
20.000,00 12
50.000,00 15
A taxa de juros é de 3% a.m. Determinar o valor atual desse conjunto na 
data zero ou inicial.
15 (meses)60 12
10.000
V 20.000
50.000
– 27 –
 Equivalência de capitais
Temos, então:
31 2 n
1 2 3 n
CC C C
V ........
(1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
= + + + +
+ + + +
6 12 15
10.000 20.000 50.000
V
(1 0,03) (1 0,03) (1 0,03)
= + +
+ + +
V = 8.374,84 + 14.027,59 + 32.093,09 
V = 54.495,52
Conclusão: o valor da carteira de investimentos na data zero é de 
R$ 54.495,52 a taxa de 3% a.m.
3.5 Conjuntos equivalentes de capitais
Sejam dois conjuntos de valores nominais, a uma taxa de juros i com os 
seus prazos, com origem em uma mesma data.
1º Grupo 2º Grupo
Capital Data de vencimento Capital Data de vencimento
C
1
m
1
C’
1
m’
1
C
2
m
1
C’
2
m’
2
... ... ... ...
C
n
m
1
C’
n
m’
n
Com a fixação de uma data e uma taxa de juros, os conjuntos são equiva‑
lentes se os valores atuais dos conjuntos forem semelhantes. Isto é:
31 2
31 2 n
mm m n
CC C C
........
(1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
+ + + +
+ + + +
Exemplo 1
Verificar se os grupos de valores nominais, na data zero, são equivalentes, 
a uma taxa de juros de 10% a.a.
– 28 –
Matemática Financeira
1º Grupo 2º Grupo
Capital (R$) Vencimento (ano) Capital (R$) Vencimento (ano)
1.100,00 1 2.200,00 1
2.420,00 2 1.210,00 2
1.996,50 3 665,50 3
732,05 4 2.196,15 4
Para o 1º grupo na data zero:
1 1 2 3 4
1.100 2.420 1.996,50 732,05
V
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
= + + +
V1= R$ 5.000,00
Para o 2º grupo na data zero:
2 1 2 3 4
2.200 1.210 665,50 2.196,15
V
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
= + + +
V2 = R$ 5.000,00
Como os V1 = V2, os grupos são equivalentes.
Exemplo 2
O preço de venda de um terreno à vista é de R$ 100.000,00, ou por R$ 
50.000,00 no ato, mais duas parcelas semestrais: a primeira deR$ 34.000,00, 
a segunda R$ 35.000,00, considerando uma taxa de juros corrente de 50% a.a. 
Qual a melhor opção de compra? 
10 2
50.000
100.000
34.000 35.000
– 29 –
 Equivalência de capitais
Na data zero:
v 1 21 1
2 2
34.000 35.000
S 50.000
(1,50) (1,50)
= + +
   
   
   
Sv = R$ 101.094,21
A melhor possibilidade é de compra à vista.
Suponha que o cliente resolva dar de entrada R$ 50.000,00 à vista e o 
restante, R$ 34.000,00, em 6 meses, e R$ 35.000,00 em 12 meses. O cliente 
pagará 50% à vista e financiará os outros 50%. 
10 2
50.000
34.000 35.000
1v 1 21 1
2 2
34.000 35.000
S
(1,50) (1,50)
= +
   
   
    
SV1 = R$ 51.094,21
Logo a análise é a mesma, isto é, a compra à vista é a melhor.
Os exemplos que vimos ao longo deste capítulo nos ajudaram na com‑
preensão da teoria.
Conclusão
Neste capítulo, foram abordados conceitos relevantes como, por exem‑
plo, taxas de juros, períodos de tempos, valor atual, valor nominal, conceitos 
da área de Matemática Aplicada. 
– 30 –
Matemática Financeira
Você observou a importância de se conhecer os termos utilizados em 
Matemática Financeira e como eles estão associados ao desenvolvimento 
desta temática. A observação mais importante feita neste capítulo foi 
com relação à resolução dos exemplos que nos esclareceu dúvidas sobre 
a utilização de algumas equações e também a comparação de capitais em 
diferentes situações.
2ª Edição
Curitiba
2018
Matemática 
Financeira
Elídio Luiz Martinelli
Paulo Vitoriano Dantas Pereira
UNIDADE 3
4
Séries de pagamentos I
Como vimos anteriormente, a Matemática Financeira está 
presente em nosso cotidiano. Por isso devemos perceber o quanto 
é importante termos o conhecimento e o domínio das ferramentas 
apresentadas até aqui.
Vamos destacar, neste capítulo, o desenvolvimento das séries 
de pagamentos iguais, com termos vencidos e antecipados. Para o 
bom entendimento desta etapa do nosso estudo, iremos aproveitar 
boa parte dos conceitos vistos por você sobre fluxo de caixa.
– 32 –
Matemática Financeira
Iremos trabalhar este capítulo com base no conceito de capitalização 
composta. Depois de termos feito essas considerações iniciais, já poderemos 
conhecer melhor as séries de pagamentos e, talvez, um bom começo seja a 
definição de alguns termos.
As séries de pagamentos podem ser definidas como um conjunto de 
pagamentos ou recebimento (V1, V2, V3, . . . Vn) de valores sucessivos com 
seus respectivos vencimentos ao longo do tempo, podendo ser esses pagamen‑
tos de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamen‑
tos e/ou recebimentos, ao longo dos períodos, constitui um fluxo de caixa. 
Vamos resolver, a seguir, os problemas nos quais V1 = V2 = V3 = ... Vn = V, ou 
seja: pagamentos (ou recebimentos) iguais.
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia em um 
perío do após a data zero, o fluxo recebe o nome de postecipado. Quando o 
início dos pagamentos ou recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o 
nome de antecipado. 
Pagamentos no final dos períodos: fluxo postecipado.
0 1 2 3 ...
Pagamentos no início dos períodos: fluxo antecipado.
0 1 2 3 ...4
Vamos estudar, agora, séries de pagamentos iguais com termos vencidos 
(postecipados e antecipados), que dividiremos em partes.
– 33 –
Séries de pagamentos I
4.1 Fator de acumulação de capital (FAC)
O fator de acumulação de capital representa o montante proveniente da 
aplicação de n parcelas de uma unidade de capital, em determinado intervalo 
de tempo e uma determinada taxa de juros. Utilizaremos a equação a seguir 
para o cálculo do (FAC): Fluxo Postecipado.
n(1 i) 1
N V
i
+ −
= ⋅
Onde:
N = Valor Futuro/ Montante
V = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos
n = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
i = Taxa de juros
Exemplos
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 200,00 por mês, 
durante esses quatro anos, em um Fundo de Renda Fixa, à taxa de 3 % ao mês?
0 1 2 3
...
4
200 200 200 200 200
N
48 ..
Temos:
V = 200,00
n = 48 meses
i = 3 % = 0,03 a.m.
N = ? 
– 34 –
Matemática Financeira
n(1 i) 1
N V
i
+ −
= ⋅ ⇔ 
48(1 0,03) 1
N 200
0,03
+ −
= ⋅
3,132251
N 200
0,03
= ⋅ ⇔ N 200 104,4083= ⋅
N = 20.881,67
Portanto essa pessoa terá, ao final da aplicação, um montante de 
R$ 20.881,67.
Quanto terei no final de 24 meses, depositando mensalmente, em um 
Fundo de Renda Fixa, uma quantia de R$ 280,00, à uma taxa mensal de 1,8 %? 
0 1 2 3
...
4
280 280 280 280 280
N
24 ..
Temos:
V = 280,00 n = 24 meses
i = 0,018 a.m. N = ?
n 24(1 i) 1 (1 0,018) 1
N V N 280
i 0,018
+ − + −
= ⋅ ⇔ = ⋅
0,534428
N 280 N 280 29,6904
0,018
= ⋅ ⇔ = ⋅
N = 8.313,33
Logo, ao final de 2 anos, terei com essa aplicação um montante de 
R$ 8.313,33.
– 35 –
Séries de pagamentos I
4.2 Fator de Formação de Capital (FFC)
O fator de formação de capital (FFC) é obtido quando são conhecidos 
o valor do Montante, a taxa e o número de prestações; aí determinaremos o 
valor das prestações ou recebimentos através do Fluxo Postecipado.
O cálculo do FFC é realizado por meio da equação a seguir: 
n
i
V N
(1 i) 1
= ⋅
+ −
Exemplos
Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente em um Fundo de Renda 
Fixa, durante três anos, para que possa resgatar R$ 20.000,00 no final desse 
período, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês?
v
36
vvvv
Temos:
N = 20.000,00 i = 0,02 a.m.
n = 36 meses V = ?
36
0,02 0,02
V 20000 V 20000
(1 0,02) 1 1,0398887344
= ⋅ ⇔ = ⋅
+ −
V 20000 0,0192328 V R$384,65= ⋅ ⇒ =
V = 384,65
– 36 –
Matemática Financeira
Logo, essa pessoa terá de depositar mensalmente nesse Fundo de Renda 
Fixa uma quantia de R$ 384,65.
Um empresário quer saldar uma dívida que vencerá daqui a 60 meses, no 
valor de R$ 150.000,00. Qual o valor da parcela que ele deverá depositar em 
um Fundo de Renda Fixa para quitar esse débito, sabendo que a taxa mensal 
dessa aplicação é de 1,5 % ao mês?
v
60
vvvv
150.000,00
Temos: 
V = ?
N = 150000,00
n = 60 meses
i = 0,015 a.m.
60
0,015
V 150000
(1 0,015) 1
= ⋅
+ −
0,015
V 150000
2,443219776 1
= ⋅
−
0,015
V 150000
1,443219776
= ⋅
 
