OKAGBUE (2003)

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Disciplina:
Geotecnia Experimental (CIV-2553)
Prof. Vitor Nascimento Aguiar
aguiar@puc-rio.br
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Curso de Pós-graduação em Engenharia Civil
Aula 4:
Invariantes e caminhos de tensões e de 
deformações
1
2
Um dado estado de tensões efetivas (instantâneo) pode ser representado, em duas
dimensões, por um círculo de Mohr das tensões efetivas.
1- Caminhos de tensões e invariantes de tensões
A posição do círculo e seu tamanho podem ser identificados pelas coordenadas
(s’, t’) do topo do círculo de Mohr.
t’: raio do círculo de Mohr das tensões 
efetivas (tensão cisalhante máxima) 
s’: distância da origem ao centro do 
círculo de Mohr das tensões efetivas.
τ
M' (s', t')
(σ'z, τxz)
σ'3 σ'1
t'
s'
σ'
(σ'x, -τxz)
Estado de tensões efetivas em 
duas dimensões
d� = σ�
� − σ�
� � + 4���
�
3Da figura, observa-se que:
Sendo “d” o diâmetro do círculo, como , então:τ
� = −τ�
d = σ�
� − σ
� � + 4τ
�
� �/�
Logo, o raio ou tensão cisalhante 
máxima é igual a:
t′ =
1
2
σ�
� − σ�
� � + 4���
� �/�
s� =
1
2
σ�
� + σ
�
Em termos de tensões efetivas principais:
et� =
1
2
σ�
� − σ�
� s� =
1
2
σ�
� + σ�
�
Abscissa do centro:
τ
M' (s', t')
(σ'z, τxz)
σ'3 σ'1
t'
s'
σ'
(σ'x, -τxz)
A distância horizontal entre o círculo de Mohr das tensões totais e o círculo de Mohr
das tensões efetivas corresponde a poro-pressão que atua no elemento.
4Para o círculo de Mohr
das tensões totais: e s =
1
2
σ� + σ�t =
1
2
σ� − σ�
Da figura, observa-se que:
t� = t e s� = s − u
σ�
� = σ� − u σ�
� = σ� − ue ��
� = ��σ�
� = σ� − ue mas:
Observa-se também que:
τ
M'
(σ'θ, τθ)
2θ
σ'3 σ'1
t'
s'
M (σθ, τθ)
2θ
σ3 σ1
t
u
s
σ'
Caminho de tensões: curva que une os pontos que representam os estados de
tensões de um elemento em diversos instantes ao longo de um carregamento.
5
Caminho de tensões totais: une os pontos correspondentes aos estados de
tensões totais.
Exemplo: Aumentando-se σ1 e mantendo-se σ3 constante:
δs =
1
2
δσ� + δσ� Como: δσ� = 0 , então: δs =
δσ�
2
δt =
1
2
δσ� − δσ� Como:: δσ� = 0 , então: δt =
δσ�
2
Logo:
δt
δs
= 1
Neste caso, o ângulo que o CTT faz com a horizontal é 45º.
Tensão desviadora:
σ� = σ� − σ�
Diâmetro do Círculo 
de Mohr
É o que provoca o 
cisalhamento
σ� = σ�
� − σ�
�
τ
σ3 σσ1A
σ1B
σ1C
s
t
A
B
C
A
B
C
1
1
1
1
Caminho de tensões efetivas: une os pontos correspondentes aos estados de tensões
efetivas.
6
A distância horizontal entre o caminho de tensões totais e o caminho de tensões
efetivas corresponde a poro-pressão que atua no elemento.
O Caminho de tensões efetivas é consequência do caminho de tensões totais e do
excesso de poro-pressão gerado pelo cisalhamento.
Carregamento drenado Carregamento não drenado
Não há geração de excesso de poro-pressão 
devido ao cisalhamento.
A variação do estado de tensões efetivas é 
igual à variação do estado de tensões totais. 
