matematica alto nivel (57)

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d) \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\) não existe 
 **Resposta:** d) \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\) não existe 
 **Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = \frac{\pi}{4}\) não existe porque \(f(x)\) tem 
uma descontinuidade evitável nesse ponto. 
 
94. Qual é o resultado de \(\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2} \ln|1 + e^{2x}| + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \ln|1 - e^{2x}| + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} \ln|1 + e^{x}| + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \ln|1 - e^{x}| + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} \ln|1 + e^{2x}| + C\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a substituição direta, 
deixando \(u = e^x\). 
 
95. Se \(f(x) = \tan(x) - x\), qual é o valor de \(f'(0)\)? 
 a) \(f'(0) = -1\) 
 b) \(f'(0) = 0\) 
 c) \(f'(0) = 1\) 
 d) \(f'(0)\) não existe 
 **Resposta:** b) \(f'(0) = 0\) 
 **Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = 0\) é \(\sec^2(x) - 1\). Substituindo \(x = 0\), 
obtemos \(f'(0) = 0\). 
 
96. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{3x^3 + 4x^2 + 2}\)? 
 a) \(\frac{2}{3}\) 
 b) \(\frac{3}{4}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Para calcular este limite, dividimos todos os termos pela maior 
potência de \(x\), que é \(x^3\), e então determinamos o limite conforme \(x\) se aproxima 
do infinito.