Identidades e Cálculos Matemáticos

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c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Utilizando a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), 
podemos reescrever a expressão como \( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^3(x)} \). Ao substituir \( 
x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{2 \cdot 0 \cdot 1}{0^3} = \frac{0}{0} \), uma forma 
indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador 
em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} \frac{2(\cos^2(x) - \sin^2(x))}{3\sin^2(x)\cos(x)} 
\). Substituindo \( x = 0 \), obtemos \( \frac{2 \cdot (1 - 0)}{3 \cdot 0 \cdot 1} = \frac{2}{0} = 
+\infty \). 
 
172. Se \( f(x) = \ln(5x) \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) \( \ln(5) \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** d) \( 1 \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(5x) \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{x} \). 
Substituindo \( x = 1 \), temos \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \). 
 
173. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{12} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos^2(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{4} \) é \( \frac{x}{2} + 
\frac{\sin(2x)}{4} \). Avaliando em \( \frac{\pi}{4} \) e \( 0 \), temos \( \frac{\frac{\pi}{4}}{2} + 
\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{4} - (0 - 0) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{\pi + 2}{4} \). 
 
174. Se \( \log_4(y) = 6 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 64 \) 
 b) \( 16 \) 
 c) \( 256 \)