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Resistência dos materiais 
 
 
INDICE 
 
Resistência dos materiais I 
Introdução - Esforços comuns | Tensão normal e tensão 
transversal | Tração e compressão: generalidades 
| Energia da deformação elástica | Tensão devido à 
dilatação linear | 
 
Resistência dos materiais IA 
Algumas propriedades dos materiais | Tensão admissível
e coeficiente de segurança | Reservatório cilíndrico de 
parede fina | Reservatório esférico de parede fina | 
Algumas considerações sobre reservatórios | 
 
Resistência dos materiais IB 
Deformação por cisalhamento | Energia da deformação 
por cisalhamento | Exemplo: união soldada | Tensão 
admissível de cisalhamento | 
 
Resistência dos materiais IB-2 
Alguns exemplos sobre tração e compressão: 
Deformação plástica residual | Ação da força centrífuga 
em barra girante | Dilatação linear com dois materiais |
 
Resistência dos materiais IC 
Torção de peças circulares | Momento polar de 
resistência | Tabela de momentos para algumas seções 
| 
 
Resistência dos materiais ID 
Energia da deformação por torção | Potência 
transmitida por um eixo | Diagrama de momento e 
ângulo de torção | Comentários sobre 
dimensionamentos | Exemplo: barra biengastada sob 
torção | 
 
Resistência dos materiais II 
Tensões planas | Tensões principais no plano | Tensões 
(max e min) de cisalhamento no plano | Círculo de Mohr
para tensões planas | 
 
Resistência dos materiais IIA 
Tensões no espaço | Tensões principais | Círculo de 
Mohr para tensões no espaço | 
 
Resistência dos materiais IIA-2 
 Resistência dos materiais IIIF 
Vigas de seção constante - Introdução | Alguns 
exemplos típicos: Biapoiada com carga concentrada no 
meio; Biapoiada com carga concentrada em posição 
genérica; Biapoiada, carga distribuída uniforme; 
Engastada apoiada, carga concentrada no meio; 
Engastada apoiada, carga distribuída uniforme; Em 
balanço, carga concentrada na extremidade; Em 
balanço, carga distribuída uniforme | 
 
Resistência dos materiais IIIG 
Tabelas de perfis comerciais - Introdução | Perfis I 
laminados | Perfis U laminados | Trilhos ferroviários | 
 
Resistência dos materiais IIIG-2 
Tabelas de perfis comerciais (continuação) - Introdução 
| Perfis L (cantoneira) de abas iguais | Perfis H 
laminados | 
 
Resistência dos materiais IV 
Exemplo de torção simples | Exemplo de flexão - 
método da superposição | 
 
Resistência dos materiais IVA 
Problemas hiperestáticos: introdução e exemplo | Viga 
horizontal com três apoios | 
 
Resistência dos materiais IVB - Esforços 
compostos I 
Introdução e flexão com cisalhamento | Torção 
combinada com cisalhamento | Flexão combinada com 
tração | 
 
Resistência dos materiais IVB-2 - Esforços 
compostos II 
Flexão combinada com compressão | Núcleo central de 
inércia | Núcleos centrais de inércia para algumas 
seções | 
 
Resistência dos materiais V - Flambagem 
elástica 
Introdução - Falha por flambagem | Equação básica da 
flambagem elástica | Comprimento de flambagem | 
Alguns casos particulares de tensões no espaço | 
Exemplo numérico para tensões no espaço | 
 
Resistência dos materiais III 
Fundamentos da flexão | Forças e momentos internos 
em vigas | Diagramas de esforços em vigas | 
 
Resistência dos materiais IIIA 
Momentos de inércia e de resistência de algumas 
seções: Circular cheia | Elipse cheia | Hexágono regular 
| Perfil C | Perfil C vazado | Perfil em cruz | Perfil H | 
Perfil I | Perfil I abas desiguais | Perfil I vazado | Perfil 
L | Perfil T aba horizontal | Perfil T aba vertical | Perfil
U | Retângulo | Semicírculo | Trapézio | Triângulo | 
Tubo | Tubo de parede fina | Tubo elíptico | Tubo 
elíptico de parede fina | Tubo retangular | 
 
Resistência dos materiais IIIB 
Exemplos de diagramas de esforços em vigas: Viga 
apoiada com várias cargas concentradas | Viga apoiada 
com carga uniformemente distribuída | Viga engastada 
com uma carga na extremidade | Viga engastada com 
carga distribuída | Viga apoiada com momento 
concentrado | 
 
Resistência dos materiais IIIC 
Aspectos teóricos sobre carregamentos em vigas | 
Distribuição de tensões transversais na flexão | 
Distribuição para seções retangulares e circulares | 
Distribuição para algumas outras seções | Energia da 
deformação por flexão simples | 
 
Resistência dos materiais IIID 
Linha elástica de vigas flexionadas | Exemplo de cálculo
da linha elástica | Viga em balanço: outras 
considerações | 
 
Resistência dos materiais IIIE 
Vigas de igual resistência à flexão - Introdução | Alguns 
exemplos de seções usuais: Retângulos de altura 
variável - carga concentrada, Retângulos de largura 
variável - carga concentrada, Retângulos de altura 
variável em dois lados - carga concentrada, Retângulos 
de altura variável - carga distribuída, Retângulos de 
largura variável - carga distribuída, Retângulos de 
altura variável - carga distribuída e viga em dois apoios 
| Coluna de igual resistência | 
Coeficiente de esbeltez | Exemplo simples de cálculo | 
 
Resistência dos materiais VA - Flambagem 
elástica e inelástica 
Curva de flambagem | Fórmulas de Tetmajer | Método 
do coeficiente de flambagem | Flambagem devido à 
torção | 
 
 
 
As páginas seguintes foram publicadas antes da série 
acima, mas podem fazer parte do grupo: 
 
Elementos finitos - Princípios básicos 
Exemplo | Matriz de rigidez (stiffness matrix) | Matriz 
de rigidez para a treliça do exemplo | Condições de 
contorno | 
 
Propriedades de seções planas 
Momento estático, eixos centrais, centro de gravidade |
Centros de gravidade para seções comuns | Centro de 
gravidade para seções diversas | Momentos de segunda 
ordem | Valores para as seções mais simples | 
Translação e rotação de eixos | Eixos principais | Elipse 
central de inércia | Direção conjugada | Módulo de 
resistência | Círculo de Mohr 
 
 
 
Resistência dos materiais I - Introdução, tração, compressão 
Introdução - Esforços comuns 
Tensão normal e tensão transversal 
Tração e compressão: generalidades 
Energia da deformação elástica 
Tensão devido à dilatação linear 
 
 
1-) Introdução - Esforços comuns 
 
Materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente se romperem) quando submetidos a solicitações mecânicas. A 
Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos 
construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suportá-los nas condições 
previstas de utilização. 
 
 
Fig 1.1 
 
A Figura 1.1 dá formas gráficas aproximadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos 
construtivos: 
 
(a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma. 
 
(b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da mesma. 
 
(c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. 
 
(d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às outras. 
 
(e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que 
tende a produzir uma curvatura na barra. 
 
(f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções 
transversais. 
 
Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo 
predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados 
conjuntamente. 
 
2-) Tensão normal e tensão transversal 
 
Seja, por exemplo, uma barra cilíndrica de seção transversal S submetida a uma força de tração F. É evidente que uma outra 
barra de seção transversal maior (por exemplo, 2S), submetida à mesma força F, trabalha em condições menos severas do 
que a primeira. Isto sugere a necessidade de definição de uma grandeza que tenha relação com força e área, de forma que os 
esforços possam ser comparados e caracterizadospara os mais diversos materiais. 
 
Tensão é a grandeza física definida pela força atuante em uma superfície e a área dessa superfície. Ou seja, tensão = força / 
área. 
 
Pela definição, a unidade de tensão tem a mesma dimensão de pressão mecânica e, no Sistema Internacional, a unidade 
básica é a mesma: pascal (Pa) ou newton por metro quadrado (N/m2). 
Fig 2.1 
Na Figura 2.1 (a) uma barra de seção transversal S é tracionada por uma força 
F. Supondo uma distribuição uniforme de tensões no corte hipotético exibido, a 
tensão σ, transversal ao corte é dada por: 
 
σ = F/S #II.1#. 
 
Observação: no caso de barras lisas tracionadas, as tensões se distribuem de 
modo uniforme se os pontos de aplicação das forças estão suficientemente 
distantes. Em outros casos, as tensões podem não ser uniformes e o resultado 
desta fórmula é um valor médio. 
 
Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na Figura 2.1 (b), é considerada uma seção hipotética, fazendo 
um ângulo α com a vertical, em uma barra tracionada por uma força F. E a força atuante nessa seção pode ser considerada 
como a soma vetorial da força normal (F cos α) e da força transversal (F sen α). 
 
Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: 
 
Tensão normal, em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo (σ). 
 
Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo (τ). 
 
3-) Tração e compressão: generalidades 
 
Consideramos, conforme Figura 3.1, uma barra redonda de diâmetro D e comprimento L na condição livre, isto é, sem 
aplicação de qualquer esforço. 
Fig 3.1 
Se aplicada uma força de tração F, o comprimento aumenta para L1 (= L + ∆L) 
e o diâmetro diminui para D1. 
 
O alongamento (ou deformação longi- 
tudinal) ε da barra é a relação entre a variação de comprimento e o 
comprimento inicial: 
 
ε = ∆L / L (adimensional). 
 
Ou em termos percentuais: ε = 100 ∆L / L #III.1#. 
 
Paralelamente ao aumento de comprimento, ocorre uma redução do diâmetro, chamada contração transversal, dada por: 
 
εt = (D - D1) / D #III.2#. 
 
A relação entre a contração transversal e o alongamento é dita coeficiente de Poisson µ: 
 
µ = εt / ε #III.3#. Valores típicos de µ para metais estão na faixa de 0,20 a 0,40. 
Fig 3.2 
Os ensaios de tração determinam graficamente a relação entre a tensão 
aplicada e o alongamento em uma amostra de determinado material. Mais 
informações são dadas na página Ciência dos Materiais I. 
 
A Figura 3.2 (a) dá a curva aproximada para um aço estrutural típico. 
 
Existe um valor limite de tensão até o qual a tensão aplicada é proporcional à 
deformação: 
 
σ = E ε #III.4#. 
 
Esta igualdade é chamada Lei de Hooke e o fator de proporcionalidade E é dito módulo de elasticidade do material (desde 
que ε é uma grandeza adimensional, ele tem a mesma unidade da tensão). O módulo de elasticidade também é conhecido por 
módulo de Young (homenagem ao cientista inglês Thomas Young). 
 
