História da Teoria dos Grupos

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Tema: História da Matemática dos séculos XIX e XX.
Teoria dos grupos
Acadêmicos:
Resumo
A teoria dos grupos trata-se de um dos temas mais importantes para nossa atual sociedade. Originada no século XIX. O conceito de grupos é uma das ferramentas mais utilizadas na Matemática Moderna. Dentre as diversas áreas da Ciência nas quais este conceito é fundamental estão incluídas a teoria quântica de campos, as estruturas atômica e molecular, e a cristalografia. Nesse sentido, a origem histórica dessa abordagem demonstra-se de fundamental importancia para o desenvolvimento das ciências, especialmente do âmbito matemático. Assim, a presente pesquisa se deu através de leitura, seleção e interpretação de textos pertinentes a essa temática. 
PALAVRAS-CHAVE
INTRODUÇÃO
Amatemática é a ciência da descrição, da demonstração e dos cálculos (como eles se desenvolveram no mundo?), de acordo com o matemático Ronald Brown.
Podemos identificar vários ramos: a geometria (a teoria sobre as retas, as áreas e os ângulos), a aritmética (a teoria dos números), a mecânica (a teoria das formas e seus movimentos) e o estocástico (estudo dos fenômenos aleatórios)
Os egípcios formaram o primeiro povo que utilizou a matemática (sim, os primeiros professores de matemática eram egípcios!). As primeiras escavações do século XIX permitiram encontrar na Mesopotâmia as tábuas feitas de argila com escrituras cuneiformes que datam da primeira dinastia da Babilônia (1800 - 1500 a.C.)! Essas tábuas eram utilizadas para expressar cálculos e números até o período grego (600-300 a.C.). Se você se interessa sobre a história, saiba os 5 mitos sobre a matemática!.
O conceito de grupo emergiu do estudo de equações de polinômios com Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições vindas de outros ramos da matemática, como teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e se estabeleceu firmemente por volta de 1870. A teoria dos grupos moderna - uma área muito ativa de pesquisa - estuda os grupos em si mesmos. Para explorá-los, matemáticos formularam várias noções para quebrar grupos em partes menores e mais compreensíveis, como subgrupos, grupos quocientes e grupos simples. Além das propriedades abstratas, matemáticos estudam as diferentes maneiras em que um grupo pode ser expresso concretamente (as representações do grupo), tanto de um ponto-de-vista teorético quanto prático-computacional. Em particular, uma teoria ricamente desenvolvida é a dos grupos finitos, que culminou com a monumental classificação dos grupos simples finitos, completada em 1983.
Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas.
1. REFERENCIAL
Avanços nas teorias dos números:
O conceito de grupos é uma das ferramentas mais utilizadas na Matemática Moderna. Dentre as diversas áreas da Ciência nas quais este conceito é fundamental estão incluídas a teoria quântica de campos, as estruturas atômica e molecular, e a cristalografia, onde tal conceito é utilizado para a construção de outras estruturas algébricas, como anéis, corpos, e espaços vetoriais, uma vez que estes podem ser vistos como grupos dotados de operações e axiomas adicionais (SOUZA, 2012).
Em matemática, um grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a muitas estruturas matemáticas familiares - e.g. os números inteiros munidos da adição formam um grupo - a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do grupo e sua operação. Isso permite lidar-se com entidade de origens matemáticas completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em inúmeras áreas - dentro e fora da matemática - os tornam um princípio organizador central da matemática contemporânea.
A teoria dos grupos tem sua origem no trabalho do matemático francês Évariste Galois (1811-1832) sobre a solubilidade por radicais de equações polinomiais. Outros matemáticos, dentre eles o suíço Leonard Euler (1707-1783), o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813), o norueguês Niels Henrik Abel (1802 -1829), e o italiano Paolo Ruffini (1765-1822), também colaboraram para o crescimento desta área, com contribuições na teoria das equações algébricas, na teoria de números e na geometria (SOUZA, 2012).
O britânico Arthur Cayley (1821 -1895) foi quem primeiro definiu o conceito moderno de grupo, a quem é atribuído o célebre dito: "Um grupo é definido por meio de leis que combinam seus elementos". Porém, tal conceito não ganhou real aceitação até as apresentações do alemão Walther Franz Anton von Dyck(1856-1934) em 1882 (SOUZA, 2012).