Os caminhos possuem a mesma inclinação 
(paralelos).
Há geração de excesso de poro-pressão devido 
ao cisalhamento.
A variação do estado de tensões efetivas é 
diferente da variação do estado de tensões totais. 
Os caminhos possuem inclinações diferentes.
CTE CTT
u0 s, s'
t
CTE CTT
u0 s, s'
t
u0 + ∆u
Atenção: A capacidade do solo de drenar o excesso de poro-pressão gerado pelo
cisalhamento não depende pura e simplesmente do coeficiente de permeabilidade
(k). Depende de seu coeficiente de adensamento (cv).
7
Da Teoria de Adensamento tem-se que:
Na grande maioria dos casos práticos de engenharia, o carregamento nas areias
(cujo cv é alto) ocorrem de forma drenada, enquanto que nas argilas (cujo cv é baixo)
ocorrem de forma não drenada.
c� = 
k 1 + e"
a� · γ&
Onde: k: coeficiente de permeabilidade 
e0: índice de vazios inicial
γw: peso específico da água
av: coeficiente de compressibilidade a� = 
de
dσ�
�
Além da argilas serem menos permeáveis que as areias, as argilas (principalmente 
as moles e no trecho normalmente adensado) são muito mais compressíveis que as 
areias (mesmo fofas).
cv é diretamente proporcional à permeabilidade e inversamente proporcional à 
compressibilidade.
Parâmetros como , e , ainda que 
fixando o estado tensional em um elemento, variam 
com a rotação do sistema cartesiano adotado.
σ
�
8
σ�
�
Parâmetros como t’, s’ (e t e s), para um dado estado 
de tensões em um elemento, não variam com a 
rotação do sistema cartesiano adotado. 
Invariantes de tensões
τ
�
Não são invariantes de 
tensões
Por esta razão, é mais conveniente caracterizar o estado tensional em um ponto e em um 
dado instante do carregamento por invariantes de tensões. 
No caso em que não se conhece o valor de σ’2 (ou quando ele não importa) utiliza-se t’ e s’.
99
A tensões normal e cisalhante octaédricas efetivas e totais são invariantes de tensões.
As tensões normal e cisalhante octaédricas efetivas são definidas a partir das tensões 
principais efetivas σ’1, σ’2, σ’3 como:
σ'()
� =
1
3
σ�
� + σ�
� + σ�
�
τ'()
� =
1
3
σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � � �⁄
As tensões normal e cisalhante octaédricas totais são definidas a partir das tensões 
principais totais σ1, σ2, σ3 como:
σ'() =
1
3
σ� + σ� + σ�
τ'() =
1
3
σ� − σ�
� + σ� − σ�
� + σ� − σ�
� � �⁄
Ou seja: τ'()
� = τ'() e σ'()
� = σ'() − u
Vimos que o estado de tensões totais em um ponto da massa solo está definido conhecendo-
se as tensões totais principais σ1, σ2 e σ3, ao passo que o estado de tensões efetivas está 
definido conhecendo-se as tensões efetivas principais σ’1, σ’2 e σ’3, sendo que:
1010
Uma outra forma de representar o estado tensional total ou efetivo de um ponto numa massa 
de solo é utilizando como sistema cartesiano de referência as direções principais 1, 2 e 3.
σ�
� = σ� − u σ�
� = σ� − ue e σ�
� = σ� − u
ḭ ∶ vetor unitário na direção 
principal maior (direção 1)
j̰ ∶ vetor unitário na direção 
principal intermediária 
(direção 2)
k̰ ∶ vetor unitário na direção 
principal menor (direção 3)
1
3
2
M'
σ'1
σ'3
σ'2
o
N'
m'
~
α
Diagonal do
espaço
i~
k~
j
~
M
u
m'
~
m'~
d
t
3
P
R
S
O vetor unitário na direção da diagonal do espaço possui as seguintes coordenadas 
nas direções principais 1, 2 e 3, respectivamente: 
O vetor possui as seguintes coordenadas nas direções principais 1, 2 e 3, 
respectivamente: 
1111
m̰� = σ� 
� ḭ + σ� 
� j̰ + σ�
� k̰
m̰� = σ� 
� , σ�
� , σ�
�
Logo, o vetor pode ser escrito na forma vetorial como: 
E o quadrado do módulo do vetor é: m̰� m̰� � = σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
d�̰ =
3
2
3
 ḭ +
3
2
3
 j̰ +
3
2
3
k̰
d̰ =
3
2
3
,
3
2
3
,
3
2
3
Portanto, o vetor pode ser escrito na forma vetorial 
como: 
d�̰
Ou seja, os cossenos diretores que o vetor faz com as 
direções principais 1, 2 e 3 são, respectivamente: 
d̰
m̰�
l = m = n =
3
2
3
d̰
m̰�
1212
Para determinar a componente do vetor na direção da diagonal principal, basta 
fazer o produto escalar entre o vetor e o vetor : 
m̰�
d�̰m̰�
m5
� = σ� 
� , σ�
� , σ�
� o 3
2
3⁄ , 3
2
3⁄ , 3
2
3⁄
m5
� = m̰�o d̰
m5
� =
3
2
3
σ� 
� +
3
2
3
 σ�
� +
3
2
3
 σ�
�
m5
� = 3
2
 
1
3
σ�
� + σ�
� + σ�
�
Para determinar a componente do vetor na direção perpendicular a direção da 
diagonal principal, basta fazer: 
m̰�
m)
�� = m��- m5
� �
m�� = m5
� � + m)
�� (Teorema de Pitágoras)
Logo:
m5
� = 3
2
 σ'() 
�
(Produto escalar ou produto interno)
1313
m)
�� = m��- m5
� �
Repetindo:
Mas, já foi mostrado que: m��
= σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
Calculando , tem-se que:m5
� �
m5
� = 
3
2
3
σ�
� + σ�
� + σ�
�
m5
� �
= 
1
3
σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
+ 2 σ�
� σ�
� + 2 σ�
� σ�
� + 2 σ�
� σ�
�
Portanto:
m)
��
= σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
−
1
3
σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
− 2σ�� σ�
� − 2σ�
� σ�
� − 2σ�
� σ�
�
1414Repetindo:
Por outro lado, lembrando que:
τ'()
� =
1
3
σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � � �⁄
τ'()
� �
=
1
9
σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� �
9 τ'()
� �
= σ�
� �
− 2 σ�
� σ�
� + σ�
� �
+ σ�
� �
− 2 σ�
� σ�
� + σ�
� �
+ σ�
� �
− 2 σ�
� σ�
� + σ�
� �
Tem-se que:
Desenvolvendo:
Desenvolvendo:
9 τ'()
� �
= 2 σ�
� �
+ 2 σ�
� �
+ 2 σ�
� �
− 2 σ�
� σ�
� − 2 σ�
� σ�
� − 2 σ�
� σ�
�
m)
��
= σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
−
1
3
σ�
� �
+ σ�
� �
+ σ�
� �
− 2σ�
� σ�
� − 2σ�
� σ�
� − 2σ�
� σ�
�
m)
��
=
2
3
σ�
� �
+
2
3
σ�
� �
+
2
3
σ�
� �
−
2
3
 σ�
� σ�
� −
2
3
 σ�
� σ�
� −
2
3
 σ�
� σ�
�
Repetindo:
1515
Então:
τ'()
� �
=
1
3
2
3
σ�
� �
+
2
3
σ�
� �
+
2
3
σ�
� �
−
2
3
σ�
� σ�
� −
2
3
σ�
� σ�
� −
2
3
σ�
� σ�
�
m)
��
Logo:
τ'()
� �
=
1
3
 m)
��
 m)
��
= 3 τ'()
� �
 m)
� = 3
2
 τ'()
�
9 τ'()
� �
= 2 σ�
� �
+ 2 σ�
� �
+ 2 σ�
� �
− 2 σ�
� σ�
� − 2 σ�
� σ�
� − 2 σ�
� σ�
�
Então, as componentes do vetor coincidente com a diagonal do espaço e 
perpendicular a esta são, respectivamente:
Definido o estado de tensões efetivas (ponto M’), 
o estado de tensões totais (ponto M) encontra-se 
localizado a uma distância de em uma 
direção paralela a diagonal do espaço.
1616
Ainda assim, para descrever completamente a localização do ponto M’, seria 
necessário um terceiro invariante que é o ângulo (α) que o vetor faz com o plano 
OPRS. 
m5
� = 3
2
 σ'() 
� m)
� = 3
2
 τ'()
�
e
m̰�
 m)
�
̰
u 3
2
1
3
2
M'
σ'1
σ'3
σ'2
o
N'
m'~
α
Diagonal do
espaço
i~
k~
j
~
M
u
m'~
m'~
d
t
3
P
R
S
1717
Mas, para o caso especial em que σ’2 = σ’3 (caso axissimétrico), os pontos M’ e M 
pertencem ao plano OPRS e, portanto, α = 0. Neste caso:
σ'()
� =
1
3
σ�
� + σ�
� + σ�
�
σ'()
� =
1
3
σ�
� + 2σ�
�
τ'()
� =
1
3
σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � � �⁄
τ'()
� =
1
3
2 σ�
� − σ�
� � � �⁄ τ'()
� =
2
2
3
σ�
� − σ�
�
Para evitar o uso de , define-se os seguintes invariantes de tensões: 2
2
3⁄
p� =
1
3
σ�
� + 2σ�
� = σ'()
�
q� = σ�
� − σ�
� =
3
2
2 τ'()
�
Mais utilizados 
pelos ingleses.
1818No caso de um estado de tensões tridimensional, tem-se que: 
p� =
1
3
σ�
� + σ�
� + σ�
�
q� =
1
2
2 σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � + σ�
� − σ�
� � � �⁄
E a terceira invariante (o ângulo α) será diferente de zero.
Em termos de tensões totais, tem-se que: 
p =
1
3
σ� + σ� + σ�
q =
1
2
2 σ� − σ�
� + σ� − σ�
� + σ� − σ�
� � �⁄
Isto é: 
p� = p − u e q� = q
1919
Em termos de incrementos, para o caso axissimétrico (σ’2 = σ’3), tem-se que:
δp� =
1
3
δσ�
� + 29σ�
� δq� = δσ�
� − 9σ�
�e
Valendo o mesmo para os incrementos de tensões totais, ou seja:
δp =
1
3
δσ� + 2δσ� δq = δσ� − δσ�e
E, portanto:
δp� = δp − δu e δq� = δq
Aumentando-se σ1 e mantendo-se σ3 constante, tem-se que:
δp =
1
3
δσ� + 2δσ� Como: δσ� = 0 , então:
δq = δσ� − δσ� Como: δσ� = 0 , então: δq = δσ�
Logo:
δq
δp
= 3
δp =
δσ�
3
2020
Ou seja, o caminho de tensões totais tem inclinação 3V:1H:
q
p
1
3
CTT
21212- Invariantes de deformações
Os invariantes de deformações são escolhidos de modo que correspondam aos
invariantes de tensões efetivos já definidos, considerando o fato de que o trabalho
realizado pelas forças externas é também um invariante (ou seja, independe do
sistema cartesiano escolhido como referência).
Primeiramente, os invariantes de deformações são definidos.
Posteriormente, checa-se a correspondência com os invariantes de tensões
efetivos.
Em um elemento que se deforma em estado plano de deformação, por definição,
uma das deformações principais é nula (ε2 = 0).
Neste condição, o estado de deformação pode ser representado em duas dimensões.
A posição e o tamanho do círculo de Mohr das deformações podem ser definidos
pelas coordenadas de seu topo, que são invariantes.