Obs: para compressão, podemos considerar a mesma lei, considerando a tensão com sinal contrário (até, é claro, o valor 
absoluto igual ao limite de proporcionalidade). Entretanto, alguns materiais exibem valores de E diferentes para tração e 
compressão. Nesses casos, podemos usar as notações Et e Ec para a distinção. 
 
Abaixo valores típicos de E e µ para alguns metais. 
Metal Aços Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Latão 
E (GPa) 206 68,6 98 118 98 64 
µ 0,30 0,34 0,33 0,33 0,25 0,37 
 
Voltando à Figura 3.2 (a), σp é o limite de proporcionalidade do material, isto é, tensão abaixo da qual o material se 
comporta segundo a lei de Hooke. 
 
A tensão σe é a tensão de escoamento, ou seja, o material entra na região plástica e as deformações são permanentes. σb é 
a tensão máxima e σr é a tensão de ruptura. 
 
Em materiais pouco dúcteis como ferro fundido, esses limites não ocorrem e uma curva típica é parecida com a Figura 3.2 (b). 
 
Para aços, o teor de carbono exerce significativa influência nas tensões máximas. Abaixo alguns valores típicos de tensões de 
escoamento e de ruptura para aços-carbono comerciais. 
Teor C % 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 
σe (MPa) 177 206 255 284 343 
σr (MPa) 324 382 470 520 618 
 
Em geral, para fins de dimensionamento, no caso de materiais dúcteis considera-se a tensão admissível igual à tensão de 
escoamento dividida por um coeficiente de segurança. No caso de materiais frágeis, a tensão de escoamento não é definida e 
é usada a de ruptura dividida pelo coeficiente de segurança. 
 
4-) Energia da deformação elástica 
 
Fig 4.1 
Considerando a deformação elástica, isto é, de acordo com a lei de Hooke, 
deseja-se saber a energia gasta para deformar a barra da condição de repouso 
A (sem força aplicada) até B, onde uma força F mantém a barra no 
comprimento L + ∆L (Figura 4.1). 
 
Observar que essa energia não é o simples produto F ∆L, uma vez que a força varia com a deformação. 
 
De acordo com a lei de Hooke (#III.4#), σ = F / S = E ε = E ∆L / L #IV.1#. Chamando x uma deformação qualquer entre A e 
B temos: 
 
F / S = E x / L ou F = (ES/L) x. E o trabalho é dado pela integração ∫ F(x) dx entre A (x=0) e B (x=∆L): 
 
W = ∫0,∆L F(x) dx = ∫0,∆L (ES/L) x dx = (ES/L) (∆L)2 / 2. 
 
Conforme #IV.1#, ∆L = FL / SE. Assim, W = (ES/L) F2 L2 / (S2 E2 2). Simplificando: 
 
W = F2 L / (2 E S) #IV.2#. 
 
5-) Tensão devido à dilatação linear 
 
Se, conforme Figura 5.1 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variação 
(positiva neste caso) de temperatura Dt, a variação do seu comprimento é dada por: 
Fig 5.1 
∆L = L α ∆t #V.1#. Onde α é o coeficiente de dilatação linear do material 
da barra. 
 
Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a 
unidade de α no Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações 
unitárias de graus Kelvin e Celsius são idênticas. 
 
Se a barra é impedida de dilatar, conforme Figura 5.1 (b), ela será submetida a uma força e, por conseqüência, tensão de 
compressão. 
 
Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, podemos usar a equação #III.4# para determinar a tensão 
(neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não de tração): 
 
σ = E ε = E ∆L / L. Substituindo ∆L pelo valor dado em #V.1#: σ = E a ∆t #V.2#. 
 
A tabela abaixo dá valores aproximados do coeficiente de dilatação linear para alguns metais ou ligas comuns. 
Metal Aços Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Latão 
α 10-5 1/°C 1,2 2,3 1,9 1,7 1,2 1.9 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IA - Propriedades de materiais, reservatórios de paredes 
finas 
 
Algumas propriedades dos materiais 
Tensão admissível e coeficiente de segurança 
Reservatório cilíndrico de parede fina 
Reservatório esférico de parede fina 
Algumas considerações sobre reservatórios 
 
 
1-) Algumas propriedades dos materiais 
 
Resiliência é a propriedade de um corpo de devolver a energia armazenada devido a uma determinada deformação. 
 
Na página Resistência dos materiais I foi visto que a energia da deformação de uma barra, da condição livre até a situação de 
equilíbrio com uma força F, é dada por 
 
W = F2 L / (2 E S). Multiplicando dividendo e divisor por S, temos: W = (F/S)2 L S / 2 E. Lembrando que F/S é a tensão de 
deformação σ e L S, o volume da barra: W = σ2 V / 2 E. 
 
Na mesma página pode ser visto pela igualdade #III.4# que a relação entre tensão e deformação é σ = E ε ou E = σ / ε. 
Substituindo na igualdade anterior, W = σ ε V / 2. 
Fig 1.1 
Substituindo na anterior, W = σ ε V / 2. 
 
A energia de deformação por unidade de volume até o limite de 
proporcionalidade é denominada módulo de resiliência ur do material. 
Assim: 
 
ur = W / V = σp ε / 2 #I.1#. 
 
No diagrama tensão-deformação da Figura 1.1 (a), equivale à área abaixo da 
parte da curva até o limite de proporcionalidade σp. 
 
A tabela abaixo dá valores aproximados do módulo de resiliência para alguns materiais> 
Material Acrílico Aço alto C Açomédio C Borracha Cobre Duralumínio 
E (GPa) 3,4 206 206 0,001 118 72 
σp (MPa) 14 965 310 2 28 124 
ur (MJ/m
3) 0,029 2,26 0,23 2,1 0,0033 0,11 
 
Tenacidade é a capacidade do material de absorver energia devido à deformação até a ruptura. É uma propriedade desejável 
para casos de peças sujeitas a choques e impactos, como engrenagens, correntes, etc. Em geral, não é definido 
numericamente. Pode-se considerar, de forma similar ao módulo de resiliência, como a área total abaixo da curva ut, 
conforme Figura 1.1 (b). Algumas vezes são usadas as seguintes aproximações: 
 
Para materiais dúcteis: ut ≅ σr εr e para materiais frágeis ut ≅ (2/3) σr εr #I.2#. 
Fig 1.2 
A Figura 1.2 mostra diagramas típicos de tensão x deformação para um aço de 
alto teor de carbono (para molas por exemplo) e um de médio/baixo teor (para 
estruturas por exemplo). 
 
Pode-se notar que o aço para molas tem uma resiliência maior, como seria 
esperado. Já o aço de médio carbono apresenta uma área sob a curva maior, 
isto é, uma tenacidade mais alta. Entretanto, essas comparações são 
aproximadas. O diagrama considera a tensão em relação à área inicial e, na 
região plástica, não é a tensão real no material. 
 
Outra propriedade bastante usada no estudo de materiais é a ductilidade. É também em geral uma característica não 
definida numericamente. Quanto mais dúctil um material, maior a deformação de ruptura (εr). Isto significa que um material 
dúctil pode ser, por exemplo, trefilado com mais facilidade. Alguns autores consideram dúctil o material com deformação de 
ruptura acima de 0,05. O contrário da ductilidade é a fragilidade. Voltando à Figura 1.2, podemos notar que aços de elevado 
carbono são mais frágeis (ou menos dúcteis) que os de médio carbono. 
 
2-) Tensão admissível e coeficiente de segurança 
 
Os gráficos da Figura 2.1 já foram dados na página Resistência dos materiais I. São curvas típicas aproximadas de tensão x 
deformação de materiais dúcteis (a) e frágeis (b). A Figura 1.2 do tópico anterior também mostra a diferença. 
 
Os materiais frágeis não apresentam limite definido (σe) para as regiões elástica e plástica. Assim, para efeito de 
dimensionamento, usa-se a tensão de ruptura (σr). Para os materiais dúcteis, usa-se a tensão de escoamento σe. 
Fig 2.1 
Coeficientes de segurança são usados para prevenir incertezas quanto a 
propriedades dos materiais, esforços aplicados, variações, etc. 
 
No caso de peças tracionadas, é usual o conceito da tensão admissível dada 
por: 
 
σadm = σe / c para materiais dúcteis. 
 
σadm = σr / c para materiais frágeis. 
 
Onde c é o coeficiente de segurança. 
 
A escolha do coeficiente de segurança é uma tarefa de responsabilidade. Valores muito altos significam em geral custos 
desnecessários e valores baixos podem levar a falhas de graves conseqüências. 
 
A tabela abaixo dá alguns critérios genéricos para coeficientes de segurança. 
Coeficiente Carregamento Tensão no material Propriedades do material Ambiente 
1,2 - 1,5 Exatamente conhecido Exatamente conhecida Exatamente conhecidas Totalmente sob controle 
1,5 - 2,0 Bem conhecido Bem conhecida Exatamente conhecidas Estável 
2,0 - 2,5 Bem conhecido Bem conhecida Razoavelmente conhecidas Normal 
2,5 - 3,0 Razoavelmente conhecido Razoavelmente conhecida Ensaiadas aleatoriamente Normal 
3,0 - 4,0 Razoavelmente conhecido Razoavelmente conhecida Não ensaiadas Normal 
4,0 - 5,0 Pouco conhecido Pouco conhecida Não ensaiadas Variável 
 
Observações: 
 
- cargas cíclicas devem ser dimensionadas pelo critério de fadiga (aqui não dado). 
 
- se houver possibilidade de choques, o mínimo coeficiente deve ser 2 multiplicado por um fator de choque (em geral, de 1,5 
a 2,0). 
 
- os dados da tabela são genéricos e muitas vezes subjetivos. Não devem ser usados em aplicações críticas e/ou de elevada 
responsabilidade. Nestes casos, informações devem ser obtidas em literatura ou fontes especializadas, normas técnicas, etc. 
 
3-) Reservatório cilíndrico de parede fina 
 
Um reservatório cilíndrico de raio r e espessura t é considerado de parede fina se r/t ≥ 10. Nessa condição, podemos supor 
que as tensões se distribuem de maneira uniforme ao longo da espessura do cilindro. 
Fig 3.1 
Também é suposto que está sujeito a uma pressão interna uniforme p, maior 
que a atmosférica e relativa à mesma, isto é, pressão manométrica. 
 
O quadrilátero vermelho da Fig 3.1 representa uma porção elementar da 
parede do cilindro, que sofre ação de uma tensão ao longo da circunferência α1 
e uma tensão longitudinal α2. 
 
Supomos o corte de uma porção cilíndrica de largura ∆x (A da Figura 3.1). 
 
Se a porção cilíndrica é cortada diametralmente, a tensão σ1 atua na direção perpendicular às superfícies das extremidades S1 
(áreas vermelhas da Figura 3.1 B). Para o equilíbrio estático, a força devido a essas tensões deve ser igual à força devido à 
pressão interna p. Assim, 
 
2 σ1 S1 = 2 σ1 ∆x t = p 2r ∆x. Notar que a força devido à pressão é igual ao valor dela multiplicado pela área frontal às 
extremidades das superfícies S1 (2r ∆x) e não ao longo da circunferência. 
 
