Atividade A2 - Cálculo aplicado uma variável

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1- Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir.
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas.
 I. A derivada da função é  igual 
Pois:
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente.
 A seguir, assinale a alternativa correta.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. – Correta
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional é igual a, diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.
2- As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere  e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) Se , então .
II. (  ) Se , então 
III. (  ) Se , então .
IV. (  ) Se  então .
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
· V, F,V,F -Correta
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se, então, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se, então, pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se, então, como consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que seentão
3- Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para  funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da  regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o polinômio, utiliza-se o quadrado da diferença, portanto:. Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto. Assim,
4- Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como  A forma implícita pode ser representada como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, deve-se derivar a função dada na forma implícita.
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que determine o valor de .
Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que constatam que o valor da derivada é igual a  De fato, temos:
 
5- Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, é um cálculo muito simples.
Nesse contexto, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o polinômio, utiliza-se a diferenças dos quadrados, portanto,, e o cálculo do limite é justificado da seguinte forma: .
6- Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final  é dada por . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo. Com essas informações, considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos.
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e  é igual a 40,0  m/s. 
II. A velocidade instantânea quando  é igual a .
III. A aceleração é sempre constante.
IV. A aceleração quando o tempo é  é igual a  . 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
II,IV Resposta correta
 A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a 40,0  m/s. De fato:. A afirmativa II é correta, uma vez que a velocidade instantânea quando é igual a. De fato: A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é é igual a. De fato:
7- Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função polinomial. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
Resposta correta 0. Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada da função potência, depois a derivada da tangente e, em seguida, a derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra que.
8- Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como  A forma implícita pode ser representada como , como, por exemplo, a função  Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a  variável dependente  y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A derivada da função  aplicada ao ponto é igual a .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta correta As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
 A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é igual a e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual a. Portanto, a segunda asserção justifica a primeira.
9- Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da  regra prática de Ruffini para facilitar  os cálculos.
 Nesse sentido, encontre o limite  e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
Resposta correta 21/19 O valor correto para o limite é igual a 21/19, pois, inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, a indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini,e, portanto, o valor do limite é igual a:
10- Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
Resposta correta 13/24. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de.