V 150000 0,010393427= ⋅ 
V = 1559,01
– 37 –
Séries de pagamentos I
Portanto, para esse empresário saldar sua dívida, terá de depositar uma 
quantia mensal de R$ 1.559,01.
4.3 Fator de valor atual
Com relação ao valor presente ou atual, somente sabemos resolver os 
casos com pagamento simples, ou seja, aqueles que apresentam uma única 
parcela correspondente de um financiamento. Assim vamos resolver o pro‑
blema que envolve uma série de pagamentos com termos vencidos, chamado 
de Fator de Valor Atual (FVA), com o auxílio da seguinte equação:
+ −
= ⋅
+ ⋅
n
n
(1 i) 1
PV V
(1 i) i
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
V = Valor de cada Pagamento ou recebimento
n = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
i = Taxa de juros
Exemplos
Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5 % ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 200,00 
cada uma?
V = 200,00
i = 2,5% = 0,025 a.m. 
n = 5 meses
N = ?
5
5
(1 0,025) 1
N 200
(1 0,025) 0,025
+ −
= ⋅
+ ⋅
1,131408213 1
N 200
1,131408213 0,025
−
= ⋅
⋅
– 38 –
Matemática Financeira
N 200 4,645524998 929,10= ⋅ =
O valor do financiamento é de R$ 929,10.
Calcule o valor atual de uma série de 24 parcelas iguais, mensais e con‑
secutivas, de R$ 350,00 cada uma, considerando que a taxa de aplicação é de 
4 % ao mês.
24
350 350 350 350 350
N
Temos: 
N = ? i = 0,04 a.m.
V = 350,00 n = 24 meses
24
24
(1 0,04) 1
N 350
(1 0,04) 0,04
+ −
= ⋅
+ ⋅
2,563304165 1
N 350
0,102532166
−
= ⋅
N 350 15,24696314 5.336,43= ⋅ =
O valor atual desse financiamento é R$ 5.336,43.
4.4 Fator de recuperação de capital
No fator de recuperação de capital (FRC), podemos calcular o valor das 
parcelas iguais referentes a um empréstimo ou a um financiamento, por meio 
da equação a seguir: Fluxo Postecipado.
–39 –
Séries de pagamentos I
+ ⋅
= ⋅
+ −
n
n
(1 i) i
V PV
(1 i) 1
No FRC, devemos calcular o valor das parcelas. O FRC é o fator mais 
utilizado na prática. E você deve ter observado que existem relações entre 
FFC e FAC, assim como FRC e FVA. Tais relações são:
1
FFC
FAC
= e 
1
FRC
FVA
=
Exemplos
Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição 
financeira para ser quitado em 12 parcelas iguais, mensais e consecutivas. 
Sabendo‑se que a taxa de juros é 2,5 % ao mês, o valor das parcelas é:
12
v v v v v
30.000
Temos: 
N = 30.000,00 i = 0,025 a.m.
n = 12 meses V = ?
12
12
(1 0,025) 0,025
V 30000
(1 0,025) 1
+ ⋅
= ⋅
+ −
1,344888824 0,025
V 30000
1,344888824 1
⋅
= ⋅
−
V 30000 0,097487126 2.924,61= ⋅ =
– 40 –
Matemática Financeira
O valor das parcelas para esse financiamento é R$ 2.924,61.
Um microcomputador foi adquirido por R$ 2.800,00, em 12 parcelas 
iguais. Sabendo que a loja trabalha com uma taxa de financiamento de 3,5% 
ao mês, qual o valor da parcela mensal do financiamento?
n10 2 3 4
v v v v
N
v
...
Temos:
V = ? N = 2.800,00
i = 0,035 n = 12
12
12
(1 0,035) 0,035
V 2800
(1 0,035) 1
+ ⋅
= ⋅
+ −
1,511068657 0,035
V 2800
1,511068657 1
⋅
= ⋅
−
V 2800 0,103483949= ⋅
V = 289,75
Portanto, o valor das parcelas do financiamento do micro é de R$ 289,75.
Quando falamos na compra de um bem de consumo ou em uma apli‑
cação financeira, temos de observar se o tempo e o prazo de aplicação ou 
financiamento estão na mesma unidade de tempo. Ainda podemos chegar à 
conclusão, ao final deste capítulo, que os quatro tipos de séries de pagamentos 
que vimos estão relacionados entre si. 
– 41 –
Séries de pagamentos I
4.5 Fator de acumulação de capital 
(FAC): Fluxo Antecipado
N = V . {[(1 + i)n+1 ‑1 ] – 1}
 
1
Onde:
N = Valor Futuro/ Montante
V = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos Antecipado
n = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
i = Taxa de juros
Exemplo
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 200,00 no 
início de cada mês, durante esses quatro anos, em um Fundo de Renda 
Fixa, a taxa de 3 % ao mês?
10 2 3 4
200
....
200 200 200 200 200
...47
N
Temos:
V = 200,00 n = 4 anos = 48 meses
i = 3 % = 0,03 a.m. N = ?
{ }
n+1 49[(1+i) -1] [(1+0,03) -1]N=V× -1 N=200 -1 N=200 108,54-1
l 0,03
     ⇒ ⇒   
    
N = 200 . 107,54 = R$ 21508,13
– 42 –
Matemática Financeira
Observação: Para efeitos didáticos estamos usando para o cálculo do 
fluxo antecipado, os mesmos exercícios utilizados para os cálculos do 
fluxo postecipado, visando demonstrar a diferença nos valores apresen‑
tados em cada uma das aplicações. Perceba que o Montante acumulado 
através do fluxo antecipado (R$ 21.508,13), foi maior que o apresentado 
pelo fluxo postecipado (R$ 20.881,67). Isso se deve ao fato de que no 
fluxo antecipado os valores aplicados (R$ 200,00) começam a ocorrer 
no momento “zero” e consequentemente os juros também passam a ser 
calculados a partir deste momento, e no fluxo postecipado o primeiro 
valor aplicado ocorre ao final do primeiro mês.
4.6 Fator de Formação de Capital 
(FFC): Fluxo Antecipado
O cálculo do FFC Antecipado é realizado utilizando a seguinte equação:
n+1
NV=
[(1+i) -1] -1
l
 
 
  
Exemplo
Quanto uma pessoa terá de aplicar no início de cada mês em um Fundo 
de Renda Fixa, durante três anos, para que possa resgatar R$ 20.000,00 
no final desse período, sabendo que o fundo proporciona um rendi‑
mento de 2% ao mês?
10 2 3 4
v v v 20.000,00v
....
v
...36
N
– 43 –
Séries de pagamentos I
Temos:
N = 20.000,00 
i = 2% ao mês = 0,02 a.m.
n = 3 anos = 36 meses 
V = ?
{ }n+1 37
N 20.000 20.000V= V= V=
54,03 1[(1+i) -1] [(1+0,02) -1]-1 -1
l 0,02
Logo:V= R$377,14
⇒
−     
   