Portanto, σ1 = p r / t #III.1#. 
Fig 3.2 
Para a tensão σ2, consideramos um corte transversal do cilindro conforme 
Figura 3.2. 
 
A tensão σ2 atua sobre uma coroa circular conforme região vermelha no lado 
direito da figura. Como t é pequeno em relação a r, podemos considerar sua 
área igual a 2 π r t. E a força para equilibrar é igual à pressão interna 
multiplicada pela área do círculo de raio r. Assim: 
 
σ2 2 π r t = p π r
2. 
 
Portanto σ2 = p r / (2 t) #III.2#. Por esta e pela igualdade #III.1# podemos concluir que a tensão determinante para 
dimensionamento é σ1, ou seja, a tensão no sentido da circunferência do cilindro. Outro aspecto importante: junções 
(soldadas ou de outros tipos) ao longo do eixo do cilindro sofrem tensões iguais ao dobro das tensões em junções ao longo da 
circunferência. 
 
4-) Reservatório esférico de parede fina 
 
Seja um reservatório esférico de raio r e espessura t de parede. A parede é considerada fina (r/t ≥ 10), de forma similar ao 
cilíndrico do tópico anterior. 
Fig 4.1 
Se o reservatório é preenchido com um fluido sob pressão p (relativa a 
atmosférica), a simetria sugere que as tensões σ são as mesmas em quaisquer 
direções. 
 
Considerando uma semi-esfera conforme lado direito da Figura 4.1, a tensão σ 
atua perpendicularmente à área vermelha (aproximadamente igual a 2 π r t). E 
a força para manter a condição de equilíbrio estático é igual à pressão interna 
multiplicada pela área do círculo de raio r. 
 
Assim, σ 2 π r t = p π r2. Ou σ = p r / (2 t) #IV.2#. Observar que é igual à menor tensão calculada para o reservatório 
cilíndrico do tópico anterior. Por isso, podemos supor que o reservatório esférico é o que suporta maior pressão com a menor 
quantidade de material. 
 
5-) Algumas considerações sobre reservatórios 
 
Além das tensões superficiais, reservatórios submetidos a pressões internas estão sujeitos a tensões radiais, que variam do 
valor da pressão na superfície interna até zero na superfície externa. Na suposição de paredes finas conforme tópicos 
anteriores, essas tensões são em geral de 5 a 10 vezes menores que as demais e podem ser desprezadas. 
 
As fórmulas dos dois tópicos anteriores valem para reservatórios sob pressão interna. No caso de reservatórios submetidos a 
pressões externas (para vácuo por exemplo), falhas podem ocorrer antes da ruptura devido à deformação das superfícies. 
 
As fórmulas dadas nos dois últimos tópicos são as mais simples para reservatórios cilíndricos e esféricos. Existem várias 
outras considerações a tomar no projeto dos mesmos (coeficientes de segurança, reforços em apoios e outros locais como 
tampas e saídas de tubos, temperatura, corrosão, etc). Consultar normas técnicas e outras fontes sobre o assunto. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IB - Deformação por cisalhamento 
Deformação por cisalhamento 
Energia dadeformação por cisalhamento 
Exemplo: união soldada 
Tensão admissível de cisalhamento 
 
 
1-) Deformação por cisalhamento 
 
Fig 1.1 
Se um material sofre um esforço de cisalhamento puro conforme Figura 1.1 
(a), ele se deforma conforme (b) da mesma figura. 
 
Na região elástica, o ângulo de distorção γ e a tensão τ são proporcionais: 
 
τ = G γ #I.1#. 
 
O coeficiente G é denominado módulo de elasticidade transversal ou 
módulo de rigidez do material. 
 
A relação com o módulo de elasticidade E e o módulo de Poisson µ é dada por: 
 
G = E / [ 2 (1 + µ) ] #I.2#. 
Fig 1.2 
Para uma barra de seção transversal S constante, submetida a uma força 
cisalhante F e sem considerar a deformação por flexão, temos o ângulo γ 
aproximadamente igual a y/L para pequenas deformações (Figura 1.2). 
 
Assim temos τ = F/S = G γ ≅ G y/L. Ou 
 
y ≅ F L / (G S) #I.3#. 
 
2-) Energia da deformação por cisalhamento 
 
A equação #I.3# do tópico anterior pode ser reescrita para a força F em função do deslocamento y: F = (GS/L) y. A energia 
ou trabalho de deformação é dada pela integração do produto da força pelo deslocamento: 
 
W = ∫0,y (GS/L) y dy = |0,y (GS/L) y2/2 = GS y2 / (2L). 
 
Para exibir o trabalho em função da força F, substituímos y pelo valor da igualdade #I.3#: 
 
W = GS (FL/GS)2 / (2L) = F2 L / (2 G S) #II.1#. 
 
3-) Exemplo: união soldada 
 
Seja o exemplo da Figura 3.1: a uma chapa central são soldadas duas laterais totalizando 4 filetes de solda de seção 
triangular, de comprimento L e largura t. 
Fig 3.1 
O conjunto é tracionado por uma força F atuante conforme figura. Nessa 
condição, os esforços nos filetes de solda são basicamente de cisalhamento. 
 
Considerando que a tração aplicada se distribui igualmente pelos 4 filetes, cada 
um suporta um esforço de cisalhamento igual a F/4. 
 
O Detalhe A da figura é uma ampliação do corte do filete. A menor seção tem 
largura: 
 
h = t √2 / 2. E, portanto, o máximo cisalhamento deve ocorrer nessa seção. 
 
A tensão de cisalhamento aplicada no material da solda é dada por: 
 
τ = (F/4) / (L h) = (F/4) / (L t √2 / 2) = F / (2 √2 L t). 
 
Valores típicos de tensões admissíveis em soldas para aços estão na faixa de 75 MPa. Consultar dados dos fabricantes. 
 
4-) Tensão admissível de cisalhamento 
 
Na página Resistência dos Materiais IA foram dados alguns critérios para tensões admissíveis de peças tracionadas. Alguns 
autores sugerem, para o cisalhamento, a tensão admissível de tração multiplicada por um fator que varia de 0,5 a 0,6. 
 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IB-2 - Alguns exemplos de tração e compressão 
Deformação plástica residual 
Ação da força centrífuga em barra girante 
Dilatação linear com dois materiais 
 
 
1-) Deformação plástica residual 
 
No esquema da Figura 1.1, a barra (azul) é considerada de seção transversal S constante. São conhecidos os valores de: 
Fig 1.1 
L: comprimento inicial. 
 
E: módulo de elasticidade do material. 
σE: tensão de escoamento do material. 
∆Lmax: aumento do comprimento devido à aplicação do esforço de tração. 
 
Com esses dados, desejamos saber o aumento permanente ∆Lperm, que ocorre 
depois de retirada a força tracionante F. 
 
Supomos que o material se comporta conforme o gráfico na parte direita da 
referida figura. 
 
Do início da deformação (0) até o escoamento (1), há uma relação linear entre tensão σ e deformação ε. Iniciado o 
escoamento, a tensão permanece constante até a deformação máxima em (2). Na remoção do esforço (2) a (3), a relação 
tensão e deformação volta a ser linear e, desde que o módulo de elasticidade não varia, o retorno se dá em uma reta paralela 
a 01, deslocada devido à deformação residual da região plástica 12. É uma aproximação dos ensaios reais de tração. 
 
A deformação máxima (em 2) é dada por ε2 = ∆Lmax/L. 
 
A deformação máxima na região elástica (em 1) é dada por: ε1 = σE / E (ver lei de Hooke). 
 
A geometria do gráfico permite concluir que a deformação em (3) é igual à diferença entre as deformações em (3) e em (1). 
Assim: 
 
ε3 = ε2 - ε1 = ∆Lmax/L - σE / E. Mas ε3 = ∆Lperm/L ou ∆Lperm = ε3 L. 
 
Portanto, podemos determinar ∆Lperm em função dos parâmetros supostamente conhecidos. 
 
2-) Ação da força centrífuga em barra girante 
 
Conforme Figura 2.1, uma barra horizontal de seção transversal constante gira em torno de um eixo vertical que passa por 
uma extremidade, com velocidade angular constante. Desejamos saber a atuação da força centrífuga ao longo do 
comprimento da barra bem como sua deformação. 
 
São conhecidos: 
L: comprimento da barra. 
S: área da seção transversal. 
w: velocidade angular. 
µ: massa específica do material da barra. 
E: módulo de elasticidade do material da barra. 
 
Na página Dinâmica II, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular w e raio r, a força 
centrífuga é dada por F = m w2 R #II.1#. 
 
Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questão, ela é distribuída. Mas pode ser 
tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto médio) da parte considerada. 
 
Seja um ponto P genérico situado a um raio r do centro. A força centrífuga atuante neste ponto é equivalente à da massa do 
trecho PA concentrada no seu ponto médio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O. 
Fig 2.1 
Mas PA = L - r. Portanto, o raio de giro dessa massa concentrada é r + (L - 
r)/2. Simplificando, (L + r)/2. 
 
A massa desta parte é µ PA S = µ (L - r) S. 
 
Substituindo para a força centrífuga (#II.1#): 
 
F = µ (L - r) S w2 (L + r) / 2. Simplificando: 
 
F(r) = µ S w2 (L2 - r2) / 2 #II.2#. 
 
Observar a notação F(r), que indica a dependência com o raio r. Na extremidade A (r = L) a força é nula, atingindo o valor 
máximo em O (r = 0). Portanto a tensão máxima é dada por: 
 
σmax = F(0)/S = µ w
2 L2 / 2 #II.3#. 
 
A determinação da deformação não se faz pela simples divisão da tensão pelo módulo de elasticidade. Desde que a força varia 
ao longo do comprimento (#II.2#), a tensão também varia, o que torna inválida a divisão mencionada. 
 
Consideramos um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto é, dL está em P da figura). Dividindo a igualdade 
#II.2# pela área S, temos a tensão atuante neste ponto: 
 
σ(r) = µ w2 (L2 - r2) / 2. Considerando dl a variação do comprimento dr provocada pela tensão σ, temos conforme lei de 
Hooke: 
 
dl / dr = σ / E = µ w2 (L2 - r2) / (2 E). Ou dl = [ µ w2 / (2E) ] (L2 - r2) dr. A variação total do comprimento é dada pela 
integração: 
 
l = ∫0,L dl = ∫0,L [ µ w2 / (2E) ] (L2 - r2) dr = [ µ w2 / (2E) ] |0,L (L2 r - r3/3). 
l = [ µ w2 / (2E) ] (L3 - L3/3) = [ µ w2 / (2E) ] (2 L3 / 3) = [ µ w2 L2 / 2 ] [2 L / (3E) ]. 
 