A primeira grande fase da teoria dos grupos finitos atingiu o seu ápice no período imediatamente antes da Primeira Guerra Mundial com os trabalhos do alemão Ferdinand Georg Frobenius (1849 -1917), do inglês William Burnside (1852-1927) e do bielorrusso Issai Schur (1875-1936) (SOUZA, 2012).
Depois de 1928, novas e decisivas contribuições foram feitas pelo também inglês Philip Hall (1904-1982), pelo alemão Helmut Wielandt (1910-2001) e, no campo de representações de grupos, pelo também alemão Richard Dagobert Brauer (1901-1977). A classificação foi completada em 1982 com a participação de centenas de matemáticos, liderados pelo norte-americano Daniel Gorenstein (1923-1992) (SOUZA, 2012).
O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números. Buscando descrever as simetrias de equações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial, Évariste Galois (1811-1832) deu origem à teoria dos grupos. Em 1832, por meio de uma carta escrita ao seu amigo Auguste Chevalier, Galois esboçou o seu famoso trabalho sobre solubilidade por radicais, introduzindo o conceito de grupo solúvel. O problema consistia em mostrar que uma equação polinomial admite solução por radicais se seu grupo é solúvel (SOUZA, 2012).
Embora não tendo esse trabalho reconhecido em vida, devido a sua morte precoce no mesmo ano em que o escreveu, suas descobertas foram publicadas mais tarde por Chevalier em Revue Encyclopédique. Outras memórias e manuscritos de Galois foram publicados por Joseph Liouville (1809 -1882) em 1846 em seu Journal de Mathématique, e por Camille Jordan (1838-1902) em 1870 em seu livro Traité des Substitutions. Tais trabalhos ajudaram a substanciar e divulgar a teoria de Galois. O subsequente interesse por essa teoria ocasionou o surgimento da teoria geral dos grupos, cuja expansão resultou nas assim chamadas estruturas algébricas, atribuindo -se ao conceito de grupo um papel fundamental e proeminente na álgebra abstrata (SOUZA, 2012).
Um grupo é um conjunto não vazio munido de uma operação binária, denotada por G, a qual satisfaz as seguintes propriedades: (1) [associativa] (a x b) x c= a (b x c), quaisquer que sejam os elementos a, b, c de G; (2) [elemento neutro] Existe um elemento e em G tal que e x a= a, para todo elemento a € G; (3) [elemento inverso] Para todo a € G, existe um elemento b em G com b x a= e (SOUZA, 2012).
Após a definição moderna do conceito de grupo a teoria dos grupos se desenvolveu rapidamente, e foi tão influente que sua expansão rompeu os limites da Álgebra. Grupos aparecem em todas as partes da Matemática e são usados nas ciências em geral para determinar a simetria interna de uma estrutura na forma de automorfismos de grupo. Uma simetriainterna está normalmente associada com alguma propriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva este invariante forma um grupo, assim chamado grupo de simetria (SOUZA, 2012).
Na área da Matemática chamada topologia algébrica, grupos são usados para descrever os invariantes de espaços topológicos. Tais grupos incluem o grupo fundamental, o grupo de homologia e o grupo de cohomologia. A noção de grupo veio a alcançar um grande papel codificador em geometria e em análise combinatória, outro ramo da Matemática. Os conceitos de grupo de permutação e de ação de um grupo são frequentemente utilizados simplificar a contagem de um conjunto de objetos (SOUZA, 2012).
Esse século marcou também o início dos estudos em eletricidade com Gauss, Ampere e Maxwell e sua teoria do eletromagnetismo. Mach trabalhou nas experiências em física teórica, mais precisamente em física de sensações sob as forças de inércia que serviram a um gênio do século XIX.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
Esta pesquisa é de natureza qualitativa, tendo-se como temática “A origem e história da teoria dos grupos”. Sua constituição ocorreu a partir de material teórico referente ao tema, publicados em livros impressos, Sites especializados, em particular Scielo e Google Acadêmico. Nesse sentido, foi feita pesquisa, levantamento, seleção e discussão do material encontrado referente ao tema.
