Cálculos de Derivadas e Integrais

Prévia do material em texto

**Explicação:** Para encontrar a segunda derivada de \(f(x)\), encontramos primeiro a 
primeira derivada, então derivamos novamente. Substituindo \(x = 2\), obtemos \(f''(2) = 
6\). 
 
34. Qual é o valor de \( \int_0^1 x^2 \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** c) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** Esta é uma integral básica, cujo resultado é \(\frac{x^3}{3}\) quando 
integrado, então \(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\). 
 
35. Qual é a solução para a equação \(3\sin^2(x) - 2\sin(x) - 1 = 0\) no intervalo \([0, 2\pi]\)? 
 a) \(x = \frac{\pi}{3}\) 
 b) \(x = \frac{5\pi}{3}\) 
 c) \(x = \frac{\pi}{6}\) 
 d) \(x = \frac{5\pi}{6}\) 
 **Resposta:** c) \(x = \frac{\pi}{6}\) 
 **Explicação:** Podemos utilizar a fórmula quadrática ou fatoração para resolver esta 
equação quadrática, então verificar as soluções dentro do intervalo dado. 
 
36. Se \(f(x) = e^{x^2}\), qual é o valor de \(f'(0)\)? 
 a) \(f'(0) = 0\) 
 b) \(f'(0) = 1\) 
 c) \(f'(0) = 2\) 
 d) \(f'(0)\) não existe 
 **Resposta:** b) \(f'(0) = 1\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{x^2}\) em \(x = 0\) é \(2x e^{x^2}\). Substituindo \(x = 
0\), obtemos \(f'(0) = 0 \times e^0 = 1\). 
 
37. Qual é o valor de \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)? 
 a) \(\pi\)