O primeiro termo entre colchetes é a tensão máxima dada por #II.3#. Assim, 
 
l = 2 σmax L / (3 E). Isto é a variação total de comprimento. Portanto, a divisão por L dá a deformação total da barra: 
 
ε = l / L = 2 σmax / (3 E) #II.4#. 
 
3-) Dilatação linear com dois materiais 
 
Este problema é semelhante ao do Tópico 5 da página 1 desta série. A diferença é a existência de duas barras de materiais 
diferentes, que sofrem a mesma variação de temperatura ∆t e são impedidas de dilatar conforme (a) da Figura 3.1. As seções 
transversais, consideradas circulares, também são diferentes. 
Fig 3.1 
Além das dimensões geométricas (L e D) indicadas na figura, supomos que são 
conhecidos os módulos de elasticidade (E1 e E2) e os coeficientes de dilatação 
linear (α1 e α2) de cada material. 
 
A condição de equilíbrio estático permite concluir que as reações dos apoios 
são idênticas: 
 
RA = RB = R. Portanto, ambas as partes estão sob o mesmo esforço de 
compressão R. 
 
Consideramos agora a situação (b) da figura, isto é, o aquecimento livre. 
 
Nesta condição e segundo #V.1# da página 1, os comprimentos das partes seriam: 
 
L1' = L1 + L1 α1 ∆t e L2' = L2 + L2 α2 ∆t. 
 
E as variações: 
 
∆L1dilat = L1 α1 ∆t e ∆L2dilat= L2 α2 ∆t #III.1#. 
 
Com a aplicação das reações dos apoios RA e RB, as barras sofrem uma deformação por compressão elástica, de forma que a 
soma dos comprimentos finais L1F + L2F é igual à soma dos comprimentos iniciais L1 + L2. 
 
Notar que os comprimentos finais L1F e L2F não são necessariamente iguais aos seus comprimentos iniciais L1 e L2, como pode 
sugerir a figura. A igualdade está na soma de ambos. 
 
S1 = π D1
2/ 4 e S2 = π D2
2/ 4 são as áreas das seções transversais de cada parte. 
 
E as tensões em cada parte são: 
 
σ1 = R/S1 = 4 R / (π D1
2) e σ2 = R/S2 = 4 R / (π D2
2) #III.2#. 
 
Conforme lei de Hooke temos σ = E ε = E ∆L / L ou ∆L = σ L / E. Assim, 
 
∆L1compr = σ1 L1 / E1 e ∆L2compr = σ2 L2 / E2 #III.3#. 
 
Para impedir a dilatação livre, a soma das reduções de comprimento devido à compressão deve ser igual à soma dos 
aumentos devido à dilatação: 
 
∆L1compr + ∆L2compr = ∆L1dilat + ∆L2dilat. 
 
σ1 L1 / E1 + σ2 L2 / E2 = ∆L1dilat + ∆L2dilat. 
R L1 / S1 E1 + R L2 / S2 E2 = L1 α1 ∆t + L2 α2 ∆t. 
 
R = [ L1 α1 ∆t + L2 α2 ∆t ] / [ L1 / S1 E1 + L2 / S2 E2]. 
 
R = [ ∆L1dilat + ∆L2dilat ] / [ 4 L1 / (π D1
2 E1) + 4 L2 / (π D2
2 E2) ] #III.4#. 
 
Com essa igualdade a reação R fica determinada em função de parâmetros supostamente conhecidos e outros dados podem 
ser calculados em função da mesma. Consideramos agora o exemplo numérico para ∆t = 80ºC. 
 
 
Seja alumínio o material da parte 1 e bronze o da parte 2. E os valores: 
L1 = 0,45 m | D1 = 0,05 m | E1 = 69 GPa | α1 = 2,3 10
-5 /ºC. 
L1 = 0,50 m | D1 = 0,045 m | E2 = 98 GPa | α1 = 1,9 10
-5 /ºC. 
 
Conforme #III.1#: 
 
∆L1dilat = 0,45 m 2,3 10
-5 /ºC 80 ºC = 0,828 mm ou 0,828 10-3 m. 
 
∆L2dilat = 0,50 m 1,9 10
-5 /ºC 80 ºC = 0,760 mm ou 0,760 10-3 m. 
 
Conforme #III.4#: 
 
r = [8,28 10-4 m + 7,6 10-4 m] / [ 4 0,45 m / (π 0,052 m2 69 109 N/m2 + 4 0,50 m / (π 0,0452 m2 98 109 N/m2 ] ≅ 15,88 10-4 
m / [ 3,32 10-9 (m/N) + 3,21 10-9 (m/N) ] ≅ 243,206 kN. 
 
Calculamos agora as tensões de compressão conforme #III.2#: 
 
σ1 = 4 243,206 10
3 / (π 0,052 m2) ≅ 123,864 MPa. 
σ2 = 4 243,206 10
3 / (π 0,0452 m2) ≅ 152,918 MPa. 
 
E as variações devido à compressão conforme #III.3#: 
 
∆L1compr = 123,864 MPa 0,45 m / 69 GPa ≅ 0,808 10
-3 m ou 0,808 mm. 
∆L2compr = 152,918 MPa 0,50 m / 98 GPa ≅ 0,780 10
-3 m ou 0,780 mm. 
 
Desde que a dilatação aumenta o comprimento e a compressão diminui, a variação líquida é igual à diferença das duas. 
Assim, 
 
∆L1 = ∆L1dilat - ∆L1compr = 0,828 - 0,808 = 0,02 mm. 
∆L2 = ∆L2dilat - ∆L2compr = 0,760 - 0,780 = -0,02 mm. 
 
Os resultados positivo e negativo indicam que o alumínio é expandido e o bronze, comprimido. À primeira vista, isso pode 
parecer estranho. É mais visível supor ambas as partes comprimidas. Mas os diâmetros e comprimentos são diferentes, os 
materiais têm módulos de elasticidade e coeficientes de dilatação distintos. A combinação desses valores pode fazer 
resultados deste tipo. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IC - Deformação por torção - Parte 1 
Torção de peças circulares 
Momento polar de resistência 
Tabela de momentos para algumas seções 
 
 
1-) Torção de peças circulares 
 
Seja, conforme Figura 1.1, uma barra cilíndrica fixa em uma extremidade e submetida a um esforço de torção por um 
conjugado de torque T na outra extremidade. 
Fig 1.1 
Esta solicitação é uma torção uniforme, uma vez que consideramos 
homogêneo o material da barra. Assim, todos os pontos de cada circunferência 
de qualquer seção transversal têm o mesmo deslocamento. 
 
Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformação tal que o 
ângulo φ sobre uma circunferência é função da distância x entre este círculo e 
a extremidade engastada. 
 
A simples dedução ou observação prática revelam que o ângulo φ aumenta 
com o aumento de x. Para determinar a relação entre ambos, importante em 
muitos casos práticos, é necessário em primeiro lugar um estudo das tensões 
em cada plano de seção transversal. 
 
Na Figura 1.2 é considerada uma porção elementar da barra, de comprimento dx. O processo de torção pode ser entendido 
como o cisalhamento de dois planos próximos, como as extremidades desta seção elementar. 
 
A observação prática demonstra que o ângulo de distorção γ de uma superfície elementar varia linearmente com o raio, 
atingindo o valor máximo γmax na borda. Assim, γ = (r/R) γmax. 
 
Se os ângulos são proporcionais aos raios, as tensões de cisalhamento τ também são pois estamos supondo que as 
deformações ocorrem dentro da região elástica do material. Assim: 
 
τ = (r/R) τmax #I.1#. 
Fig 1.2 
O torque T pode ser dado pela integração do produto das forças elementares 
dF devido ao cisalhamento pela distância até o centro O, isto é, pelo raio: T = ∫ 
r dF. Mas dF = τ dA, onde dA são as áreas elementares. Assim, T = ∫ r τ dA. 
 
Substituindo τ conforme igualdade #I.1#: 
 
T = ∫ r (r/R) τmax dA = ( τmax / R) ∫ r2 dA. 
 
Mas ∫ r2 dA é o momento polar de inércia (Jp) da superfície (círculo neste caso) 
em relação ao eixo de rotação O. E fica definida a relação entre torque e 
tensão máxima: 
 
T = τmax Jp / R ou τmax = T R / Jp #I.2#. 
Fig 1.3 
Voltando à proporcionalidade entre raio e tensão de cisalhamento (igualdade 
#I.1#), podemos concluir que, em qualquer direção radial, a tensão varia de 
zero até τmax conforme (a) da Figura 1.3. 
 
Para o caso de eixo vazado (ou tubo) conforme Figura 1.3 (b), podemos 
facilmente verificar que a tensão varia radialmente de um valor mínimo até 
τmax. 
 
Fig 1.4 
Outro aspecto que vale mencionar é o fato das tensões de cisalhamento 
ocorrerem sempre em pares perpendiculares. 
 
Assim, em um corte hipotético de um eixo cilíndrico conforme Figura 1.4, há 
tensões ao longo do eixo, de mesmos valores das tensões na seção 
transversal. 
 
Voltamos agora à Figura 1.1 e à questão inicial deste tópico, isto é, o ângulo 
de torção da extremidade de um eixo cilíndrico na qual é aplicado um torque T, 
supondo a outra extremidade fixa e comprimento L. 
 
Pela Figura 1.2, podemos ver que, para uma pequena parte, dφ = γmax / R. Na página Resistência dos materiais IB pode ser 
vista a relação entre ângulo de cisalhamento e a respectiva tensão τ = G γ. Assim, dφ = τmax / (G R). Substituindo τmax pelo 
valor dado em #I.2# temos: dφ = T / (Jp G). Portanto, o ângulo φ é dado pela integração: 
 
φ = ∫0,L [T / (Jp G)] dx = T L / (Jp G) #I.3#. 
 
É evidente que esta fórmula vale apenas para eixos de seção constante e submetido à torção na extremidade. Para outros 
casos, ela pode ser generalizada com o torque e momento polar de inércia em função de x: 
 
φ = ∫0,L [ T(x) / (Jp(x) G) ] dx #I.4#. 
 
2-) Momento polar de resistência 
 
Nas fórmulas de #I.2#, o momento de resistência polar Wp é dado por: 
 
Wp = Jp / R #II.1#. Assim, o valor da tensão máxima fica dado por: 
 
τmax = T / Wp #II.2#. 
 
3-) Tabela de momentos para algumas seções 
 
Seção Nome Jp Wp Obs (ref torção) 
 
Círculo cheio 
π D4 / 32 
ou 
≅ D4 / 10 
π D3 / 16 
ou 
≅ D3 / 5 
Tensões máximas em 
quaisquer pontos da 
circunferência periférica. 
 
