Atrito e Ruptura em Solos

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Disciplina:
Geotecnia Experimental (CIV-2553)
Prof. Vitor Nascimento Aguiar
aguiar@puc-rio.br
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Curso de Pós-graduação em Engenharia Civil
Aula 5:
Atrito no interior da massa de solo e
Critério de ruptura de Mohr Coulomb 
1
21- O fenômeno do atrito entre corpos sólidos
Leis de atrito de Coulomb (1781)
1ª Lei do atrito: “A força tangencial necessária a vencer o atrito entre dois corpos 
sólidos é independente da área de contato entre eles.” 
Ver (Lambe & Whitman, 1969), capítulo 2
2ª Lei do atrito:
3Leis de atrito de Coulomb (1781)
“A força tangencial necessária a vencer o atrito entre dois 
corpos sólidos é proporcional à força normal entre eles.” 
Matematicamente, as leis de Coulomb são traduzidas como:
T � f N , onde: T: força tangencial necessária para promover o movimento 
relativo entre dois corpos sólidos
N: força normal entre os corpos sólidos
f: coeficiente de proporcionalidade
f � T
N
4
Visão microscópica do atrito segundo Bowden & Tabor (1950)
Olhando em um microscópio, mesmo a mais polida das superfícies apresentam ainda 
várias irregularidades.
Quando em contato tais superfícies se tocam através apenas do topo de algumas 
irregularidades.
A área real de contato é apenas uma 
fração muito pequena da área de contato 
aparente.
Ocorre uma grande concentração de
tensões nos pontos de contato, ainda
que a força normal seja relativamente
pequena.
Tal concentração provoca o escoamento
do material nos pontos de contato,
formando a chamada “solda fria”
(Bowden & Tabor, 1950).
Levando-se em consideração que a tensão de escoamento (σy) para um determinado 
material é constante, e que em cada ponto de contato a resultante de forças é vertical 
(o que é uma hipótese), o equilíbrio de forças na direção vertical leva a:
5
N � � σ� A
��
�
Onde:
n: número de contatos
σy: tensão de escoamento 
Ai: área do contato i
Como σy é constante: N � σ� � A
��
�
Assim, a área de contato real é 
proporcional à força normal N.
N: força normal
Admitindo-se que a resistência ao cisalhamento por 
unidade de área vale (r), então a força externa T 
necessária para romper os contatos vale: 
T � r � A
��
�
E o coeficiente de atrito (f) vale:
f � T
N f � r
σ�
Hipótese utilizada por Terzaghi (1925) no livro pioneiro 
de Mecânica dos Solos “Erdbaumechanik”.
6Abordagem macroscópica de Taylor (1948)
N: força vertical total agindo sobre o corpo 
(incluindo o seu peso próprio).
R: força que a superfície faz no bloco.
Bloco em repouso sobre uma superfície
Essas forças verticais, tornam disponíveis 
uma força Tf , sendo que:
T� � N tan ∅ � f N
f é o coeficiente de atrito e φ é o ângulo de atrito. Ambos são características dos 
materiais em contato e, para a maioria dos materiais, independe do valor de N.
f � tan ∅
A força Tf não é chamada a agir enquanto não for aplicada uma força horizontal T.
TfTf
R = N
7
(A) (B) (C) (D)
Situação (A): como não há força horizontal aplicada, não há mobilização da força 
de atrito. 
Situação (B): uma pequena força horizontal T’ é aplicada ao corpo. A resultante entre 
N e T’ é a força P’. O ângulo θ entre P’ e N é chamado de ângulo de obliquidade da 
resultante do sistema de forças. Como T’ < Tf (θ < φ), então não há escorregamento.
Situações (C e D): uma força horizontal T é aplicada ao corpo. Como T = Tf (θ = φ) , 
toda a força de atrito é mobilizada e o escorregamento é iminente.