Estado de deformação plano
Lembrando que são as tensões efetivas que provocam deformações.
2222Define-se: ε;
ε�
: 2 x (o raio do círculo)
: 2 x (a coordenada do centro do círculo no eixo x)
Logo:
ε; = ε
 − ε�
� + 4ε
�
� �/�
ε� = ε
 + ε�
Ou, em termos de deformações principais:
ε; = ε� − ε�
ε� = ε� + ε�
Podem ser utilizados para traçar caminhos de deformações quando ε2 = 0. 
Estão associados aos parâmetros de tensões s’ e t’. 
Por que o fator 2?
ε; = γ<á
 ε� = − ∆V V⁄e
1/2
M
(εz, εzx)
ε3 ε1
(εx, - εxz)
γ
1/2εv
1/2εγ
εl
O estado de deformação geral em um elemento pode ser definido completamente a
partir das três deformações principais (ε1, ε2 e ε3)
2323
Portanto, os invariantes de deformações podem ser definidos a partir de
combinações das deformações principais e checando a correta correspondência com
os invariantes de tensões (q’ e p’) já definidos, mediante a análise do trabalho
realizado pelas forças externas.
Para o estado de deformação geral
No plano octaédrico, tem-se que:
ε'() =
1
3
ε� + ε� + ε�
γ'() =
2
3
ε� − ε�
� + ε� − ε�
� + ε� − ε�
� � �⁄
Define-se os seguintes invariantes de deformações a partir de εoct e γoct :
ε� = 3 ε'() e ε@ =
1
2
2 γ'()
Sendo que εv é simplesmente a deformação
específica volumétrica do elemento.
2424
Fazendo ε2 = 0 (estado de deformação plano), tem-se que: ε� = ε� + ε�
Os invariantes εs e εv podem ser utilizados como eixos para traçar o caminho de 
deformações geral em três dimensões. 
No caso axissimétrico, em que ε2 = ε3, tem-se que: 
Ou seja:
ε� = ε� + ε� + ε�
e
ε@ =
2
2
3
ε� − ε�
� + ε� − ε�
� + ε� − ε�
� � �⁄
ε� = ε� + 2 ε� ε@ =
2
3
ε� − ε�
e
Se o volume V de um elemento de solo aumenta de como resultado de alguma 
alteração no estado de tensões efetivas, a variação da deformação volumétrica 
específica será de: 
Onde é a variação de volume do solo saturado e é a 
variação de volume de água dentro do corpo de prova. 
2525Deformações volumétricas
A deformação específica volumétrica (εv) é um invariante e desempenha uma papel 
fundamental no comportamento dos solos. Pode ser expressa e medida de diferentes 
maneiras.
δε� = − δV V⁄ O sinal negativo é justificado pelo fato de deformações de 
compressão serem positivas.
δV
Assumindo que os grãos sólidos e a água são praticamente incompressíveis diante 
da compressibilidade do esqueleto sólido, um solo saturado só pode variar de volume 
se entrar ou sair água de seus vazios. Logo:
δV = −δVA
δVA 
δV
As deformações específicas volumétricas em um ensaio de laboratório realizado em 
solo saturado podem ser calculadas medindo-se a quantidade de água que entra ou 
sai do corpo de prova. 
2626Define-se índice de 
vazios (e), como: e = V� V@⁄ Em solo saturado: e = V& V@⁄
Como os grãos sólidos são considerados incompressíveis:
δe = δV� V@⁄ δe = δV V@⁄ δV = V@ δe
Mas: δε� = −
δV
V
δε� = −
V@ δe 
V@ + V�
δε� = −
δe 
1 + e
Demonstra-se que:
δe = G@ δw
S e = G@ w
Então, para um solo saturado (S = 1), tem-se que:
Portanto: δε� = −
δw 
1 G@⁄ + w
Deformações específicas volumétricas podem ser calculadas por medidas de umidade, 
em um solo saturado.
, onde:
S
G@
w
: grau de saturação
: densidade relativa dos grãos
: teor de umidade
Definindo volume específico (v) como o volume de um elemento de solo contendo 
um volume unitário de sólidos (Vs = 1), tem-se que: 
2727
v = 1 + Fv =
V@ + V�
V@
v =
V
V@
Logo: δv = δF
E: δε� = −
δe 
1 + e
= −
δv 
v
28283-Correspondência entre invariantes de tensão e de deformação
Demonstra-se a que os invariantes de tensão e de deformação foram escolhidos 
corretamente escrevendo a expressão do trabalho realizado por forças externas 
em um elemento de solo saturado. 
Considere o elemento de solo de dimensões (a, b, c).
As faces do elemento são planos principais de tensão e de deformação.
No elemento atua uma poro-pressão de valor u.
Se, devido a uma variação do estado de tensões efetivas, as 
dimensões do elemento aumentam de, e , e a variação 
de volume de água no elemento é , então o trabalho 
realizado pelas cargas externas e pressões é dado por:
δa δb δc
δV&
δW = F� −δa + F� −δb + F� −δc − u δV&
δW
2929
Então, o trabalho realizado por unidade de volume é:
Mas:
δW
V
=
F�
bc
−
δa
a
+
F�
ac
−
δb
b
+
F�
ab
−
δc
c
+ u 
δV
J
Portanto:
δW
V
= σ� δε� + σ� δε� + σ� δε� − uδε�
Mas: u δε� = u δε� + δε� + δε�
Então: δW
V
= σ�
� δε� + σ�
� δε� + σ�
� δε�
δW = F� −δa + F� −δb + F� −δc + u δV�
δV� = −δV&
Então:
3030
Repetindo: δW
V
= σ�
� δε� + σ�
� δε� + σ�
� δε�
No caso de estado de deformação plana, em que , tem-se que:δε� = 0
δW
V
= σ�
� δε� + σ�
� δε�
Equação 1
No caso de simetria axial, em que σ’2 = σ’3 e , tem-se que: δε� = δε�
δW
V
= σ�
� δε� + 2 σ�
� δε�
Equação 2
Por outro lado, calculando o trabalho realizado por unidade de volume com os 
invariantes de tensões e de deformações em duas dimensões (estado de deformação 
plano), tem-se que:
δW
V
= t� δε; + s�δε�
δW
V
=
1
2
σ�
� − σ�
� δε� − δε� +
1
2
σ�
� + σ�
� δε� + δε�
δW
V
= σ�
� δε� + σ�
� δε�
Que vem a ser igual a equação 1, ou seja, a 
correspondência entre os invariantes de tensões e de 
deformações para o caso bidimensional está correta.
3131
Lembrando que:
Então:
et� =
1
2
σ�
� − σ�
� s� =
1
2
σ�
� + σ�
�
δε; = δε� − δε� δε� = δε� + δε�e
O trabalho realizado por unidade de volume também pode ser calculado com 
invariantes de tensões e de deformações definidos para o caso geral (tridimensional):
3232
δW
V
= q� δε@ + p�δε�
Para o caso especial de simetria axial em que σ’2 = σ’3 e ε2 = ε2 , tem-se que : 
q� = σ�
� − σ�
� p� =
1
3
σ�
� + 2σ�
�
δε@ =
2
3
δε� − δε�
e
e δε� = δε� + 2δε�
Logo: 
δW
V
= σ�
� δε� + 2 σ�
� δε�
Que vem a ser igual a equação 2, ou seja, 
a correspondência entre os invariantes de 
tensões e de deformações para o caso 
tridimensional está correta.