Círculo vazado (tubo) π (D4 - d4) / 32 π (D4 - d4) / 16 D 
Tensões máximas em 
quaisquer pontos da 
circunferência periférica. 
 
Tubo de parede fina π e D3 / 4 π e D2 / 2 
Tensões máximas em 
quaisquer pontos da 
circunferência periférica. 
 
Elipse cheia 
(a/b ≥ 1) 
π a3 b3 
/ 
16 (a2 + b2) 
π a b2 / 16 
τmax nas extremidades 
do eixo menor. Nas 
extremidades do maior: 
τ = τmax / (a/b). 
 
Tubo elíptico 
a/b = a'/b' ≥ 1 
π (a/b)3 (b4 - b'4) 
/ 
16 [ (a/b)2 + 1] 
π (a/b) (b4 - b'4) 
/ 
16 b 
τmax nas extremidades 
do eixo menor. Nas 
extremidades do maior: 
τ = τmax / (a/b). 
 
Triângulo eqüilátero 
≅ a4 / 46,19 
ou 
≅ h4 / 26 
a3 / 20 
ou 
≅ h3 / 13 
Tensões máximas nos 
centros dos lados. Nos 
vértices, tensões nulas. 
 
Quadrado 
≅ 0,1406 a4 
ou 
≅ a4 / 7,11 
≅ 0,208 a3 
Tensões máximas nos 
centros dos lados. Nos 
vértices, tensões nulas. 
 
Retângulo (a ≥ b)(*) ver tabela no final 
deste tópico 
c1 a b
3 (c1/c2) a b
2 
Tensões máximas nos 
centros dos lados 
maiores. Nulas nos 
vértices. Nos centros 
dos menores vale: 
τ = c3 τmax. 
 
Hexágono regular ≅ 1,847 a4 ≅ 1,511 a3 Tensões máximas nos 
centros dos lados. 
 
Octógono regular ≅ 1,726 a4 ≅ 1,481 a3 Tensões máximas nos 
centros dos lados. 
 
 
(*) para retângulos conforme tabela acima, os coeficientes são dados por: 
 
c1 = (1/3) { 1 - 0,630 / (a/b) + 0,052 / [ (a/b)
5 ] }. 
c2 = 1 - 0,65 / [1 + (a/b)
2]. 
 
A tabela abaixo dá os valores para algumas relações a/b: 
 a/b 1 1,5 2 3 4 6 8 10 
c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 0,298 0,307 0,312 
c2 0,675 0,852 0,928 0,977 0,990 0,997 0,999 1,000 
c3 1,000 0,858 0,796 0,753 0,745 0,743 0,743 0,743 
 
 
 
 
Resistência dos materiais ID - Deformação por torção - Parte 2 
Energia da deformação por torção 
Potência transmitida por um eixo 
Diagrama de momento e ângulo de torção 
Comentários sobre dimensionamentos 
Exemplo: barra biengastada sob torção 
 
 
1-) Energia da deformação por torção 
 
Na Figura 1.1, uma barra cilíndrica de raio R e comprimento L com a extremidade A fixa está submetida a um torque T na 
extremidade B, de forma que o ângulo de torção nessa extremidade em situação de equilíbrio estático é φ. 
Fig 1.1 
Deseja-se saber a energia gasta para atingir tal situação a partir da condição 
livre, isto é, girar um ponto na posição 1 até a posição 2 na figura de forma 
que ele seja mantido nessa posição com um torque T aplicado. 
 
No primeiro tópico da página Resistência dos materiais IC, foi dada a equação 
para o ângulo em função do torque aplicado: 
 
φ = T L / (Jp G). Portanto, 
T = (Jp G / L) φ = k φ, onde k = Jp G / L. 
 
O ângulo φ é, por definição, a razão entre segmento de circunferência a e o 
raio R: 
φ = a / R. 
 
O torque T pode ser considerado igual ao momento de uma força tangencial F em relação ao eixo da barra, isto é, T = F R = k 
φ conforme igualdade anterior. Ou F = (k/R) φ. 
 
O trabalho (ou energia da deformação) é dado pela integração do produto da força pelos deslocamentos infinitesimais ou W = 
∫ F da. Substituindo pelos valores de F e φ das igualdades anteriores: 
 
W = ∫ F da = ∫ (k/R) φ da = ∫ (k/R) (a/R) da = ∫ (k/R2) a da = (k/R2) a2/2 = (k/2) (a/R)2. 
 
Mas a/R = φ e φ = T/k conforme já visto. Assim, W = (k/2) φ2 = (k/2) (T2/k2) = T2 / (2k). 
 
Substituindo o valor de k (=Jp G / L) temos W = T
2 L / (2 Jp G) #I.1#. 
 
2-) Potência transmitida por um eixo 
 
A potência mecânica transmitida por um eixo está relacionada com o torque aplicado e a rotação de acordo com a seguinte 
fórmula: 
 
P = T ω #II.1#. Onde ω é a rotação em radianos por segundo. 
 
3-) Diagrama de momento e ângulo de torção 
 
Fig 3.1 
A Figura 3.1 dá o exemplo de uma barra cilíndrica com aplicação de dois 
esforços de torção em locais distintos. 
 
É suposto que a barra está engastada na extremidade C. 
 
Na parte inferior da figura são dados diagramas aproximados dos esforços de 
torção e ângulos de distorção ao longo do comprimento da barra. 
 
4-) Comentários sobre dimensionamentos 
 
Conforme visto em Resistência dos materiais IC, a tensão máxima em um eixo submetido a um torque T é dada por τmax = T / 
Wp #IV.1#. 
 
Na mesma página é dado o ângulo de torção de um eixo de comprimento L submetido a um torque T: φ = T L / (Jp G). 
Dividindo o valor por L, temos o ângulo de torção por unidade de comprimento: ϕ = T / (Jp G) #IV.2#. 
 
É comum o uso de ambos os critérios para dimensionamento de eixos. Para tensão máxima, τmax, que é uma tensão de 
cisalhamento, alguns critérios básicos podem ser vistos nas páginas Resistência dos materiais IB e tabela em Resistência dos 
materiais IA. 
 
Para o ângulo de torção por unidade de comprimento ϕ, encontram-se exemplos em literatura de valor máximo de 0,25 graus 
por metro de comprimento no caso de eixos de aço. Lembrar que as fórmulas dadas usam ângulos em radianos e, portanto, 
esse limite corresponde a aproximadamente 0,004363 radianos por metro de comprimento. 
 
5-) Exemplo: barra biengastada 
 
Na Figura 5.1 uma barra cilíndrica engastada em ambas as extremidades está sob ação de um torque T no local da variação 
de diâmetro. Deseja-se saber o ângulo de torção em B e a distribuição de torque ao longo da barra. 
Fig 5.1 
Para obedecer à condição de equilíbrio estático, um lado da barra deve estar 
sob ação de um torque T-T' e o outro lado, de T'. Assim, a soma de ambos se 
iguala ao torque externo T. 
 
O diagrama de torque da figura não corresponde necessariamente ao real, pois 
os valores e sinais serão dados pelos cálculos. 
 
O ponto de partida para resolver este problema é considerar a barra secionada 
em B, ou seja, como se fossem duas barras que, sob ação de T, apresentam o 
mesmo ângulo de torção. Assim, as duas seções se comportam como se 
fossem um corpo único. 
 
E, desde que são engastadas, nas extremidades o ângulo é nulo. 
 
Temos: φAB = φBC = φB. 
 
φAB = (T-T') LAB / (JpAB G) = φBC = T' LBC / (JpBC G). Portanto, 
T' LBC / (JpBC G) + T' LAB / (JpAB G) = T LAB / (JpAB G). 
Dividindo tudo por LAB / (JpAB G) temos: 
T' LBC (JpAB G) / LAB (JpBC G) + T' = T ou T' = T / [1 + (LBC JpAB) / (LAB JpBC)]. 
 
Desde que por hipótese são conhecidos T, LAB, LBC e os momentos polares JpAB e JpBC (funções dos respectivos raios), o valor 
de T' fica definido e o ângulo de giro φB pode ser calculado conforme igualdade anterior (se conhecido, é claro, o valor do 
módulo de elasticidade transversal G, que depende do material da barra). 
 
Este é um exemplo de carregamento estaticamente indeterminado ou hiperestático de torção. As equações fundamentais 
da estática, ΣF = 0 e ΣM = 0, não são suficientes para definir todas as variáveis. Além dessas, é necessário considerar o 
deslocamento. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais II - Tensões planas ou estado duplo de tensões 
Tensões planas 
Tensões principais no plano 
Tensões (max e min) de cisalhamento no plano 
Círculo de Mohr para tensões planas 
 
 
1-) Tensões planas 
 
Fig 1.1 
Seja, por exemplo, um corpo em forma de disco conforme Figura 1.1. A 
espessura (dimensão z) é pequena em relação às demais dimensões. 
 
Nesta condição, pode-se considerar que tensões normais e transversais 
atuantes em quaisquer partes elementares do corpo ocorrem somente no 
plano xy, conforme A da figura. 
 
São ditas tensões planas. Ou estado duplo de tensões. 
 
Consideramos agora uma porção retangular do corpo de pequenas dimensões ∆x e ∆y (Figura 1.2). A espessura é considerada 
∆z, que é a espessura (pequena) do corpo. Portanto, as áreas dos lados dos eixos x e y são ∆x ∆z e ∆y ∆z respectivamente. 
 
Na situação de equilíbrio estático, a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula. Seja o centro O o ponto 
considerado. Assim, os momentos das forças das tensões normais são nulos pois as linhas passam pelo ponto. Sobram os 
momentos das forças das tensões transversais. 
 
Desde que as forças correspondentes são as tensões multiplicadas pelas respectivas áreas de atuação, temos: 
 
τxy ∆y ∆z ∆x / 2 + τ'xy ∆y ∆z ∆x / 2 - τyx ∆x ∆z ∆y / 2 - τ'yx ∆x ∆z ∆y / 2 = 0. Esta igualdade pode ser dividida pelo fator comum 
∆x ∆y ∆z / 2, resultando em: τxy + τ'xy - τyx - τ'yx = 0. 
Fig 1.2 
Sejam τ'xy = τxy + ∆τxy e τ'yx = τyx + ∆τyx. 
 
τxy + τxy + ∆τxy - τyx - τyx - ∆τyx = 0. 
 
Ou τxy - τyx = (∆τyx - ∆τxy) / 2. 
 
Numa situação limite, o lado direito dessa equação tende para zero e podemos 
escrever: 
 
τxy = τyx #I.1#. 
 
Para uma porção de seção triangular conforme Figura 1.3, usamos as condições de equilíbrio estático, Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0, 
para determinar as tensões no lado BC, conhecidas as tensões nos eixos x e y: σx, σy e τxy (esta última e τyx são iguais 
conforme resultado anterior). 
 
Chamamos ∆S (= BC ∆z) a área do lado BC. Assim, a área do lado AC é ∆S sen φ e a do lado AB é ∆S cos φ. 
 
Consideramos um sistema de coordenadas x'y' tal que oeixo x' é perpendicular a BC. 
 
Σ Fx' = 0 = σ ∆S - σx ∆S sen φ sen φ - σy ∆S cos φ cos φ - τxy ∆S sen φ cos φ - τxy ∆S cos φ sen φ. 
 
σ = σx sen
2 φ + σy cos
2 φ + τxy sen φ cos φ + τxy 2 sen φ cos φ. Esta expressão pode ser simplificada se consideramos as 
igualdades trigonométricas: 
 
sen 2φ = 2 sen φ cos φ , sen2 φ = (1 - cos 2φ) / 2 e cos2 φ = (1 + cos 2φ) / 2. Assim, 
 
σ = (σy + σx) / 2 + [ (σy - σx) cos 2φ ] / 2 + τxy sen 2φ #I.2#. 
Fig 1.3 
Σ Fy' = 0 = τ ∆S + σx ∆S sen φ cos φ - σy ∆S cos φ sen φ - τxy ∆S sen φ sen φ + 
τxy ∆S cos φ cos φ. 
 
Usando as mesmas igualdades trigonométricas, temos: 
 
τ = [ (σy - σx) sen 2φ ] / 2 - τxy cos 2φ #I.3#. 
 
Assim, ficam definidas as tensões em dada direção em função das tensões 
conhecidas em um par de eixos xy. 
 
2-) Tensões principais no plano 
 
As equações anteriores (#I.2# e #I.3#) permitem, conforme dito, determinar as tensões normal e transversal em qualquer 
plano, dadas as tensões normais e transversais em dois eixos ortogonais conhecidos x e y. Entretanto, em muitos problemas 
de Engenharia, o que se deseja saber são as tensões máximas para fins de dimensionamento do material. 
 
Para saber a direção da tensão normal máxima, precisamos derivar #I.2# em relação a φ e igualar a zero: 
 
dσ / dφ = - [ (σy - σx) 2 sen 2φ ] / 2 + 2 τxy cos 2φ = 0. A solução desta equação é: 
 
tan 2φ = 2 τxy / (σy - σx) #II.1#. Esta equação tem duas soluções (2φ)1 e (2φ)2, que diferem 180º entre si. Portanto, φ1 e φ2 
diferem de 90° e a dualidade de soluções significa que há uma tensão máxima σ1 e uma tensão mínima σ2. 
 
Tais tensões, σ1 e σ2, são denominadas tensões principais e os eixos ou planos correspondentes (ângulos φ1 e φ2) são 
denominados planos principais. Notar que, conforme parágrafo anterior, as tensões principais são ortogonais entre si. 
Fig 2.1 
Na Figura 2.1 estão representados os ângulos (2φ)1 e (2φ)2. A equação #II.1# 
pode ser reescrita: tan 2φ = τxy / [(σy - σx)/2]. 
 
Se consideramos: 
 
11' = τxy e 22' = - τxy. 
O1' = (σy - σx)/2 e O2' = - (σy - σx)/2. 
 
Temos os valores de seno e co-seno: 
 
Sen (2φ)1 = τxy / { [(σy - σx)/2]
2 + τxy
2 }1/2. 
Cos (2φ)1 = [(σy - σx)/2] / { [(σy - σx)/2]
2 + τxy
2 }1/2. 
 
Sen (2φ)2 = - τxy / { [(σy - σx)/2]
2 + τxy
2 }1/2. 
Cos (2φ)2 = - [(σy - σx)/2] / { [(σy - σx)/2]
2 + τxy
2 }1/2. 
 
Substituindo estes valores em #I.2# resulta: 
 
σ1,2 = (1/2) (σy + σx) ± (1/2) [ (σy - σx)
2 + 4 τxy
2 ]1/2 #II.2#. 
 
Se os valores são substituídos na equação da tensão transversal (#I.3#) resulta: 
 
τ1,2 = 0 #II.2#. Isto significa que não há tensões transversais (ou de cisalhamento) nos planos principais. 
 
3-) Tensões (max e min) de cisalhamento no plano 
 
De forma similar ao tópico anterior, as tensões transversais máxima e mínima podem ser obtidas pela derivação de #I.3# em 
relação a φ: 
 
dτ/dφ = 2 [ (σy - σx) cos 2φ ] / 2 - (-2) τxy sen 2φ = 0. Ou 
 
tan (2φ)t = - (σy - σx) / 2 τxy #III.1#. Obs: a notação (2φ)t serve para não confundir com 2φ da tensão normal do tópico 
anterior. 
 
Semelhante à equação #II.1#, há duas soluções (2φ)t1 e (2φ)t2 que diferem 180º entre si. Assim, φt1 e φt1 têm diferença de 
90º. 
 
Podemos também notar que #III.1# e #II.1# têm valores absolutos inversos. Assim, 2φ e (2φ)t têm diferença de 90° e, 
portanto, φ e φt são separados de 45°. Portanto, o par de eixos das tensões máxima e mínima de cisalhamento está na 
bissetriz do ângulo reto dos planos principais (tensões normais máxima e mínima). 
 
Formulando seno e co-seno para (2φ)t1 e (2φ)t2 de maneira semelhante à do tópico anterior e substituindo em #I.3#, 
chegamos a: 
 
τ1,2 = ± (1/2) [ (σy - σx)
2 + 4 τxy2 ]
1/2 #III.2#. O resultado indica que as tensões transversais máxima e mínima têm valores 
absolutos idênticos, diferindo no sinal. 
 
4-) Círculo de Mohr para tensões planas 
 
Abaixo são repetidas as igualdades #I.2# e #I.3# para as tensões normais e transversais conforme primeiro tópico: 
 
σ = (σy + σx) / 2 + [ (σy - σx) cos 2φ ] / 2 + τxy sen 2φ. 
τ = [ (σy - σx) sen 2φ ] / 2 - τxy cos 2φ. 
 
Elas podem ser rearranjadas para: 
 
σ - [(σy + σx) / 2] = [(σy - σx) / 2] cos 2φ + τxy sen 2φ. 
τ = [(σy - σx) / 2] sen 2φ - τxy cos 2φ. 
 
Fazendo d = (σy - σx)/2 e elevando ambas ao quadrado e somando: 
 
{σ - [ (σy + σx) / 2]}
2 + τ2 = d2 cos2 2φ + τxy
2 sen2 2φ + 2 d cos 2φ τxy sen 2φ + 
d2 sen2 2φ + τxy
2 cos2 2φ - 2 d sen 2φ τxy cos 2φ. 
 
{σ - [ (σy + σx) / 2]}
2 + τ2 = d2 + τxy
2 = [(σy - σx) / 2]
2 + τxy
2. 
 
Chamamos tensão média a expressão σm = (σy + σx) / 2 #IV.1#. 
 
Fazemos R2 = [(σy - σx) / 2]
2 + τxy
2#IV.2#. 
 
E a equação anterior fica resumida em: 
 
(σ - σm)
2 + τ2 = R2 #IV.3#. Com σm e R dados pelas igualdades anteriores. 
 
Esta equação permite concluir que, num sistema de coordenadas ortogonais σ τ, os valores das tensões normais e 
transversais estão em um círculo de raio R e centro em (σm,0). Este é o chamado círculo de Mohr, em homenagem ao 
engenheiro alemão Otto Mohr. 
 
A Figura 4.1 dá exemplo de um círculo de Mohr desenhado a partir de um determinado conjunto de valores σx, σy e τxy. 
Fig 4.1 
O centro do círculo é determinado pela tensão média. Assim, 
OC = σm = (σy + σx)/2. 
 
E o raio é definido conforme #IV.2#. 
 
Se OI é igual a σy, IE é igual a τyx. O ponto diametralmente oposto (F) 
corresponde a σx e τxy (que é igual em módulo a τyx, conforme já visto no 
Tópico 1). Observar a diferença de 180º que corresponde a 2φ, isto é, o ângulo 
de 90º entre os eixos x e y. 
 
OA é a tensão mínima σ2 e OB a máxima σ1. Assim, CB e CA representam os 
planos principais. 
 
Notar que a tensão de cisalhamento τ é nula em B e A, conforme já visto no tópico Tensões principais. As direções de 
cisalhamentos máximo e mínimo (CH e CG) estão deslocadas de 2φ = 90° e, portanto, φ = 45° dos planos principais, 
conforme visto em Tensões (max e min) de cisalhamento no plano. 
 
O ângulo entre CB e CE (2φp) representa o ângulo φp entre o plano y e o principal 1. 
 
Nas direções de máximo e mínimo cisalhamento (CG e CH), as tensões normais são idênticas e iguais a σm. 
 
Pela simetria do círculo, podemos notar que a soma σx + σy é constante. 
Fig 4.2 
Alguns casos particulares para o círculo de Mohr são exibidos na Figura 4.2. 
 
(a): tração simples. 
 
(b): compressão simples. 
 
(c): cisalhamento simples. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IIA1 - Tensões no espaço - Parte 1 
Tensões no espaço 
Tensões principais 
Círculo de Mohr para tensões no espaço 
Continua na Parte 2 
 
 
1-) Tensões no espaço 
 
Na página anterior foram dados os princípios básicos da análise de tensões em um plano. 
Fig 1.1 
Na prática, os corpos são sempre tridimensionais, mas em vários casos as 
tensões mais importantes atuam em determinado plano (ou mesmo em 
determinado eixo) e as demais podem ser desprezadas. 
 
Mas pode haver casos em que as tensões nos três eixos são relevantes e não 
podem ser desconsideradas. 
 
Para a análise, consideramos um volume em forma de paralelepípedo do corpo 
a estudar. Ver Figura 1.1 ao lado. 
 
Conforme pode ser deduzido do estudo da página anterior, cada face é 
submetida a uma 
 
tensão normal e a um par de tensões transversais. 
 
Uma superfície genérica (não paralela a qualquer eixo) pode ser dada pelo plano ABC que divide o paralelepípedo pela 
metade. Portanto, o objeto geométrico do estudo é o tetraedro OABC conforme Figura 1.2 (não está na mesma proporção da 
figura anterior). 
 
Em cada face perpendicular a um eixo atuam as tensões normais e transversais indicadas. No centro de gravidade GABC do 
plano ABC atua uma tensão ρ (vetor. Usada a convenção negrito) cujos componentes são ρx, ρy e ρz conforme canto superior 
esquerdo da figura. 
 
E podemos escrever a soma vetorial: ρ = ρx + ρy + ρz. Sejam ux, uy e uz os vetores unitários para os respectivos eixos de 
coordenadas. Temos portanto: ρ = ρx ux + ρy uy + ρz uz. 
 
Seja uN um vetor unitário normal à superfície ABC. Temos portanto os componentes:uN = cos αx ux + cos αy uy + cos αz uz. Onde αx, αy e αz são os ângulos da normal com os eixos de coordenadas. 
 
Vale também observar que a condição de equilíbrio ΣM = 0 permite deduzir as igualdades em pares das tensões transversais: 
 
τxy = τyx, τxz = τzx e τyz = τzy. 
Fig 1.2 
O equilíbrio estático permite concluir: 
 
ρx = - (σx uNx + τxy uNy + τxz uNz). 
ρy = - (τxy uNx + σy uNy + τyz uNz). 
ρz = - (τxz uNx + τyz uNy + σz uNz). 
 
Em termos escalares, sem considerar sinais, podemos representar os 
componentes na forma de produto de matrizes (#I.1#): 
ρx sx txy txz cos αx 
ρy txy sy tyz cos αy 
 
ρz 
 
= 
 
txz tyz sz 
 
cos αz 
 
 
A segunda matriz (caracteres azuis) é denominada matriz de tensões ou tensor dos esforços no espaço.#II.8# 
 
E o módulo da tensão σ, normal à superfície ABC, é dado pelo produto escalar: 
 
σ = ρ . uN. 
 
Para o componente transversal τ, temos o módulo dado por: τ2 = ρ . ρ - σ2. 
 
2-) Tensões principais (início da página) 
 
No tópico anterior foi dada a relação entre as tensões em um plano qualquer e as tensões em planos do sistema de 
coordenadas. 
Fig 2.1 
Mas isso não é tudo. Em geral, o que se deseja saber é algo similar à situação 
de tensões planas, ou seja, os valores máximos que ocorrem. 
 
No caso de tensões no plano, há dois eixos principais nos quais só atuam 
tensões normais. Deduzindo para as tensões no espaço, é lógico supor (e 
realmente ocorre) que existem três planos principais, ortogonais entre si, 
sobre os quais só atuam tensões normais. Ou seja, as tensões de cisalhamento 
são nulas. 
 
As tensões normais atuantes nesses planos são ditas tensões principais e 
são designadas por σ1, σ2 e σ3. 
 
Uma das três tensões principais é a máxima que ocorre e outra, a mínima. Para isso, usamos a convenção: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. 
 
Também de forma similar ao estado duplo, as tensões extremas de cisalhamento ocorrem nos planos bissetores dos 
principais. São chamadas tensões principais de cisalhamento e dadas por: 
 
τ1 = (σ2 - σ3) / 2, τ2 = (σ1 - σ3) / 2 e τ3 = (σ1 - σ2) / 2 #II.1#. 
 
A determinação das tensões principais é matematicamente mais complexa do que a do estado duplo. Envolve conceitos de 
autovalores e autovetores. Aqui só é dado o resultado na forma de soluções para a equação abaixo: 
 
σ3 - A σ2 + B σ - C = 0 #II.2#. Esta equação tem 3 soluções, correspondentes às tensões principais mencionadas. Os 
coeficientes A, B e C são dados por: 
 
A = σx + σy + σz #II.3#. 
B = σx σy + σy σz + σx σz - τ
2
xy - τ
2
yz - τ
2
xz #II.4#. 
C = σx σy σz + 2 τxy τyz τxz - σx τ
2
yz- σy τ
2
xz- σz τ
2
xy #II.5#. 
 
Demonstra-se que os coeficientes A, B e C são constantes em qualquer direção para a mesma matriz de tensões. Assim, as 
igualdades anteriores devem valer também para as tensões principais, sendo nulas as de cisalhamento conforme já dito. 
Portanto: 
 
σ1 + σ2 + σ3 = A #II.6#. 
σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 = B #II.7#. 
σ1 σ2 σ3 = C #II.8#. 
 
3-) Círculo de Mohr para tensões no espaço 
 
Fig 3.1 
Na página anterior foi demonstrado que o estado plano de tensões pode ser 
graficamente representado pelo círculo de Mohr. 
 
Na Figura 3.1, supomos que as faces do volume coincidem com os planos 
principais. Portanto, cada uma está sujeita somente às tensões principais σ1, σ2 
e σ3. 
 
Consideramos um eixo fixo que passa por σ3, em torno do qual o cubo gira. 
Nesta situação, as tensões atuantes nas faces onde σ1 e σ2 se comportam 
como um estado duplo e podem ser representadas pelo círculo de Mohr de 
centro C3 (Figura 3.2). 
 
A tensão σ3, perpendicular ao plano considerado, não afeta o comportamento. Usando o mesmo raciocínio para os demais 
eixos, chegamos ao conjunto de círculos da Figura 3.2. 
Fig 3.2 
É possível demonstrar que, para rotações em torno de outros eixos, os pontos 
de tensões se localizam na área cinza da figura. 
 
As tensões máximas de cisalhamento indicadas (τmax1, τmax2 e τmax3) são as 
máximas para rotações em torno de cada eixo perpendicular a um plano 
principal conforme já comentado. 
 
As coordenadas dos centros são dadas por: 
 
C1[ (σ2+σ3)/2, 0 ] 
C2[ (σ1+σ3)/2, 0 ] 
C3[ (σ1+σ2)/2, 0 ] #III.1#. 
 
Temos portanto os valores extremos: σmax = σ1, σmin = σ3 e τmax = τmax2. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IIA2 - Tensões no espaço - Parte 2 
Esta página é continuação da Parte 1. 
 
Alguns casos particulares de tensões no espaço 
Exemplo numérico para tensões no espaço 
 
 
1-) Alguns casos particulares de tensões no espaço (início da página) 
 
A Figura 1.1 dá exemplos do círculo de Mohr para tensões no espaço para alguns casos particulares. 
Fig 1.1 
Em (a), todas as tensões principais têm o mesmo valor, isto é, σ1 = σ2 = σ3 = 
σ' e as tensões de cisalhamento são nulas, isto é, τ1 = τ2 = τ3 = 0. Esta 
situação só pode ocorrer com um fluido submetido a uma determinada 
pressão. Chamado portanto de condição hidrostática. 
 
Em (b) e (c) duas das três tensões principais são iguais e temos uma condição 
semi-hidrostática. 
 
Em (d) e (e) temos duas tensões principais nulas, representando um estado simples de tensão (tração ou compressão). 
 
Em (f) temos σ2 = 0 e σ1 = - σ3, representando um estado de cisalhamento simples similar à condição exibida na página 
Tensões planas, tópico 4. 
 
2-) Exemplo numérico para tensões no espaço 
 
Seja um material sujeito às tensões nas direções das coordenadas de referência XYZ, com valores numéricos dados pela 
Figura 2.1. Desejamos saber as tensões principais, normais e de cisalhamento. 
Fig 2.1 
Conforme convenções da página anterior: 
 
σx = 120 MPa 
σy = -20 MPa 
σz = 70 MPa 
 
τxy = τyx = -40 MPa 
τyz = τzy = 50 MPa 
τxz = τzx = 25 MPa 
 
 
Conforme #II.2# da página anterior, as tensões normais são as soluções da 
seguinte equação do terceiro grau: 
 
σ3 - A σ2 + B σ - C = 0. E as fórmulas para os coeficiente A, B e C são dadas no mesmo tópico: 
 
A = σx + σy + σz = 120 + (-20) + 70 = 170 MPa. 
 
B = σx σy + σy σz + σx σz - τ
2
xy - τ
2
yz - τ
2
xz. 
B = 120 (-20) + (-20) 70 + 120 70 - (-40)2 - 502 - 252. 
B = -2400 - 1400 + 8400 - 1600 - 2500 - 625 = - 125 MPa2. 
 
C = σx σy σz + 2 τxy τyz τxz - σx τ
2
yz- σy τ
2
xz- σz τ
2
xy. 
C = 120 (-20) 70 + 2 (-40) 50 25 - 120 502 - (-20) 252 - 70 (-40)2. 
C = - 168000 + 100000 - 300000 + 12500 - 112000 = - 478750 MPa3. 
 
E temos a equação anterior: σ3 - 170 σ2 - 125 σ + 478750 = 0. 
Fig 2.2 
As soluções para esta equação podem ser vistas graficamente na Figura 2.2 ao 
lado. 
 
Em outras palavras, são os valores de σ que fazem a função 
 
F(σ) = σ3 - 170 σ2 - 125 σ + 478750 ter valor igual a zero. 
 
Para determinar os valores numéricos, podemos usar um método de 
aproximações sucessivas que encontre uma das soluções. 
 
Usamos aqui o método da bisseção (ou bissecção). É simples, embora a 
convergência não seja tão rápida pois é um processo linear. 
 
A Figura 2.3 abaixo dá o princípio para uma função genérica F(x). 
Fig 2.3 
Escolhemos dois valores arbitrários x1 e x2 tais que F(x1) F(x2) < 0. Assim, pelo 
menos uma solução, F(x) = 0, está entre x1 e x2. 
 
Se o produto F(x1) F(xm) é positivo, o próximo valor de x1 é xm e x2 permanece. 
Caso contrário, o próximo valor de x2 é xm e x1 permanece. Continuando o 
procedimento, os valores médios se aproximam da solução conforme indicado 
na figura (xm, xm', etc). 
 
Para determinar o valor exato, precisaríamos da impossibilidade prática de infinitos passos. Num procedimento real, podemos 
estabelecer um intervalo mínimo delta = x2 - x1, executando as iterações até este valor. E um código em Visual Basic para o 
método com a equação dada para as tensões principais seria: 
 
Function func_x(x) 
 func_x = x ^ 3 - 170 * x ^ 2 - 125 * x + 478750 
End Function 
 
Sub bissec() 
 Dim x1, x2, xm, delta 
 delta = 0.0001 
 x1 = -100 
 x2 = 50 
 Do While (x2 - x1) > delta 
 xm = (x2 + x1) / 2 
 If ((func_x(x1) * func_x(xm)) > 0) Then 
 x1 = xm 
 Elsex2 = xm 
 End If 
 Loop 
 Worksheets("Plan1").Cells(1, 1).Value = xm 
End Sub 
 
Este código é, na realidade, uma macro em uma planilha Excel que considera: 
 
delta = 0.0001, x1 = -100, x2 = 50. O resultado é dado na célula A1 da planilha "Plan1": 
 
A1 ≅ -47,23 MPa. Supomos que este é o valor de σ3. Podemos considerar σ1 ou σ2. Neste caso, precisamos apenas permutar 
os valores finais de forma que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, satisfazendo a convenção adotada. 
 
Conforme igualdades de #II.6# a #II.8# da página anterior (substituindo o valor de σ3 e das constantes): 
 
σ1 + σ2 - 47,23 = 170. 
σ1 σ2 + σ2 (−47,23) + σ1 (−47,23) = -125. 
σ1 σ2 (−47,23) = - 478750. 
 