Nos resultados e discussões, serão apresentados os aspectos dessa teoria, bem como os teóricos que possibilitaram seu desenvolvimento.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Permutação simples de n elementos são sequências que podem se formar com n desses elementos, tais que essas sequências diferem uma da outra apenas pela ordem de seus elementos. O número de modos de ordenar n objetos distintos é: Pn = n · (n − 1) · (n − 2)· · · 1 = n! Definimos P0 = 0! = 1. Observe que a fórmula de permutação simples, nada mais é do que uma simples aplicação do princípio multiplicativo, pois para se formar uma sequência e diante de n objetos, há n possibilidades para se escolher o primeiro elemento, n − 1 possibilidades para se escolher o segundo, n − 2 possibilidades para se escolher o terceiro, e assim sucessivamente, até termos apenas uma possibilidade para se escolher o último elemento. As permutações são extremamente importantes e aparecem com muita frequência em questões de análise combinatória.
Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
4. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo
4! = 4*3*2*1 = 24
Exemplo 1
5. Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
6. Resolução:
7. Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equiespaçados em torno de um círculo, se considerarmos equivalentes as disposições que possam coincidir por rotação? A resposta desse problema será representada por (P C)n, o número de permutações circulares de n objetos distintos. É fácil ver que (P C)n é diferente de Pn. Por exemplo, no caso de n = 3 tem-se P3 = 3! = 6 formas distintas de colocar três objetos distintos em três lugares.
Observe que nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas permutações circulares o que importa é apenas a posição relativa dos objetos entre si. Nas três primeiras figuras, olhando os círculos em sentido antihorário, o número um precede o número dois, que precede o número três, que precede o número um; portanto, a posição relativa entre os objetos é a mesma.
8. CONSIDERAÇÕES
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/rwprobst/formacao-academica/curriculo/primos.pdf
Teoria de Galois: uma Introdução Celso Fernandes Araujo Filho IMECC-UNICAMP - celso@ime.unicamp.br Antonio Jos´e Engler (orientador) IMECC-UNICAMP - engler@ime.unicamp.b
Josiney A. Souza Uma nota sobre a teoria dos grupos: da teoria de Galois à teoria de Gauge. Revista Brasileira de História da Matemática Vol. 12 no 24 (abril/2012-agosto/2012) -pág. 71-81Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática ISSN 1519-955. http://www.rbhm.org.br/index.php/RBHM/article/view/108/92.
Santos, Francicarlos de Medeiros. Uma Introdução à Teoria dos Grupos / Francicarlos de Medeiros Santos. - Caicó: UFRN, 2018.
Souza, Rodrigo Luiz de Souza Uma Breve Introdução à Teoria de Grupos / Rodrigo Luiz de Souza Souza ; orientador, Fernando de Lacerda Mortari - Florianópolis, SC, 2014. 73 p.
Epifanio Lima Santos. Fundamentos de Teoria de Grupos e Aplica¸c˜oes ao Jogo Resta Um. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE PRO-REITORIA DE P ´ OS GRADUAC¸ ´ AO E PESQUISA ˜ PROGRAMA DE POS GRADUAC¸ ´ AO EM MATEM ˜ ATICA ´ MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMATICA ´ EM REDE NACIONAL-PROFMAT. S˜ao Cristov˜ao, 2015.
Mendes , Dan i e l Fer re i ra. M538a Abrangênc i a das permut ações na Aná l i se Comb i natór i a / Dan i e l Fer re i ra Mendes . - - 2014. 67 f . : i l . ; 30 cm. Di sser t ação (mes t rado) - Un i vers i dade de Bras í l i a, Depar t amento de Mat emát i ca, Mes t rado Prof i ss i ona l i zant e em Matemát i ca, 2014. I nc l u i b i b l i ograf i a. Or i entação: Ru i Se imet z .
de Souza, Rodrigo Luiz Permutações, Grupos e Simetrias Ciência e Natura, vol. 37, núm. 3, 2015, pp. 289-307 Universidade Federal de Santa Maria Santa Maria, Brasil.