3333Comportamento tensão-deformação de um elemento de solo 
isotrópico e elástico (solo ideal) 
As equações constitutivas de um elemento de solo elástico e isotrópico (solo ideal) 
segundo a Lei de Hook Generalizada, e em termos de incrementos, são: 
δε
 = 1 E�⁄ δσ
� − L�δσM
� − L�δσ�
�
δεM = 1 E�⁄ δσM
� − L�δσ�
� − L�δσ
�
δε� = 1 E�⁄ δσ�
� − L�δσ
� − L�δσM
�
δγ
M = 2 E�⁄ 1 + L� δτ
M
δγM� = 2 E�⁄ 1 + L� δτM�
δγ�
 = 2 E�⁄ 1 + L� δτ�
Onde E’ é o módulo de Young 
(ou módulo de elasticidade 
longitudinal) e ν’ coeficiente 
de Poisson apropriados para 
variações nas tensões 
efetivas.
Escrevendo em termos de tensões principais efetivas e deformações principais, tem-
se que:
3434
δε� = 1 E�⁄ δσ�
� − L�δσ�
� − L�δσ�
�
δε� = 1 E�⁄ δσ�
� − L�δσ�
� − L�δσ�
�
δε� = 1 E�⁄ δσ�
� − L�δσ�
� − L�δσ�
�
As demais expressões não existem, uma vez que as tensões cisalhantes e as 
distorções são nulas nos planos principais.
Para o caso especial de simetria axial, onde σ’2 = σ’3 e ε2 = ε3, tem-se que:
δε� = 1 E�⁄ δσ�
� − 2L�δσ�
�
δε� = δε� = 1 E�⁄ δσ�
� 1 − L� − L�δσ�
�
Portanto:
δε� = δε� + 2δε� = 
1 − 2L�
E�
δσ�
� + 2δσ�
� δε� = 
3 1 − 2L�
E�
δp�
3535
De forma similar:
δε@ =
2
3
δε� − δε� = 
2 1 + L�
3E�
δσ�
� − δσ�
� δε@ = 
2 1 + L�
E�
δq�
δε� = 
1
K�
δp�
Essas equações são comumente escritas como:
onde: K� = 
1
3
E�
1 − 2L�
e:
δε@ = 
1
G�
δq� onde: G� = 
E�
2 1 + L�
As equações acima mostram que para um solo idealmente elástico (isotrópico),
incrementos deformações volumétricas ( ) estão exclusivamente associados a
incrementos do invariante de tensões p’ ( ), ao passo que incrementos de
deformações cisalhantes (ou incrementos de distorções) ( ) estão exclusivamente
associados a incrementos de tensões q’( ).
δε�
δp�
δq�
δε@
K’: Módulo de 
deformação 
volumétrica
G’: Módulo 
cisalhante
t =
1
2
σ� − σ� s =
1
2
σ� + σ�
3636
Resumo dos invariantes segundo a abordagem dos ingleses:
Para um estado de deformação plano (ε2=0):
t� =
1
2
σ�
� − σ�
� s� =
1
2
σ�
� + σ�
�
ε; = ε� − ε� ε� = ε� + ε�
e t� = t e s� = s − u
Para um caso axissimétrico (σ2 = σ3, σ’2 = σ’3 e ε2 = ε3), partindo-se do caso geral 
(tridimensional) :
e
p� =
1
3
σ�
� + 2σ�
�q� = σ�
� − σ�
�
q = σ� − σ� p =
1
3
σ� + 2σ�
q� = q p� = p − u
ε� = ε� + 2 ε�ε@ =
2
3
ε� − ε� e
Atkinson & Bransby (1978)
e e Ou seja: 
e 
e 
Ou seja: 
3737
Invariantes de tensões segundo a abordagem dos americanos:
Lambe & Whitman (1967)
p� =
1
2
σ�
� + σ�
�q� =
1
2
σ�
� − σ�
�
q =
1
2
σ� − σ� p =
1
2
σ� + σ�
q� = q p� = p − ue e Ou seja: 
e
Quando os planos verticais e horizontais são planos principais de tensões:
p� =
1
2
σ�
� + σO
�q� =
1
2
σ�
� − σO
�
q =
1
2
σ� − σO p =
1
2
σ� + σO
e 
e