θ : ângulo que a 
resultante do sistema de 
forças faz com a normal 
à superfície de contato 
(A) (B) (C) (D)
8
Se a força normal (N) ou o ângulo de atrito (φ) for zero, não há força de atrito disponível. 
Conclui-se que:
Se o ângulo de obliquidade da resultante do sistema de forças (θ) for menor que o
ângulo de atrito (φ), somente uma parcela da força de atrito disponível é chamada a agir
e não há perigo de deslizamento.
Quando o ângulo de obliquidade (θ) for igual a φ, todo o atrito estará mobilizado e o 
escorregamento é iminente. O critério de escorregamento é dado por uma obliquidade 
igual ao ângulo de atrito.
92- Atrito interno em uma massa de solo
Um dado estado de tensões qualquer na
massa de solo (mesmo o hidrostático)
provoca o aparecimento de forças de contato
normais (N) e cisalhantes (T) entre os grãos.
Forças de contato provocam 
deformações elásticas e plásticas 
nos grãos individualmente 
(principalmente nas regiões de 
contato), podendo eventualmente 
ocorrer quebra de grãos.
Em alguns pontos de contato, as
forças cisalhantes T podem superar
a resistência por atrito dado por N
tan(φµ), onde φµ é o ângulo de atrito
mineral-mineral, provocando o
movimento relativo entre os grãos
(deslizamento e rolamento).
A deformação da massa de elemento de solo como um todo será dado, então por:
Deformação do 
elemento de solo = Deformação dos grãos + quebra dos grãos + movimento 
relativo entre os grãos (de longe o mais importante)
A depender do estado de tensões imposto ao elemento de solo, podem ocorrer a
formação de zonas bem definidas dentro da massa, com a tendência de se
deslocarem, umas em relação as outras.
1010
A resistência ao cisalhamento ao longo de planos no interior da massa de solo é
análogo ao deslizamento entre corpos rígidos.
Mas, no caso dos solos, tal resistência ao cisalhamento depende da tensão normal
efetiva (σ’) atuante no plano potencial de deslizamento e do ângulo do atrito interno
do solo (φ’).
Ângulo de atrito 
interno do solo (φ’)
Propriedade do conjunto 
de grãos
Ângulo de atrito 
mineral-mineral (φµ)
Propriedade do mineral 
que forma os grãos
A resistência ao cisalhamento nos solos, embora análoga a resistência 
ao cisalhamento entre corpos sólidos, é um pouco mais complexa. 
1111
Nas areias, por exemplo:
Resistência ao cisalhamento 
ou o ângulo de atrito interno 
(φ’) é composto por:
Atrito por deslizamento e rolamento entre 
os grãos
Entrosamento ou travamento (“interlocking”)
O ângulo de atrito interno (φ’) assume valores que, mesmo para uma determinada 
areia, variam significativamente com o estado de compacidade das areias, afetando 
principalmente o “interlocking”. 
O ângulo de atrito mineral-mineral (φµ) do quartzo é da ordem de 26º.
O ângulo de atrito (φ’) das areias é, em geral, superior a 26º.
12123 - Resistência ao cisalhamento dos solos
A ruptura dos solos é quase sempre por cisalhamento. 
As tensões cisalhantes (macroscópicas) impostas por um estado de tensões aplicado
provocam deformações cisalhantes que, vão mobilizando resistência por atrito entre
os grãos (rolamento e deslizamento + interlocking).
A resistência ao cisalhamento (s) é máxima tensão por cisalhamento (τmáx) que um 
solo é capaz de suportar no plano de ruptura.
A ruptura por cisalhamento ocorre quando o 
solo passa a deformar-se sem acréscimos 
de tensões cisalhantes. 
Os materiais rompem por cisalhamento ou separação. 
