Matematica avançada (138)

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**Resposta:** b) \(f'(x) = \frac{3}{x}\) 
 **Explicação:** Utilizando a regra da cadeia, a derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot 
u'\), então a derivada de \(\ln(x^3)\) é \(\frac{1}{x^3} \cdot 3x^2\), simplificando para 
\(\frac{3}{x}\). 
 
217. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x}\)? 
 a) \(0\) 
 b) \(1\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) \(1\) 
 **Explicação:** Utilizando a definição de limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} = 
\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x 
 
)\cos(x)}{3x} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{3} = \frac{2}{3}\). 
 
218. Qual é a solução da equação \(\tan(x) = 1\) no intervalo \([0, 2\pi]\)? 
 a) \(x = \frac{\pi}{4}\) 
 b) \(x = \frac{3\pi}{4}\) 
 c) \(x = \frac{5\pi}{4}\) 
 d) \(x = \frac{7\pi}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(x = \frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** No intervalo \([0, 2\pi]\), a solução para \(\tan(x) = 1\) é \(x = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
219. Se \(f(x) = \cos(x) + e^x\), qual é a derivada de \(f(x)\)? 
 a) \(f'(x) = -\sin(x) + e^x\) 
 b) \(f'(x) = -\cos(x) + e^x\) 
 c) \(f'(x) = -\sin(x) + xe^x\) 
 d) \(f'(x) = -\cos(x) + xe^x\) 
 **Resposta:** b) \(f'(x) = -\cos(x) + e^x\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\), e a derivada de \(e^x\) é \(e^x\).