Atividade A2 - CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

Prévia do material em texto

CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL
Se foi útil para você deixe um joinha 
Pergunta 1)Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é um cálculo muito simples.
Nesse contexto, encontre o limite image0015e304361_20211112221627.gif  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta: 4
 O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o polinômioimage0025e304361_20211112221627.gif, utiliza-se a diferenças dos quadradosimage0035e304361_20211112221627.gif, portanto,image0045e304361_20211112221627.gif, e o cálculo do limite é justificado da seguinte forma:image0055e304361_20211112221627.gif.
Pergunta 2)Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: image0225e304361_20211112221617.gif funções contínuas não deriváveis, image0235e304361_20211112221618.giffunções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,image0245e304361_20211112221618.giffunções contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe image0255e304361_20211112221618.gif. Toda função polinomial racional é uma função de classe image0265e304361_20211112221618.gif, ou seja admite as derivadas de todas as ordens.
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função image0275e304361_20211112221618.gif, sabendo que image0285e304361_20211112221619.gif, e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para image0275e304361_20211112221619.gif.
Resposta: image0355e304361_20211112221621.gif
A derivada correta é igual aimage0295e304361_20211112221619.gif. Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a:image0305e304361_20211112221619.gif. Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos: 
 image0315e304361_20211112221619.gif
Pergunta 3)Uma função, image0535e304361_20211112221701.gifdefinida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto image0545e304361_20211112221701.gif: as derivadas laterais a direita, image0555e304361_20211112221701.gif, e a derivada lateral à esquerda, image0565e304361_20211112221702.gif, existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
image0575e304361_20211112221702.gif
image0585e304361_20211112221702.gif
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função  image0595e304361_20211112221702.gif é derivável em image0605e304361_20211112221702.gif.
II. (  ) A derivada de image0595e304361_20211112221703.gifexiste, pois as derivadas laterais são: image0615e304361_20211112221703.gif.
III. (  ) A função image0595e304361_20211112221703.gif não é derivável em image0625e304361_20211112221703.gifporque image0595e304361_20211112221703.gif não é contínua em image0605e304361_20211112221704.gif.
IV. (  ) A função image0635e304361_20211112221704.gif é derivável em image0605e304361_20211112221704.gif, porque image0595e304361_20211112221704.gif é contínua em image0605e304361_20211112221704.gif.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta: F, F, V, F.
 A afirmativa I é falsa, sendo que image0645e304361_20211112221705.gif é derivável emimage0655e304361_20211112221705.gif, logo,image0665e304361_20211112221705.gif. De fato:image0675e304361_20211112221705.gif
image0685e304361_20211112221705.gif.
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada deimage0645e304361_20211112221706.gifexiste, poisimage0695e304361_20211112221706.gif, pois,image0665e304361_20211112221706.gif. De fato:image0675e304361_20211112221706.gif image0685e304361_20211112221706.gif.
A afirmativa III é verdadeira, dado queimage0645e304361_20211112221706.gif não é derivável emimage0655e304361_20211112221707.gif, porqueimage0645e304361_20211112221707.gif não é contínua emimage0655e304361_20211112221707.gif. De fato, image0665e304361_20211112221707.gif, portanto, f não é derivável em x=2.
image0705e304361_20211112221708.gif
image0715e304361_20211112221708.gif
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez queimage0725e304361_20211112221708.gif é derivável emimage0735e304361_20211112221708.gif porqueimage0645e304361_20211112221708.gif é contínua emimage0655e304361_20211112221708.gif. O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.
Pergunta 4)Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e  também as regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função image1145e304361_20211112221641.gif, é necessário conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de image1155e304361_20211112221641.gif
Resposta: image1245e304361_20211112221644.gif.
O valor correto éimage1165e304361_20211112221641.gif. Verifique os cálculos abaixo, em que inicialmente foi aplicada a regra operatória do quociente; em seguida, as derivadas da função logarítmica e potência. Após obter aimage1175e304361_20211112221642.gif, aplicou-se o pontoimage1185e304361_20211112221642.gifpara alcançar o resultado. Cálculos:
image1195e304361_20211112221642.gif 
image1205e304361_20211112221642.gif, desde quandoimage1215e304361_20211112221642.gif
Pergunta 5)Seja a função espaço tempo image1705e304361_20211112221647.gif, em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (image1715e304361_20211112221648.gif e tempo final image1725e304361_20211112221648.gif é dada por image1735e304361_20211112221648.gif. A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade image1745e304361_20211112221648.gif é a derivada da função espaço em relação ao tempo image1755e304361_20211112221649.gif, enquanto que a aceleração image1765e304361_20211112221649.gifé a derivada da função velocidade em relação ao tempoimage1775e304361_20211112221649.gif. Com essas informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por image1785e304361_20211112221649.gif
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando image1795e304361_20211112221649.gif e dura image1805e304361_20211112221650.gif é igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando image1795e304361_20211112221650.gif é igual a image1815e304361_20211112221650.gif.
III. O instante em que a velocidade é nula é image1825e304361_20211112221650.gif.
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta: I, III e IV, apenas.
 A afirmativa I é correta, visto que a velocidade média para o período de tempo que começa quandoimage1835e304361_20211112221650.gif e duraimage1845e304361_20211112221651.gif é igual a -25,6 m/s. De fato:image1855e304361_20211112221651.gif. A afirmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quandoimage1835e304361_20211112221651.gif é igual aimage1865e304361_20211112221651.gif.
A velocidade instantânea é dada por:
image1875e304361_20211112221651.gif A afirmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula éimage1885e304361_20211112221652.gif. De fato:image1895e304361_20211112221652.gifPor fim, a afirmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingidapela bola é de 25 metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é deimage1905e304361_20211112221652.gif eimage1915e304361_20211112221652.gif. Portanto, a altura de máxima é deimage1925e304361_20211112221652.gif.
Pergunta 6)Para derivar a função image1615e304361_20211112221635.gif, é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de image1155e304361_20211112221636.gif
Resposta: image1695e304361_20211112221639.gif 
 Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado deimage1625e304361_20211112221636.gif.
image1635e304361_20211112221636.gif
 
image1645e304361_20211112221636.gif
 
 image1655e304361_20211112221636.gif
Pergunta 7)Para derivar a função image1525e304361_20211112221633.gif, é necessário conhecer a derivada da função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função polinomial.
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de image1535e304361_20211112221633.gif
Resposta: 0
 Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada da função potência, depois a derivada da tangente e, em seguida, a derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra queimage1545e304361_20211112221633.gif. 
image1555e304361_20211112221634.gif
image1565e304361_20211112221634.gif
Pergunta 8)O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: image2145e304361_20211112221629.gif, em que image2155e304361_20211112221630.gif, 2º dígito: image2165e304361_20211112221630.gif, em que image2175e304361_20211112221630.gif, 3º dígito: image2185e304361_20211112221630.gif, em que image2195e304361_20211112221630.gif, 4º dígito: image2205e304361_20211112221631.gif, em que image2215e304361_20211112221631.gif Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.
Resposta: 2, 1, 1, 4.
De acordo com os cálculos a seguir, obteve-se o código igual a 2114. Cálculos:
1º dígito:image2225e304361_20211112221631.gif, em queimage2235e304361_20211112221631.gif .
2º dígito:image2245e304361_20211112221631.gif, em que
image2255e304361_20211112221632.gif
3º dígito:image2265e304361_20211112221632.gif, em queimage2275e304361_20211112221632.gif
image2285e304361_20211112221632.gif
4º dígito:image2295e304361_20211112221632.gif, em queimage2305e304361_20211112221632.gif
image2315e304361_20211112221633.gif
Pergunta 9)Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da  regra prática de Ruffini para facilitar  os cálculos.
 Nesse sentido, encontre o limite image0135e304361_20211112221645.gif e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta: image0215e304361_20211112221647.gif
O valor correto para o limite é igual a 21/19. Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini,image0145e304361_20211112221645.gifeimage0155e304361_20211112221645.gif, portanto, o valor do limite é igual a :image0165e304361_20211112221646.gif
Pergunta 10)Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função racional polinomial: image0755e304361_20211112221628.gif. Chamou a atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir.
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas.
 
I. A derivada da função é  igual image0765e304361_20211112221629.gif
Pois:
II. para derivar image0775e304361_20211112221629.gifnesse caso é necessário usar a regra do quociente.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta: A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional é igual aimage0785e304361_20211112221629.gif, diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.