Diz-se que um solo encontra-se em um estado de ruptura quando:
1313
Martins (1992):
(a) Em um ensaio com velocidade deformação controlada (constante):
dq
dε�
≤ 0
(b) Em um ensaio com tensão controlada:
d�ε�
dt� ≥ 0
Para um dado q aplicado constante (q = cte):
e
dε�
dt > 0
14144 – Critério de ruptura de Mohr-Coulomb
Critérios de ruptura são formulações que procuram refletir as condições em 
que ocorre a ruptura do material (Sousa Pinto, 2002).
Critério de ruptura Mohr para um material qualquer
Não há ruptura enquanto os círculos se encontrarem no interior de uma região do 
plano τ x σ, delimitada por uma curva chamada de envoltória, relativos a estados 
de ruptura observados experimentalmente para o material.
A ruptura ocorre quando o círculo de maior diâmetro (σ1 - σ3) encosta na envoltória. 
σ2 não exerce nenhuma influência no critério de ruptura Mohr.
O plano de ruptura é sempre paralelo à direção de σ2.
1515Cada material possui a sua própria envoltória de resistência, sendo sua 
determinação feita por ensaios de laboratório.
Se umdado par (σ, τ) que atua em um dado plano do material provoca a ruptura 
então o mesmo ocorrerá com (σ, - τ). Portanto existem duas envoltórias de Mohr, 
simétricas em relação ao eixo σ.
Se o estado de tensões em um ponto 
deste material for dado pelo círculo de 
Mohr 1, não há ruptura em nenhum
plano. 
Se o estado de e tensões em um ponto 
deste material for dado pelo círculo de 
Mohr 2, há ruptura no plano onde o par 
(σ,τ) é o ponto G. 
Não é possível aplicar o estado de tensões dado pelo círculo de Mohr 3.
τ
B
σ
AF
O
G
M
C
N
E
G'
M'
C'
N'
E'
envoltória de
resistência
de Mohr
1
2
3
1616
Quando a envoltória de Mohr puder ser representada por uma reta ela é chamada 
de Mohr-Coulomb, pois combina o critério de ruptura de Mohr com a 2ª lei de 
atrito de Coulomb, isto é: 
Admite-se que o melhor critério que representa a ruptura dos solos é o critério de 
Mohr-Coulomb.
τ � f σ Sendo f o coeficiente de proporcionalidade ou 
coeficiente de atrito (coeficiente angular da reta).
De acordo com a segunda parte do princípio das tensões efetivas:
“Todos os efeitos mensuráveis oriundos da variação do estado de tensões,
tais como compressão, distorção e variação da resistência ao cisalhamento,
são devidos exclusivamente à variação do estado de tensões efetivas.”
Quem comanda o comportamento dos solos são as tensões efetivas.
Portanto, as análises que ligam os efeitos (deformações e ruptura) às causas
(variações dos estados de tensões) devem ser feitas em termos de tensões
efetivas, ou seja, usando-se o círculo de Mohr das tensões efetivas.
1717
Logo, a envoltória de Mohr-Coloumb é escrita em termos de tensões efetivas.
τ�� � σ��� tan ∅� + c�
f: failure
c’: pode ser coesão verdadeira (cimentação 
entre os grãos) ou meramente o coeficiente 
linear fruto do ajuste (sem significado físico), 
chamado de intercepto de coesão. 
s � τ��
Resistência ao 
cisalhamento sob σ’ = 0
Em um ponto de uma massa de solo, as tensões normal efetiva (σ’) e cisalhante (τ) 
em um dado plano cujo vetor normal faz um ângulo α com a direção principal maior, 
são dadas por:
1818
σ� � σ
� + σ#�
2 + σ
� − σ#�
2 cos 2α e τ � σ
� − σ#�
2 sen 2α
Alternativamente, em qualquer plano, a 
tensão cisalhante τ pode ser expressa por: 
τ � σ� tan θ Onde θ é o ângulo 
de obliquidade. 
τ
σ'3 σ'σ'1
φ'
θA
θB
θC
2α
C B
A
envoltória de
resistência
1919A obliquidade representa o atrito mobilizado.
A obliquidade varia de plano pra plano atingindo o seu máximo no ponto C.
Admitindo-se um solo sem coesão verdadeira ou intercepto coesivo, equação da 
envoltória de resistência é expressa por: 
τ � σ� tan ∅� φ’: ângulo de atrito interno do solo que representa o ângulo de 
obliquidade limite.
Neste caso, mesmo a obliquidade 
máxima θc é menor que a obliquidade 
máxima limite (φ’).
Assim, não há perigo de deslizamento
em nenhum plano no ponto
representado por este estado de
tensões.
τ
σ'3 σ'σ'1
φ'
θA
θB
θC
2α
C B
A
envoltória de
resistência
Só haverá ruptura por cisalhamento quando a obliquidade máxima do círculo de Mohr
for igual à obliquidade máxima limite, ou seja, quando o círculo de Mohr tangenciar a 
envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb.
2020
A inclinação dos planos de ruptura α é dada por: α � 45° + ∅�
2
τ
σ'3 σ'1
α
φ'
plano de
ruptura
σ'1
σ'3
α
2α
planos de
ruptura
45+φ'
φ'
φ'
2
45+φ'
2
σ'
OP
2121
Relações entre σσσσ’1, σσσσ’3 e φφφφ’ na ruptura para solos não cimentados 
Observa-se que:
sen ∅� � AB
OA
Como AB vale o raio do 
Círculo de Mohr:
AB � σ
� − σ#�
2
Como OA vale a abcissa do 
centro do Círculo de Mohr: OA � σ
� + σ#�
2
Logo: sen ∅� � σ
� − σ#�
σ
� + σ#�
ou:
σ
�
σ#�
� 1 + sen ∅�
1 − sen ∅�
τ
σ'3 σ'σ'1
φ'
45º+φ'
φ'
círculo de Mohr
das tensões
efetivas
círculo de
Mohr das
tensões totais
σ'1
σ'3
(poro-pressão)
u
B
AO
2
90ºOPφ'
φ'
2222
Repetindo: σ
�
σ#�
� 1 + sen ∅�
1 − sen ∅�
Denotando-se por σ’f e τf as tensões normal e cisalhante no plano de ruptura, obtêm-se:
σ0� � OA − AB sen ∅� e 10 � AB cos ∅�
Logo: 
σ0� � σ
� + σ#�
2 − σ
� − σ#�
2 sen ∅�
e
10 � σ
� − σ#�
2 cos ∅�
τ
σ'3 σ'σ'1
φ'
45º+φ'
φ'
círculo de Mohr
das tensões
efetivas
círculo de
Mohr das
tensões totais
σ'1
σ'3
(poro-pressão)
u
B
AO
2
90ºOPφ'
φ'
2323
sen ∅� � AB
OA e tan β� � AC
OA
Mas: AB = AC = raio do círculo
Então: tan β� � sen ∅�
Para envoltória de resistência sem coesão verdadeira ou intercepto coesivo
Relações entre os parâmetros de resistência determinados em termos de σσσσ
e τ τ τ τ e em termos de p’, q.
τ
σ'3 σ'σ'1
β'
φ'
q'
p'
B
C
AO
2424Para envoltória de resistência com coesão verdadeira ou intercepto coesivo
tan ∅� � OF
EO EO � OF
tan ∅� EO � c�
tan ∅�
tan β� � OG
EO
Da mesma forma: tan β� � sen ∅�
EO � OG
tan β� EO � b�
tan β�
b�
tan β� � c�
tan ∅� b� � c� tan β�
tan ∅� b� � c� sen ∅�
tan ∅� b� � c� cos ∅�
τ
σ'3 σ'σ'1
c' = OF
b' = OG
β' φ'
β'
φ'
β' φ'
AE
G
F
B C
E
O
O
F
G