    
A pessoa terá que depositar mensalmente, no início de cada mês, um 
valor de R$ 377,14, ou seja, valor inferior ao calculado no exercício 
envolvendo fluxo postecipado que foi de R$ 384,65. 
4.7 Fator de Valor Atual (FVA): 
Fluxo Antecipado
O cálculo do Fator de Valor Atual Antecipado é realizado utilizando a 
seguinte fórmula:
{
n-1
n-1
[(1+i) -1]PV=V 1
(l+i) i
⋅ + 
⋅ 
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
V = Valor de cada Pagamento ou recebimento
n = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
i = Taxa de juros
– 44 –
Matemática Financeira
Exemplo
Qual o valor que, financiado a taxa de 2,5 % ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais antecipadas, iguais e sucessivas de 
R$ 200,00 cada uma?
10 2 3 4
200200 200 200 200
PV
Temos:
V = 200,00
i = 2,5% = 0,025 a.m.
n = 5 meses
PV = ?
{ {
n-1 4
n-1 4
[(1+i) -1] [(1 0,025) 1]}PV=V 1 PV=200 1
(l+i) i (1 0,025) 0,058
PV=200. {1+3,761974}
PV= 200.4,761974 PV=R$ 952,39 
 + −⋅ + ⇒ ⋅ + ⇒
⋅ + ⋅
⇒
4.8 Fator de Recuperação de Capital 
(FRC): Fluxo Antecipado
No fator de recuperação de capital antecipado, podemos calcular o valor 
das parcelas iguais referentes a um empréstimo ou a um financiamento, por 
meio da equação a seguir:
– 45 –
Séries de pagamentos I
n-1
n-1
PV V=
[(1+i) 1 ]}{1
(1+i) i
−
+
⋅
Exemplo
Um empréstimo de R$ 30.000,00 e concedido por uma instituição 
financeira para ser quitado em 12 parcelas antecipadas iguais, mensais e 
consecutivas. Sabendo‑se que a taxa de juros é de 2,5 % ao mês, o valor 
das parcelas será:
v v v v v v v v v v v v
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Temos:
PV = 30.000,00 
i = 2,5 % mês = 0,025 a.m.
n = 12 meses 
V = ?
11n-1
n-1 11
PV 30.000 30.000 V= V=
{1 9,514209}[(1+i) 1 ]} [(1 0,025) 1 ]}{1 {1
(1+i) i (1 0,025) 0,025
Logo:V= R$ 2.853,28
⇒ ⇒
+− + −+ +
⋅ + ⋅
4.9 Fator de Valor Atual (FVA): Fluxo Diferido
Alguns financiamentos são feitos de maneira que a primeira prestação 
seja paga somente após um determinado período. Esse tipo de financiamento 
– 46 –
Matemática Financeira
é muito comum na concessão de empréstimos do Banco do Brasil aos agricul‑
tores que necessitam de recursos, mas que dependem da colheita da safra para 
iniciar o pagamento. Financiamentos de máquinas através do FINAME, bem 
como, promoções do tipo: Compre hoje e comece a pagar somente depois do 
carnaval. Assim sendo, o Fluxo Diferido o período de carência constitui‑se 
em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da 
1ª parcela.
O cálculo do Fator de Valor Atual Diferido é realizado utilizando a 
seguinte fórmula:
n
n+m
[(1+i) 1]}PV=V 
(1+i) i
−
⋅
⋅
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
V = Valor de cada Pagamento ou recebimento
n = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
m = Período de Carência para começar a pagar
i = Taxa de juros
Exemplo
Qual o valor que, financiado a taxa de 2 % ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 9 prestações mensais de R$ 350,00 iguais e sucessivas, 
com período de carência de 3 meses para começar a pagar?
0 0 0 350 350 350 350 350 350 350 350
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
350
PV
– 47 –
Séries de pagamentos I
Temos:
V = 350,00 i = 2,% = 0,02 a.m.
n = 9 meses m = 3 meses
PV = ?
n 9
n+m 12
[(1+i) 1]} [(1 0,02) 1]PV=V PV=350 350 7,691458
(1+i) i (1 0,02) 0,02)
Logo: PV = R$ 2.692,01
− + −
⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⋅
⋅ + ⋅
4.10 Fator de Recuperação de 
Capital (FRC): Fluxo Diferido
No fator de recuperação de capital diferido, podemos calcular o valor das 
parcelas iguais referentes a um empréstimo ou a um financiamento, por meio 
da seguinte equação:
n
n+m
PVV= 
[(1+i) -1]
(1+i) i⋅
Exemplo
Seguindo aquilo que temos feito até agora, no sentido de repetir os exercí‑
cios já utilizados anteriormente, temos: Um empréstimo de R$ 30.000,00, 
concedido por uma instituição financeira para ser quitado em 12 par‑
celas iguais, mensais e consecutivas, com período de carência de 6 meses. 
Sabendo‑se que a taxa de juros é de 2,5 % ao mês, qual será o valor das parcelas?
0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
30.000
v v v v v v v v v
– 48 –
Matemática Financeira
Temos:
V = ?
i = 2,5% = 0,025 a.m.
n = 12 meses
m = 6 mesesPV = R$ 30000,00
n 12
n+m 12+6
PV 30.000 30.000V= V=
8,845238[(1+i) -1] [(1 + 0,025) -1]
(1+i) i (1+0,025) 0,025
Assim temos: V= R$ 3.391,65
⇒ ⇒
⋅ ⋅
Conclusão
O assunto desenvolvido neste capítulo tratou das séries de pagamentos, 
muito comum em nossas vidas, de uma maneira sucinta e objetiva, mostrando 
diferentes possibilidades em aplicações financeiras, financiamentos e inves‑
timentos com diferentes possibilidades de pagamento ou recebimento. No 
primeiro tipo de série de pagamento, fator de acumulação de capital, vimos 
que é possível calcular um montante, conhecendo‑se o valor das aplicações, a 
taxa de juros e o prazo. Já para o segundo tipo, fator de formação de capital, 
temos a possibilidade de calcular as parcelas que irão resultar em um mon‑
tante já conhecido. No terceiro tipo, fator de valor atual, somente sabemos 
resolver os casos com pagamento simples, ou seja, aqueles que apresentam 
uma única parcela correspondente de um financiamento. E, por último, no 
fator de recuperação de capital, podemos calcular o valor das parcelas iguais 
referentes a um empréstimo ou a um financiamento.
5
Séries de pagamentos II
Como a Matemática Financeira está presente em nosso coti‑
diano, devemos perceber o quanto é importante termos o conheci‑
mento e o domínio das ferramentas apresentadas até aqui.
Agora, avançaremos os estudos começando com séries de 
pagamentos variáveis.
– 50 –
Matemática Financeira
5.1 Séries de pagamentos variáveis 
em progressão aritmética crescente 
ou série em gradiente
Para que possamos resolver de maneira fácil e rápida os problemas refe‑
rentes a essa série, que também é conhecida por série em gradiente, vamos 
analisar duas situações distintas. Vejamos.
Razão (G) é igual ao valor da 1a prestação (V): a1=G
Esse caso é bem simples e podemos descobrir o montante (N) aplicando 
diretamente a equação, também denominada de FACg+:
n1 (1 i) 1
N G (1 i) n
i i
  + −
= ⋅ + ⋅ −  
  
Onde:
N = valor nominal ou montante
i = taxa
G = gradiente ou razão da P.A
n = tempo
Exemplo 
Determine o valor nominal no final de 15 meses de aplicações mensais e 
sucessivas, com uma taxa de juros de 1,38% a.m, sendo a primeira apli‑
cação no valor de R$ 800,00 realizada no final do primeiro mês, sabendo 
que as aplicações posteriores crescem de acordo com uma progressão 
aritmética com razão igual a R$ 800,00.
Resolução:
Dados:
n = 15 meses V = 800,00
i = 1,38% a.m G = 800,00
Substituindo os valores na equação, temos:
– 51 –
Séries de pagamentos II
n1 (1 i) 1
N G (1 i) n
i i
  + −
= ⋅ + ⋅ −  
  
