Matematica avançada (48)

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**Explicação:** A derivada de \( \ln(5x) \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{x} \). 
Substituindo \( x = 1 \), temos \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \). 
 
143. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) 
 d 
 
) \( \frac{\pi}{12} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos^2(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{6} \) é \( \frac{x}{2} + 
\frac{\sin(2x)}{4} \). Avaliando em \( \frac{\pi}{6} \) e \( 0 \), temos \( \frac{\frac{\pi}{6}}{2} + 
\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{4} - (0 - 0) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi + 
3\sqrt{3}}{12} \). 
 
144. Se \( \log_4(y) = 6 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 64 \) 
 b) \( 16 \) 
 c) \( 256 \) 
 d) \( 1024 \) 
 **Resposta:** c) \( 256 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 4^6 = y \), então \( y^3 = 4^{6 \cdot 3} = 
4^{18} = 262144 \). 
 
145. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** c) \( +\infty \) 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada.