Cálculos Matemáticos

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155. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 4 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 4 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{4\sec^2(4x)}{1} = \frac{4\sec^2(0)}{1} = 4 \). 
 
156. Se \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \), qual é o valor de \( f'(8) \)? 
 a) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{4}} \) 
 b) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{2}} \) 
 c) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \) 
 d) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{2}} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \sqrt[3]{x^2} \) em relação a \( x \) é \( 
\frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} \). Substituindo \( x = 8 \), temos \( f'(8) = \frac{2 \cdot 
8}{3\sqrt[3]{8^4}} = \frac{16}{3\sqrt[3]{4096}} = \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \). 
 
157. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \sqrt{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{3} \) é \( -\cos(x) \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{3} \) e \( 0 \), temos \( -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - 
(-1) = \frac{1}{2} \). 
 
158. Se \( \log_{11}(y) = 3 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 1331 \)