151 (1 0,0138) 1
N 800 (1 0,0138) 15
0,0138 0,0138
  + −
= ⋅ ⋅ + ⋅ −  
  
151 (1,0138) 1
N 800 (1,0138) 15
0,0138 0,0138
  −
= ⋅ ⋅ ⋅ −  
  
1
N 800 (1,0138) 16,53835 15
0,0138
  = ⋅ ⋅ ⋅ −   
[ ]1
N 800 16,76759 15
0,0138
 = ⋅ ⋅ − 
 
[ ]1
N 800 1,767592
0,0138
 = ⋅ ⋅ 
 
N 800 128,0864= ⋅
N = 102.469,10
No exemplo, fizemos coincidir o valor da primeira parcela com o valor 
da razão da progressão geométrica. Entretanto, na prática, isso dificilmente 
ocorre. O mais comum é o aparecimento de problemas com o valor da 
primeira parcela diferente do valor da razão, ou seja:
Razão (G) é diferente do valor da 1a prestação (V): a1 ≠ G
Nesses casos, a solução dos problemas somente pode ser obtida por 
partes: a série uniforme e a série gradiente. E o montante é resultante da soma 
dos valores obtidos em cada uma das partes. Vamos entender cada uma delas.
5.1.1 Série uniforme ou de pagamentos iguais
Essa série é o valor presente em todas as parcelas, independentemente 
dos juros acrescidos e do valor da razão. Esse valor é obtido da seguinte forma:
– 52 –
Matemática Financeira
V = 1ª prestação – razão
Após obter o valor fixo em cada uma das parcelas, basta aplicar a capita‑
lização, ou seja, o fator de acumulação de capital, visto no capítulo anterior.
Observe:
n(1 i) 1
N V
i
+ −
= ⋅
5.1.2 Série em gradiente
A segunda parte da resolução envolve a inclusão da razão no valor das 
prestações. Para tal usaremos a mesma equação vista anteriormente, também 
denominada de FACg+:
n1 (1 i) 1
N G (1 i) n
i i
  + −
= ⋅ + ⋅ −  
  
Exemplo
Calcule o montante referente de quinze prestações mensais, feitas à taxa 
de 1,2% a.m, realizadas no final de cada período. A primeira é de R$ 
2.500,00 e as demais de valores crescentes, à razão de R$ 120,00.
Resolução:
Dados: 
V = 2.500,00
i = 1,2% a.m
n = 15 meses
G = 120,00
Decompondo a série em duas, temos os resultados a seguir.
 2 Série uniforme ou de pagamentos iguais
V1 = 1ª prestação – razão
V1 = 2.500 – 120
– 53 –
Séries de pagamentos II
V1 = 2.380,00
Capitalizando esse valor utilizando a equação do FAC, temos:
n
1
(1 i) 1
N V
i
+ −
= ⋅
15
1
(1,012) 1
N 2380
0,012
−
= ⋅
1
1,19593 1
N 2380
0,012
−
= ⋅
1N 2380 16,3279= ⋅
N1 = 38860,50
 2 Série em gradiente
Aplicando a equação, temos:
n
2
1 (1 i) 1
N G (1 i) n
i i
  + −
= ⋅ ⋅ + ⋅ −  
  
15
2
1 (1 0,012) 1
N 120 (1 0,012) 15
0,012 0,012
  + −
= ⋅ ⋅ + ⋅ −  
  
2
1 0,19593
N 120 (1 0,012) 15
0,012 0,012
  = ⋅ ⋅ + ⋅ −    
[ ]2
1
N 120 16,5239 15
0,012
 = ⋅ ⋅ − 
 
{ }2N 120 126,9898= ⋅
N2 = 15238,77
Resolvida as duas partes, basta somarmos os valores obtidos:
N = N1 + N2
– 54 –
Matemática Financeira
N = 38.860,50 + 15.238,77
N = 54.099,27
5.1.3 Séries de pagamentos variáveis em 
progressão aritmética decrescente 
O raciocínio envolvido para as séries decrescentes é muito semelhante ao 
das séries crescentes. O que difere é que, como a série em questão é decres‑
cente, temos situações em que a última prestação é igual ao valor da razão, e 
situações em que a última prestação é diferente do valor da razão.
Vamos analisar cada uma das situações.
A última prestação é igual ao valor da razão
an = G
Esse caso é bem simples e podemos descobrir o montante (N) aplicando 
diretamente a equação, também denominada de FACg‑:
Onde: 
n
n1 (1 i) 1
N G n (1 i)
i i
  + −
= ⋅ ⋅ + −  
  
N = valor nominal ou montante i = taxa
G = gradiente ou razão da P.A n = tempo
Exemplo
Determinar o montante de 36 parcelas decrescentes, conforme uma P.A. 
de razão R$ 500,00, sabendo‑se que o valor da última prestação coincide 
com o valor da razão, e que a taxa é de 4% a.m.
Resolução:
Dados:
n = 36 meses i = 4% a.m
V = 500,00 G = 500,00
Substituindo os valores na equação, temos:
– 55 –
Séries de pagamentos II
n
n1 (1 i) 1
N G n (1 i)
i i
  + −
= ⋅ ⋅ + −  
  
36
361 (1 0,04) 1
N 500 36 (1,04)
0,04 0,04
  + −
= ⋅ ⋅ −  
  
1 4,1039 1
N 500 147,741
0,04 0,04
 − = ⋅ −    
[ ]1
N 500 70,143
0,04
 = ⋅ 
 
{ }N 500 1.753,58=
N = 876780,73
A última prestação é diferente do valor da razão an≠ G
Assim como nas séries crescentes, devemos dividir em duas partes: série 
uniforme e série em gradiente.
 2 Série uniforme
1º termo V n G= + ⋅
n(1 i) 1
N V
i
+ −
= ⋅
 2 Série em gradiente
n
n1 (1 i) 1
N G n (1 i)
i i
  + −
= ⋅ ⋅ + −  
  
Exemplo
Calcule o montante ao final de 17 prestações mensais, à taxa mensal 
de 3,5%. A primeira parcela é de R$ 6.000,00 e as seguintes decres‑
cerão a uma razão constante de R$ 200,00.
– 56 –
Matemática Financeira
Resolução:
Dados: 
V = 6.000,00
n = 17 meses
i = 3,5% a.m
G = 200,00
Decompondo a série em duas, temos os resultados a seguir.
 2 Série uniforme ou de pagamentos iguais
1º termo = V + n . G
6000 V 17 200= + ⋅
V = 6000 – 3400
V = 2600,00
nV (1 i) 1
N
i
⋅ + −
=
17
1
(1,035) 1
N 2600
0,035
−
= ⋅
1
0,79467
N 2600
0,035
= ⋅
N1 = 59.033,05
 2 Série gradiente
n
n1 (1 i) 1
N G n (1 i)
i i
  + −
= ⋅ ⋅ + −  
  
17
17
2
1 (1,035) 1
N 200 17 (1,035)
0,035 0,035
  −
= ⋅ ⋅ −  
  
– 57 –
Séries de pagamentos II
2
1 0,79467
N 200 30,5094
0,035 0,035
  = ⋅ −    
[ ]2
1
N 200 7,80446
0,035 = ⋅  
 
{ }2N 200 222,984= ⋅
N2 = 44.596,96
A solução do problema é dada pela soma dos montantes:
N = N1 + N2
N = 59.033,05 + 44.596,96
N = 103.630,01
Sempre nos perguntamos qual seria uma possível aplicação para uma 
progressão aritmética e, no decorrer deste capítulo, vimos que alguns tipos de 
séries de pagamentos utilizam essa ferramenta da matemática para a resolução 
de problemas, principalmente os que envolvem as séries uniformes.
Conclusão
O assunto desenvolvido neste capítulo tratou das séries de pagamentos 
variáveis em progressão aritmética crescente ou série em gradiente. Você deve 
ter percebido que o desenvolvimento deste capítulo se deu de uma maneira 
um pouco diferente das outras duas anteriores, pois foi conduzida com 
pouca teoria, mas com bastantes exercícios resolvidos. Podemos justificar tal 
procedimento devido ao fato de a teoria ter sido trabalhada no capítulo dois.
6
Sistemas de amortização
Os sistemas de amortização constante, Price e misto foram 
criados especialmente para as operações de empréstimos e financia­
mentos de longo prazo, que amortizam parcelas sucessivas e encar­
gos financeiros. Muitos procedimentos são utilizados para amortizar 
uma dívida; esses acordos devem ser firmados com contratos entre 
as partes envolvidas.
Uma característica fundamental conhecida é a utilização 
da capitalização composta em todos os financiamentos, com o juro 
incidindo sempre no saldo devedor, apurado em período imediata­
mente anterior.
– 60 –
Matemática Financeira
Existem modalidades de pagamentos com carência e sem carência. No 
financiamento com carência, no período não há pagamento do principal, 
apenas os juros são pagos, e os juros podem ser capitalizados durante o prazo 
de carência.
a. Neste capítulo, apresentaremos:
b. sistema de amortização constante;
c. sistema de amortização Francês ou Price;
d. sistema de amortização misto.
Vamos começar os estudos nos aprofundando em sistema de amortiza­
ção constante.
6.1 Sistema de amortização constante
Esse sistema é simples e sua denominação deriva da sua principal caracte ­
rística, que são amortizações periódicas e constantes. As amortizações são 
constantes a cada parcela e o juro incide sobre o saldo devedor, como vamos 
observar no gráfico a seguir, que mostra justamente a evolução da parcela de 
juros, decrescente ao longo do tempo, e as amortizações sempre constantes. 
Nesse sistema, o devedor obriga­se a restituir o principal em n presta­
ções, nas quais as cotas de amortização são sempre constantes. Ou seja: o 
principal da dívida é dividido pela quantidade de períodos n, e os juros são 
calculados em relação aos saldos existentes mês a mês.
Gráfico 1 Sistema de amortização constante.
Amortização
Juros
Períodos
Prestações
– 61 –
Sistemas de amortização
Como podemos observar, na representação gráfica do comportamento 
das prestações de um financiamento, ao longo do tempo, pelo sistema 
SAC, a parcela que corresponde ao pagamento dos juros decresce a cada 
prestação, e a parcela de amortização é sempre constante, o que dá o nome 
ao sistema. 
Exemplo
Com base no sistema de amortização constante, correspondente a 
um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 3 % ao mês, a ser liqui­
dado em 10 prestações mensais, determine o valor das três primeiras 
prestações.
Valor da amortização: 
100.000
A 10.000,00
10
= =
1ª Prestação
R1 = A + J1 = 10.000 + 0,03 . 100.000
R1 = 10.000 + 3.000 = 13.000,00
2ª Prestação
R2 = A + J2 = 10.000 + 0,03 . 90.000
R2 = 10.000 + 2.700 = 12.700,00 
3ª Prestação
R3 = A + J3 = 10.000 + 0,03 . 80.000
R3 = 10.000 + 2.400 = 12.400,00
E assim, sucessivamente, até a 10ª prestação. 
Determinação do saldo devedor
tP A (n t)= ⋅ −
Saldo devedor após o pagamento da 6ª parcela:
– 62 –
Matemática Financeira
6P 10.000 (10 6) 40.000,00= ⋅ − =
Determinação do valor de juros de uma parcela.
Determine o valor dos juros correspondente à 6ª parcela.
tJ i A (n t 1)= ⋅ ⋅ − +
6J 0,03 10.000 (10 6 1)= ⋅ ⋅ − +
J6 = 1.500,00
Agora você verá outros sistema: o francês.
6.2 Sistema francês de amortização (Price)
No Brasil, o sistema francês de amortização é mais conhecido como 
“Tabela Price” ou “Sistema da Tabela Price”, por se tratar de uma série de 
pagamentos do tipo de recuperação de capital (FRC), cujos valores podem 
ser tabulados propondo prestações iguais, periódicas e sucessivas. Os juros 
incidem no saldo devedor e são decrescentes, enquanto as parcelas de amor­
tização são crescentes.
Durante a evolução dos pagamentos, temos condições de, a qualquer 
momento (estado de dívida), calcular o valor da parcela de juros, o saldo 
devedor e também a parcela de amortização.
A denominação “Tabela Price” se deve ao nome do matemático, filósofo 
e teólogo inglês Richard Price, que viveu no Século XVIII e incorporou a teo­
ria dos juros compostos às amortizações de empréstimos ou financiamentos 
(PEREIRA, 1965).
O valor das prestações é determinado com base na mesma equação 
utilizada para séries de pagamento com termos vencidos ou postecipadas, 
isto é:
n
n
(1 i) i
R N
(1 i) 1
+ ⋅
= ⋅
+ −
 ou R N FRC (i, n)= ⋅
– 63 –
Sistemas de amortização
Gráfico 2 Sistema de amortização Price.
Amortização
Juros
Períodos
Prestações
Exemplo
Calcule o valor da prestação e das parcelas de juros e amortização refe­
rentes à primeira prestação de um empréstimo de R$ 18.000,00, à taxa 
de 2 % ao mês, para ser liquidado em 10 parcelas iguais.
Valor parcela.
N = 18000,00 n = 10 meses
i = 2 % a.m. R = ?
n
n
(1 i) i
R N
(1 i) 1
+ ⋅
= ⋅
+ −
10
10
(1 0,02) 0,02
R 18000
(1 0,02) 1
+ ⋅
= ⋅
+ −
0,024379888
R 18000
0,21899442
= ⋅
R 18000 0,111326527 2.003,87= ⋅ =
Valor da parcela de juros
– 64 –
Matemática Financeira
J i N 0,02 18000 360,00= ⋅ = ⋅ =
Valor da parcela de amortização (A)
A = R – J = 2003,87 – 360 = 1643,87
Para saber as demais parcelas, deveremos operacionalizar da mesma 
forma e, para obter o saldo devedor do financiamento, usamos a equação a 
seguir. Lembre­se de que a segunda parte da equação é devido ao fator de 
valor atual que foi trabalhado no capítulo dois.
tP R FVA (i, n t)= ⋅ −
Determine o valor do saldo devedor, no final do 6º mês, após o paga­
mento desta parcela.
6P R FVA (2%, 10 6)= ⋅ −
6P 2.003,87 3,807728699= ⋅
P6 = 7.630,19
Para obter o valor do juro de uma parcela, determine o valor do juro 
da quarta parcela.
tJ i R FVA (i, n t 1)= ⋅ ⋅ − +
4J 0,02 2.003,87 FVA (2%, 10 4 1)= ⋅ ⋅ − +
4J 40,0774 6,47199 259,38= ⋅ =
O último sistema é de amortização misto. Veja a seguir.
6.3 Sistema de amortização misto
Esse sistema foi criado pelo Banco Nacional de Habitação em 1979 
e representa a média aritmética entre o sistema francês (SAF) ou price e o 
sistema de amortização constante. A denominação assim se auto explica.
– 65 –
Sistemas de amortização
Tabela 1 SAF.
Perío do Saldo devedor Amorti zação Juros Prestação
0 100.000,00 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 
1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40 
2 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40 
3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40 
4 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40 
5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40 
6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40 
7 44.526,20 11.351,8 7.832,70 19.184,40 
8 31.583,20 12.943,0 6.241,50 19.184,40 
9 16.825,90 14.757,3 4.427,20 19.184,40 
10 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 16.825,90 2.358,60 19.184,40 
Total 100.000,00 91.844,00 191.844,00 
Tabela 2 Sistema SAC.
Perío do Saldo devedor Amorti zação Juros Prestação
0 100.000,00 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 
1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80
3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
4 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30
5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
6 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80
7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
8 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30
9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
10 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 10.000,00 1.401,80 11.401,80
Total100.000,00 77.096,50 177.096,50
– 66 –
Matemática Financeira
Primeira parcela
1SAC 1SAFP P
R
2
+
=
24.017,50 19.184,40
R
2
+
=
R = R$ 21.600,95
Juros da primeira parcela
14.017,50 14.017,50
J
2
+
=
R = R$ 14.017,50
Amortização
10.000,00 5.166,90
A
2
+
=
R = R$ 7.583,45
Saldo devedor
90.000,00 94.833,10
SD
2
+
=
R = R$ 92.416,55
Tabela 3 Completar a planilha financeira do SAM.
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 
1 92.416,60 7.583,50 14.017,50 21.600,95
2 84.470,90 7.945,60
3 76.112,40
4 67.283,10
5 57.917,00
– 67 –
Sistemas de amortização
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
6 47,939,00
7 37.263,10
8 25.791,60
9 13.413,00
10 ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 13.413,00 1.880,20
Total 100.000,00 84.470,80 184.470,80
Chegamos ao final do capítulo tendo uma boa noção de como são reali­
zados os financiamentos habitacionais feitos de três maneiras diferentes, com 
prestação decrescente, constante ou a média entre as outras duas. 
Conclusão
O assunto desenvolvido neste capítulo tratou dos sistemas de amortiza­
ção, mostrando diferentes caminhos em financiamentos dos sistemas habi­
tacionais e bens de capitais. Esses caminhos definem se as prestações são 
constantes ou variadas. Vimos por meio das tabelas demonstrativas as prin­
cipais diferenças entre os sistemas, ou seja, financiando o mesmo valor, em 
um mesmo prazo e com as mesmas taxas, chegamos a um valor final pago 
diferente para cada tipo de amortização. Talvez o que mais devemos destacar 
nesta síntese seja os gráficos um e dois, que podem resumir melhor as diferen­
ças nas prestações e parcelas de juros e amortização.
2ª Edição
Curitiba
2018
Matemática 
Financeira
Elídio Luiz Martinelli
Paulo Vitoriano Dantas Pereira
UNIDADE 4
7
Correção monetária 
e inflação
Inflação é a elevação generalizada dos preços que provoca 
a redução do poder aquisitivo da moeda dos mais diferentes bens 
e serviços. 
De forma análoga, compreendemos deflação como a baixa 
predominante dos preços dos bens e serviços.
– 70 –
Matemática Financeira
No Brasil, até bem pouco tempo, o processo inflacionário na economia 
era gritante e as taxas muito elevadas. Hoje, vivemos em uma economia bem 
mais estável e com um cenário econômico mundial mais equilibrado. As taxas 
do juro real continuam importantes no contexto econômico e da matemática 
financeira. Quaisquer oscilações dos indicadores econômicos podem causar 
problemas sem precedentes afetando a competitividade dos ativos negociados 
no mercado financeiro. 
7.1 Índice de preços e taxas de inflação 
Um índice de preços é consequência de procedimentos estatísticos que, 
entre outras aplicações, mede as oscilações ocorridas nos níveis gerais de pre-
ços ocorridos em períodos para comparações. É uma média geral das varia-
ções de preços que se verificam em um conjunto de determinados bens pon-
derada pelas quantidades respectivas. 
No Brasil, por exemplo, podemos falar do IGP (índice geral de pre-
ços) da Fundação Getúlio Vargas. Veja, a seguir, o IGP de 2006, medido no 
quarto trimestre desse ano.
Tabela 1 IGP 2006.
Mês Setembro Outubro Novembro Dezembro
IGP 0,24% 0,81% 0,57% 0,26%
Por meio desses índices de preços, pode ser constatado como os preços, 
em geral, variaram no período em questão.
Por exemplo, a inflação do quarto trimestre medida pelo IGP pode ser 
calculada por meio da equação a seguir.
 2 Inflação do 4º trimestre 2006 = {[( 1 + IGP DE OUT) . ( 1+ IGP 
DE NOV) . (1+IGP DEZ)] -1} . 100 
 2 Inflação do 4º trimestre 2006 = {[( 1 + O,0081) . ( 1+ 0,0057) . 
(1+0,0026)] -1} . 100 
 2 Inflação do 4º trimestre 2006 = 1,65%
– 71 –
Correção monetária e inflação
 2 Inflação do 6º Bimestre 2006 = {[( 1+ IGP DE NOV) . (1+IGP 
DEZ)] -1} . 100 
 2 Inflação do 6º Bimestre 2006 = {[( 1+ 0,0057) . (1+0,0026)] -1} . 100 
 2 Inflação do 6º Bimestre 2006 = 0,83%
Para a determinação da taxa de inflação, a partir de índices, usamos 
a expressão:
n
n t
P
I 1
P −
= −
I → taxa de inflação medida a partir de índices de preços
P → índice de preços utilizados para o cálculo da taxa de inflação
n → data de determinação da taxa de inflação
n – t → período anterior considerado
Exemplo
João e Pedro compõem um universo desse problema, dos que poupam 
uma parte do salário líquido após pagar os gastos necessários. Na tabela a 
seguir, em um Tempo 1, cada um deles poupa o seu salário líquido.
Tabela 2 Tempo 1.
João Pedro Média
Grupos de gastos Valor Valor Valor
Habitação
Educação
Transportes
Alimentação
Outros gastos
500
150
‑‑‑‑‑‑‑
200
250
300
200
100
300
100
400
175
50
250
175
Total de gastos (A) 1.100 1.000 1.050
Salário líquido (B)
Poupança (C = B – A)
1.222
122
1.111
111
1.167
117
– 72 –
Matemática Financeira
Observamos agora, no Tempo 2, que o salário é reajustado pela inflação 
média desse período; João e Pedro mantêm o padrão da quantidade e da qua-
lidade da cesta de consumo do Tempo 1, mas o preço de alguns produtos e 
serviços se alteraram, conforme a tabela a seguir.
Tabela 3 Tempo 2. 
João Pedro Média
Grupos de gastos Valor ∆ % Valor ∆ % Valor ∆ %
Habitação
Educação
Transportes
Alimentação
Outros gastos
500 0,0%
170 13,3%
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
200 0,0%
280 12,0%
350 16,7%
220 10,0%
100 0%
350 16,7%
150 50,0%
425 6,25%
195 11,4%
50 0,0%
275 10,0% 
215 22,9%
Total de gastos (A) 1.150 1.170 1.160
Salário líquido (B)
Poupança (C = B – A)
1.350 10,5%
200 14,8%
1.228 10,5%
58 4,7%
1.289 10,5%
129 10,0%
Inflação = 
−
T2
T1
A
A 1
4,5% 17,0% 10,5%
A variação dos gastos na tabela 2 em relação à tabela 1 foi diferente para 
João e Pedro, houve impacto em níveis diferentes para cada um. O salário foi 
reajustado pela inflação média de 10,5% e a inflação para cada indivíduo foi 
diferente. A poupança continua com 10% do salário líquido.
Observação: com base no exemplo anterior, destacamos algumas 
consequências da inflação, como a distribuição de renda, alteração da relação 
salário, consumo e poupança. 
7.2 Impacto da inflação sobre as 
atividades empresariais
A inflação ocasiona muitos problemas às administrações das empresas. O 
acompanhamento e as análises da inflação são relevantes para a administração 
do preço de venda e controle de custos.
– 73 –
Correção monetária e inflação
O exemplo anterior na determinação da inflação na vida de João e Pedro 
é análogo na determinação da inflação das empresas. Basta substituir os gastos 
por custos e despesas, salário por preço de venda e poupança por lucro. As 
empresas que melhor controlam os custos internos têm maior possibilidade 
de gerar lucros. Veja na tabela a seguir.
Tabela 4 Aferição dos lucros em T2.
Empresa 1 Empresa 2 Média
Custos e despesas Valor ∆ % Valor ∆ % Valor ∆ %
Matéria‑prima
Mão de obra
Custos indiretos de fabricação
Despesas de vendas
Despesas de administração
500 0,00 %
170 13,30% 
0 0,00%
200 0,00%
280 12,00%
350 16,70%
220 10,00%
100 0,00%
350 16,70%
150 50,00%
425 6,25%
195 11,40%
50 0,00%
275 0,00% 
215 22,9%
Total de custos e 
despesas (A)
1.150 1.170 1.160
Receita líquida (B)
Lucro (C = B – A)
1.350 10,50%
200 14,80%
1.228 10,50%
58 4,70%
1.289 10,50%
129 10,00%
Inflação = 
−
T2
T1
A
A 1
4,5% 17,0% 10,5%
Você deve ter percebido que a comparação para o impacto nas empresas 
só foi feito para a tabela 2, sem a necessidade de comparação com a outra 
tabela, já que os dados são exatamente os mesmos.
7.3 Cálculo da variação nos níveis de preços
Observe a evolução dos preços: 
1.000
1.013 1.038
1.025 1.050
1.071
1.091
1.113
1.134
1.044 1.123
31/03
7/04 7/05
15 30 15 31/05
23 23
Preço do
produto
– 74 –
Matemática Financeira
A seguir, você verá particularmente cada item.
7.3.1 Cálculo da inflação com as 
variações médias dos preços
Utilizaremos os preços ao final de cada semana, determinando a média 
aritmética simples de cada período.
Inflação de maio = 
(1.071 1.091 1.113 1.134)
4 1(1.013 1.025 1.038 1.050
4
+ + +
−+ + +
Inflaçãode maio = 
1.102
1
1.032
−
Inflação de maio = 6,9%
7.3.2 Cálculo da inflação utilizando 
as variações “ponta a ponta”
Inflação de maio = 
1.123
1
1.044
−
Inflação de maio = 7,56%
7.4 Números índices
A utilização dos números índices é ampla. São utilizados para o cálculo 
da demografia para mensurar o crescimento populacional, taxa de natalidade, 
em economia para dimensionar o consumo, os níveis de empregos, nas finan-
ças para determinar as taxas de juros e outras aplicações. 
7.5 Índice de preços
O índice de preços é obtido com a utilização do número-índice para 
averiguar a variação do nível de preços de produtos e serviços específicos. 
– 75 –
Correção monetária e inflação
n n n 1I (1 ) I −= + ∆ ⋅
In = índice do período de referência
∆n = variação do período de referência
In–1 = índice do período anterior ao de referência
Para determinar a variação do período de referência, basta isolar o ∆n 
e considerar 
n 1 bI I− = 
n
n
b
I
1
I
∆ = −
Para calcular a variação acumulada de vários períodos, é necessário con-
siderar o último período anterior, ao período desejado.
Mês base: Dezembro 1996 = 1,000
Mês Inflação ( % ) Índice
Janeiro /97 5,0 1,0500
Fevereiro/97 4,0 1,0920
Março/97 3,8 1,1335
Abril/97 2,0 1,1562
Maio/97 –1,5 1,1389
Junho/97 1,0 1,1503
Julho/97 0 1,1503
Agosto/97 1,8 1,1710
Setembro/97 2,0 1,1944
Outubro/97 1,9 1,2171
Novembro/97 2,0 1,2414
Dezembro/97 1,8 1,2637
O número-índice é acumulado a partir de uma data-base e, geralmente, 
começa com 1 ou 100.
– 76 –
Matemática Financeira
Inflação de Jan. a Set. de 1997 = 1,1944
1
1,0000
−
Inflação de janeiro a setembro de 1997 = 19,44%
Inflação de 1997 = 1,2637
1
1,0000
−
Inflação de 1997 = 26,37%
7.6 Reajuste de valor‑base
O valor-base é o valor original, ou seja, o capital. O reajuste de um valor, 
com a utilização de número-índice é feito mediante a expressão a seguir:
 
VR VB
I
I
n
b
== ⋅⋅






VR = valor reajustado
VB = valor base
Reajustar o valor base de R$ 100.000,00 do mês de fevereiro de 1997 até 
novembro de 1997, utilizando o número-índice da tabela anterior.
n
b
I
VR VB
I
 
= ⋅  
 
1,2414
VR R$ 100.000,00
1,0920
 = ⋅  
 
VR = R$ 113.681,31
7.7 Índices de inflação
Observe os índices utilizados.
 2 IGP‑DI (Índice geral de preços ‑ disponibilidade interna)
É obtido utilizando a média aritmética ponderada de outros índices: 
60% do índice de preços por atacado, 30% do índice de preços ao con-
sumidor e 10% do índice nacional de custos da construção. 
– 77 –
Correção monetária e inflação
 2 IGP‑M (Índice geral de preços do mercado)
Apresenta a mesma estrutura do IGP-DI, variando apenas as coletas, que 
variam do dia 21 de um mês até 20 do mês seguinte.
 2 INPC‑IBGE (índice nacional de preços ao consumidor da FIBGE)
A FIBGE é a fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
criadora desse índice. Esse índice mede a variação dos preços pagos pelos 
consumidores das principais regiões metropolitanas.
 2 IPCA (Índice Nacional de Preços ao consumidor amplo da FIBGE) 
É um índice que estabelece a execução da política monetária do Banco 
Central do Brasil. Esse índice reflete a variação dos preços das cestas de 
consumo das famílias com renda mensal de 1 até 40 salários mínimos.
 2 IPC‑FIPE (Índice de preço ao consumidor da FIPE)
Esse índice mede o custo de vida da família paulistana durante o mês, do 
primeiro ao último dia de cada mês.
 2 ICV‑DIEESE (Índice do custo de vida do DIEESE)
DIEESE significa Departamento Intersindical de Estatística e Estudos 
Socioeconômicos. Mede o custo de vida da classe trabalhadora com ren-
dimento oscilando de 1 a 30 salários mínimos.
7.8 Juros
Os governos utilizam a taxa de juro como elemento de política econômica 
e monetária para dosar o consumo e incentivar a poupança, já que os proprie-
tários do dinheiro, quando bem remunerados, poupam e contêm o consumo.
O juro é ditado pelo mercado financeiro, conforme a lei da oferta e pro-
cura do capital. Quando o risco envolvido é grande, com certeza o retorno 
deve ser maior.
Em um empréstimo, o indivíduo ou instituição que propicia isso está 
investindo, e o que está tomando empréstimo está captando recursos finan-
ceiros no mercado que, por meio de um acordo, selam os procedimentos para 
a devolução de quem emprestou.
– 78 –
Matemática Financeira
7.9 Termos usados em operações financeiras
É importante que você conheça termos da linguagem técnica da área da 
matemática financeira. Observe os conceitos a seguir.
 2 Capital ou principal é o recurso financeiro que um proprietário 
cede temporariamente ao tomador.
 2 Prazo é o período de tempo em que o capital ficará com o tomador.
 2 Forma de resgate ou amortização é a forma com que o tomador 
devolve o capital.
 2 Forma de pagamento de juros é a forma como os juros serão pagos.
 2 Período de capitalização é o tempo em que o capital rende juro, e 
ao final do período ele é integrado ao capital. Em descontos, o juro 
é pago no início da operação.
 2 Spread é a taxa de intermediação cobrada pelo intermediá- 
rio financeiro. 
Agora que você já está familiarizado com esses termos, continuaremos 
os estudos.
7.10 Tipos de taxas de juros
As taxas de juros são expressas em meses ou ano comercial de 360 dias. 
Conheça algumas taxas de juros a seguir.
 2 Taxas fixas são taxas que não se alteram durante todo o tempo de 
duração da operação financeira, mesmo que exista mais de um perí-
odo de capitalização.
 2 Taxa pré‑fixada é a taxa determinada no momento da contratação.
 2 Exemplo: 3% a.m. pelo prazo de 120 dias.
 2 Taxa pós‑fixada é a taxa cujo valor efetivo do juro é calculado 
somente após o reajuste da base de cálculo.
Exemplo: IGP-M + 10% a.a. pelo prazo de 180 dias.
 2 Taxas flutuantes ou variáveis são as taxas que variam a cada perío do 
de capitalização; a cada período, são fixadas novas taxas.
– 79 –
Correção monetária e inflação
Exemplo: Libor, taxa Andib, etc.
Empréstimo contraído no exterior, com 4 anos de prazo, utilizando uma 
taxa básica de juro como a Libor semestral, acrescida de spread fixo de 1% 
a.a., durante os 4 anos.
7.11 Estrutura da taxa de juros
O juro é um prêmio pago ao poupador ou investidor. A taxa bruta é a 
taxa de inflação mais a taxa de juros real.
 2 A taxa de juros real pode ser dividida em taxa de juros real “pura” e 
a taxa de risco. A primeira é livre de risco, e a segunda o investidor 
espera receber a mais por estar correndo risco.
Exemplo
Um título da dívida do tesouro norte americano é negociado com renta-
bilidade bruta de 5% para ser resgatada em um certo tempo. A inflação 
estimada é de 1%, então o juro real é 4%, sendo agora livre de risco. 
Nessas condições, se uma empresa lançar um título de dívida com renta-
bilidade bruta de 7% para o mesmo período, a diferença de 2% corres-
ponderá à taxa de risco dessa empresa. 
Componentes da taxa de juros
Taxa bruta
de juro
Taxa de juro
real
Taxa de risco
Taxa livre
de risco
Inflação
Cálculo de juro real
Em geral, a inflação estimada não coincide com a inflação efetiva. 
Quando a taxa bruta de juro é maior do que a inflação do período de 
capitalização, diz-se que a taxa de juro real é positiva; em caso contrário, 
é negativa.
– 80 –
Matemática Financeira
Exemplo
Certo capital de R$ 100,00 foi aplicado pelo prazo de 2 meses, à taxa de 
juros de 20% no período em que a inflação foi de 15%. Ao final do prazo, 
o capital gerou um juro bruto de R$ 120,00, mas sofreu uma desvalorização 
de 15% em função da inflação. O reajuste deve ser para R$ 115,00. Assim o 
juro real ganho na operação foi de R$ 5,00. Comparando-se o juro real em 
relação ao valor atualizado de R$ 115,00, temos a taxa de juros de 4,3478% 
no período.
A taxa de juro real pode ser calculada por meio da equação:
e
r
(1 i )
i 1
(1 D)
+
= −
+
ir = taxa de juro real
ie = taxa de juro efetiva do período
D = taxa de desconto (inflação do período)
Este capítulo nos fez perceber que a inflaçãotem impacto financeiro tanto 
no planejamento pessoal quanto das empresas e que os ajustes e correções 
monetárias sugeridas pelo governo são baseadas em vários índices financeiros.
Conclusão
No decorrer do capítulo, verificamos que o índice de preço é composto 
por outros índices de reajustes e, como vimos ao longo do nosso estudo, 
podem influenciar tanto no nosso orçamento pessoal quanto das empresas. 
Esclarecemos também alguns elementos descritos no mercado financeiro, 
como a inflação, números índices, juros e índices utilizados pelos Governos.
8
Análise de investimentos
Ao analisar a viabilidade econômico‑financeira de um pro‑
jeto de investimento, teremos problemas de tomada de decisões no 
que se refere a qual o melhor investimento, ou se é aceitável ou não 
o projeto. Essas análises devem ser feitas com métodos e técnicas 
que mostrem com clareza as taxas e o período de retorno esperados 
do investimento, bem como sua lucratividade e valor atual. Vamos 
iniciar este capítulo com as políticas de investimentos.
– 82 –
Matemática Financeira
8.1 Políticas de investimentos
Um projeto de investimento, segundo Hirschfeld (1992, p. 23), “envolve 
recursos humanos, materiais e financeiros, proporcionando um processo de 
produção em que qualquer falha na otimização desses recursos pode prejudi‑
car a comunidade”.
A necessidade de analisar a viabilidade econômica de um investimento 
gera problemas de engenharia econômica que utiliza métodos de análise espe‑
cíficos que possibilitam a escolha da melhor alternativa de investimento, com 
consequente otimização dos recursos.
As decisões de investimentos devem ser tomadas com base em informa‑
ções analisadas, pois comprometem os recursos de uma empresa por longo 
tempo e seu retorno efetivo pode ser somente estimado no presente, o que 
gera incertezas.
Para dar suporte às decisões de investimentos, as análises de viabilidade 
econômica devem ser feitas com métodos e critérios que demonstrem, com 
bastante clareza, os retornos sobre os investimentos. 
Nesse contexto, as simulações são muito importantes para analisar a via‑
bilidade econômica dos projetos de investimentos. Vamos, então, às análises.
8.2 Análise de investimentos
O conceito de análise de investimentos pode ser “um conjunto de téc‑
nicas que permitem a comparação entre os resultados de tomada de decisões 
referentes a alternativas diferentes de uma maneira científica” ( CASAROTTO 
FILHO, 1998, p. 46).
Nessas comparações, as diferenças que marcam as alternativas devem ser 
expressas tanto quanto possível em termos quantitativos. Para se expressar em 
termos quantitativos as diferenças entre as alternativas em uma tomada de deci‑
sões, é usada, basicamente, a “ferramenta” denominada matemática financeira.
Nesse sentido é que muitos autores consideram que a engenharia econô‑
mica é, em boa parte, uma aplicação das técnicas de matemática financeira 
nos problemas de tomada de decisões, envolvendo análise de investimentos, 
orçamento de capital e mesmo o estudo da depreciação.
– 83 –
Análise de investimentos
Algumas premissas são necessárias para análise de investimentos, tais 
como: fluxo de caixa, que envolve as receitas e despesa; vida econômica 
ou vida útil, que consiste no intervalo de tempo entre o ciclo e o final 
previsto para determinado investimento; valor atual ou valor presente, que 
consiste em determinar o valor atual do fluxo de caixa empregando à taxa 
mínima de atratividade; taxa de atratividade: consiste na taxa mínima de 
retorno que o investidor pretende conseguir como rendimento ao realizar 
algum investimento.
Finalizando, queremos acrescentar que, na tomada de decisões, a alterna‑
tiva escolhida deve ser sempre a mais econômica, após verificação de que todas 
as variáveis que influem no sistema foram convenientemente estudadas. 
8.3 Métodos e técnicas de 
avaliação de investimentos
Os principais métodos específicos para avaliação e análise das alternati‑
vas econômicas são os que estão inseridos no transcorrer desse capítulo. Os 
diferentes métodos apresentados podem ser utilizados isoladamente ou com‑
binado, dependendo de cada caso. Vamos ver como a seguir. 
8.3.1 Avaliação com dados em valores correntes
Exemplo 1
Suponha a existência de dois projetos de investimentos, nas condições 
a seguir. 
 2 Projeto A com investimento inicial de R$140.000,00 e Fluxo de 
Caixa (FC) corrente em:
Ano 1 = R$ 62.000,00
Ano 2 = R$ 25.000,00
Ano 3 = R$ 42.000,00
Ano 4 = R$ 51.000,00 
Total R$180.000,00
– 84 –
Matemática Financeira
 2 Projeto B com investimento inicial de R$120.000,00 e Fluxo de 
Caixa (FC) corrente em:
Ano 1 = R$ 45.000,00
Ano 2 = R$ 45.000,00
Ano 3 = R$ 45.000,00
Ano 4 = R$ 45.000,00
Total R$180.000,00
A taxa de atratividade para o projeto A e B será de 16% no ano.
Pede‑se: 
a. calcular a viabilidade econômica financeira dos projetos; 
b. analisar os resultados;
c. apontar o melhor projeto. 
1º passo: colocar as informações financeiras na planilha
Projetos
Investimento 
Inicial
Fluxo de Caixa em Valores Correntes
Ano 01 Ano 02 Ano 03 Ano 04 Soma
A 140.000 62.000 25.000 42.000 51.000 180.000
B 120.000 45.000 45.000 45.000 45.000 180.000
Observação: avaliação com dados em Valor Presente.
A taxa mínima de atratividade de 16% a.a., os valores correntes do fluxo 
de caixa, do exemplo anterior, são descontados a essa taxa, apresentando os 
seguintes dados em valor presente.
2º passo: descontar o Fluxo de Caixa (FC)
Projetos
Investimento 
Inicial
Fluxo de Caixa Descontados
Ano 01 Ano 02 Ano 03 Ano 04 Soma
A 140.000 53.448,27 18.573,55 26.905,83 28.161,23 127.088,88
B 120.000 38.790,00 33.435,00 28.845,00 24.840,00 125.910,00
– 85 –
Análise de investimentos
 2 Para Projeto A
1
n
C
Fcd
(1 i)
=
+
Fcd = Fluxo de Caixa Descontado
Fc= Fluxo de Caixa
Fvp = Fator Valor Presente
1
1 n 1
C 62.000 62.000
Fcd 53.448,27
(1 i) (1 0,16) 1,16
= = = =
+ +
2
2 n 2
C 25.000 25.000
Fcd 18.573,55
(1 i) (1 0,16) 1,346
= = = =
+ +
3
3 n 3
C 42.000 42.000
Fcd 26.905,83
(1 i) (1 0,16) 1,561
= = = =
+ +
4
4 n 4
C 51.000 51.000
Fcd 28.161,23
(1 i) (1 0,16) 1,811
= = = =
+ +
 2 Para Projeto B
Basta repetirmos o mesmo processo que fizemos para o projeto A 
que encontraremos os valores a seguir:
Fcd1 = 38.790
Fcd2 = 33.435
Fcd3 = 28.845
Fcd4 = 24.840
Observação: podem ser usados diversos métodos para avaliar os dois 
projetos de investimento. Colocamos em evidência os principais.
8.4 Método do Valor Presente Líquido (VPL)
Consiste em determinar um valor no momento inicial, a partir de um 
fluxo de caixa formado por receitas e dispêndios, descontados com a taxa 
– 86 –
Matemática Financeira
mínima de atratividade. Esse método é conhecido como método do valor 
atual, ou do valor presente líquido.
Fórmula
VPL = ∑Fcd – I.I.
VPL = Valor Presente Líquido
∑Fcd = Somatório de fluxo de caixa descontado
I.I. = Investimento Inicial
VPL A = 127.093 – 140.000 = –12.907
VPL B = 125.910 – 120.000 = 5.910
Por esse método pode‑se concluir que o projeto B é mais viável, pois o 
VPL é maior e positivo.
8.5 Método do prazo de retorno (Payback)
Fluxo de Caixa
Investimento 
Inicial
Fluxo de Caixa Descontado
Ano 01 Ano 02 Ano 03 Ano 04 ∑
Projeto A
Do Ano 140.000 53.444 18.575 26.922 28.152 127.093
Acumulado 140.000 (86.556) (67.981) (41.059) (12.907) ____
Projeto B
Do Ano 120.000 38.790 33.435 28.845 24.840 125.910
Acumulado 120.000 (81.210) (47.775) (18.930) 5910 ____
O payback do projeto A ocorre entre o 4° e o 5° ano.
Para calcular a fração de tempo, temos:
12.907
0,4585
28.152
= = 0,4585, ou seja, 4,4585 0,4585 . 12 = 5,502
0,502 . 30 dias = 15 dias
– 87 –
Análise de investimentos
Portanto, o investimento do projeto A será recuperado em aproximada‑
mente 4 anos, 5 meses e 15 dias.
O payback do projeto B ocorre entre o 3° e o 4° ano.
18.930
0,7621
24.840
= = ou seja, em 3,7621
0,7621 = 12 meses = 9,1452
0,1452 = 30 dias = 4,356
Portanto, o investimento do projeto B será recuperado