Combinando a 1ª e a 2ª equação temos: 
σ1 + 478750/(47,23 σ1) = 217,23. Ou 47,23 σ1
2 + 478750 = 10259,8 σ1. 
 
Ou 47,23 σ1
2 - 10259,8 σ1 + 478750 = 0. Esta é uma equação comum do segundo grau e as duas soluções devem ser 
entendidas como σ1 e σ2. Resolvendo e considerando a solução σ3 anterior (≅ -47,2), temos: 
 
σ1 ≅ 149,4 Mpa, σ2 ≅ 67,9 MPa e σ3 ≅ -47,2 MPa. 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IIIA - Momentos de algumas seções comuns 
Momentos de inércia e de resistência de algumas seções: 
 
Circular cheia | Elipse cheia 
Hexágono regular 
Perfil C | Perfil C vazado 
Perfil em cruz | Perfil H 
Perfil I | Perfil I abas desiguais | Perfil I vazado 
Perfil L 
Perfil T aba horizontal | Perfil T aba vertical 
Perfil U 
Retângulo | Semicírculo 
Trapézio | Triângulo 
Tubo | Tubo de parede fina 
Tubo elíptico | Tubo elíptico de parede fina 
Tubo retangular 
 
 
1-) Momentos de inércia e de resistência de algumas seções 
 
Observações: 
 
a) Os valores são dados em relação a um eixo de referência (x e/ou y) coincidente com a linha neutra da seção. 
Naturalmente, nos casos de seções circulares, o valor independe da orientação do eixo. 
 
b) Em alguns casos o valor do momento de inércia é dado em função das distâncias acima ou abaixo da linha neutra (e1, e2) e 
seus valores são dados no lugar do momento de resistência W. Mas este pode ser calculado pela simples relação W = J / e. 
 
c) Reafirmando condições da página inicial do site, os melhores cuidados foram perseguidos na elaboração desta tabela. 
Entretanto, não há quaisquer garantias e/ou responsabilidades pelo seu uso. Dados para aplicações críticas devem sempre ser 
verificados em mais de uma fonte. 
Seção Nome/aspecto J W 
 
Circular cheia 
(início) 
J = π D4 / 64 
ou 
J ≅ D4 / 20 
W = π D3 / 32 
ou 
W ≅ D3 / 10 
 
Tubo 
(início) 
J = π (D4 - d4) / 64 W = π (D4 - d4) / (32 D) 
 
 
Tubo de parede 
fina 
(início) 
J = π t r3 [1 + (t/2r)2] 
 
Onde r = D/2 (raio médio). 
 
 Ou 
J ≅ π t r3 
W = J / (r + t/2) 
 
Onde r = D/2 (raio médio). 
 
 Ou 
W ≅ π t r2 
 
 
Elipse cheia 
(início) 
Jx = π a
3 b / 4 
Jy = π a b
3 / 4 
Wx = π a
2 b / 4 
Wy = π a b
2 / 4 
 
 
Tubo elíptico 
(início) 
Jx = π (a
3b - a'3b') / 4 Wx = Jx / a 
 
 
Tubo elíptico de 
parede fina 
(início) 
Jx ≅ π a
2 (a + 3b) t / 4 Wx ≅ π a (a + 3b) t / 4 
 
 
Semicírculo 
(início) 
Jx ≅ 0,00686 D
4 
Wx ≅ 0,0238 D
3 
Com 
e ≅ 0,2878 D 
 
 
Retângulo 
(início) 
Jx = b a
3 / 12 
Jy = a b
3 / 12 
Wx = b a
2 / 6 
Wy = a b
2 / 6 
 
 
Triângulo 
(início) 
Jx = a h
3 / 36 
Wx = a h
2 / 24 
Com 
e = 2 h / 3 
 
 
Hexágono regular 
(início) 
Jx = Jy ≅ 0,5413 a
4 Wx = 0,625 a
3 
Wy ≅ 0,5413 a
3 
 
 
Trapézio 
(início) 
Jx = h
3 (a2 + 4ab + b2) 
/ 
36 (a +b) 
Wx = h
2 (a2 + 4ab + b2) 
/ 
12 (2a + b) 
 
Com 
e = h (2a + b) / [3 (a + b)] 
 
 
Perfil T aba 
horizontal 
(início) 
Jx = (Be2
3 - bh3 + ae1
3) / 3 
e2 = (aH
2 + bd2) 
/ 
2 (aH + bd) 
 
 
e1 = H - e2 
 
 
Perfil L 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil U 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Tubo retangular 
(início) 
Jx = (BH
3 - bh3) / 12 Wx = (BH
3 - bh3) / (6 H) 
 
 
Perfil I 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil C 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil I vazado 
(início) 
Jx = B (H
3 - h3) / 12 
+ f (h3 - g3) / 12 
Wx = B (H
3 - h3) / (6 H) 
+ f (h3 - g3) / (6 H) 
 
 
Perfil C vazado 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil H 
(início) 
Jx = (BH
3 + bh3) / 12 Wx = (BH
3 + bh3) / (6 H) 
 
 
Perfil em cruz 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil T aba vertical 
(início) 
Idem Idem 
 
 
Perfil I abas 
desiguais em 
largura 
(início) 
Jx = (Be2
3 - B1h
3 
+ be1
3 - b1h1
3) / 3 
e2 = [aH
2 + B1d
2 + 
b1d1 (2H - d1)] 
/ 
2 (aH + B1d + b1d1) 
 
e1 = H - e2 
 
 
 
 
 
Resistência dos materiais III - Fundamentos da flexão simples 
Fundamentos da flexão 
Forças e momentos internos em vigas 
Diagramas de esforços em vigas 
 
 
1-) Fundamentos da flexão 
 
Flexão é um dos esforços comuns, conforme mencionado na introdução da página Resistência dos materiais I. É um dos 
esforços mais desfavoráveis, mas, na prática, não pode ser evitado em muitos casos. 
Fig 1.1 
Elementos sujeitos à flexão podem ser vistos em edificações, estruturas, 
máquinas e em muitos outros lugares. 
 
Na Figura 1.1 (a), uma barra de seção transversal retangular sofre esforços de 
flexão por forças atuantes em um plano que passa por um dos eixos centrais 
de inércia da seção. Esta situação é chamada flexão simples. 
 
Se o plano não passa por um eixo central - Figura 1.1 (b) - ocorre a flexão 
oblíqua. 
 
A flexão simples ocorre (ou assim pode ser considerada) em muitos casos práticos e, evidentemente, é a de formulação mais 
fácil. Portanto, ela será o objeto principal desta página. 
 
A Figura 1.2 (a) representa uma pequena parte da vista lateral de uma barra de seção transversal genérica conforme (b), 
submetida à flexão provocada por um momento M. 
 
A geometria da deformação sugere (e realmente acontece) que uma parte (a superior neste caso) da seção transversal está 
sob esforços normais de compressão e outra parte (inferior), de tração. A linha que divide essas duas partes é denominada 
linha neutra (LN) porque, naturalmente, as tensões ao longo da mesma são nulas. 
 
Também pode ser constatado experimentalmente que as tensões em pontos de linhas paralelas à neutra são iguais e variam 
linearmente com a distância vertical y. Assim, no gráfico da Figura 1.2 (c), as tensões variam de um máximo de compressão 
σ1 na extremidade superior da seção transversal (distância e1 da linha neutra) até um máximo de tração σ2 na extremidade 
inferior (distância e2 da linha neutra). 
 
Com a linearidade mencionada, a tensão σ em um ponto situado a uma distância genérica y da linha neutra pode ser escrita 
como: σ = (σ1/e1) y #I.1#. 
Fig 1.2 
Aplicando a primeira condição de equilíbrio estático (ΣFx=0), temos: 
 
∫ Fx = ∫ σ dS = ∫ (σ1/e1) y dS = 0. Assim, 
 
(σ1/e1) ∫ y dS = 0. Na página Seções planas, pode ser visto que ∫ y dS é o 
momento estático da superfície em relação a LN. Havendo flexão, (σ1/e1) não é 
nulo e ∫ y dS deve ser zero. Assim podemos dizer que a linha neutra passa pelo 
centro de gravidade da seção transversal. 
 
Por enquanto não será considerada a segunda condição de equilíbrio estático (ΣFy=0), pois isto implica a existência de tensões 
de cisalhamento, que realmente ocorrem e serão vistas posteriormente. 
 
Para a terceira condição de equilíbrio (ΣMi=0), devemos ter a soma dos momentos internos igual ao momento M aplicado 
externamente. Portanto, 
 
M = ∫ y σ dS = ∫ y (σ1/e1) y dS = (σ1/e1) ∫ y2 dS. Mas o fator ∫ y2 dS é o momento de inércia J em relação à linha neutra. 
Portanto, σ1 J / e1 = M. Desta igualdade podemos isolar o valor de σ1 e, combinando com #I.1# anterior, também o de σ2, 
resultando nas equações básicas da flexão simples: 
 
σ1 = M e1 / J e σ2 = M e2 / J #I.2#. 
 
Ou seja, as tensões máximas de tração e compressão estão localizadas nas extremidades da seção transversal e são dadas 
em função do momento de flexão aplicado, das distâncias dessas extremidades em relação à linha neutra e do momento de 
inércia em relação à mesma linha. 
 
Notar que, no caso da Figura 1.2, σ1 é compressão e σ2, tração. Mas será o contrário se o momento externo for invertido.Considerando a definição de momento ou módulo de resistência W, as igualdades anteriores podem ser escritas como: 
 
σ1 = M / W1 e σ2 = M / W2 #I.3#. Onde W1 = J / e1 e W2 = J / e2. 
 
 
O dimensionamento é feito pela comparação com as tensões admissíveis: 
 
σ1 ≤ σ1adm e σ2 ≤ σ2adm #I.4#. Onde σ1adm e σ2adm são as tensões admissíveis para tração e compressão ou vice-versa conforme 
já comentado. 
 
 
Se a seção transversal é simétrica em relação à LN, temos e1 = e2 = e. Por conseqüência, 
W1 = W1 = W. E temos apenas uma igualdade 
 
σ = M / W #I.5#, ou seja, a tensão máxima de tração é igual à máxima de compressão. 
 
 
Fica evidente que o conhecimento do momento de inércia e/ou módulos de resistência da seção transversal é fundamental no 
cálculo da flexão. A página Resistência dos materiais IIIA dá as fórmulas para alguns tipos comuns. 
 
2-) Forças e momentos internos em vigas 
 
Vigas horizontais carregadas são elementos comuns na prática e o dimensionamento exige a determinação das tensões 
internas em função da(s) carga(s) aplicada(s). 
Fig 2.1 
Seja, conforme Figura 2.1 (a), uma viga horizontal com um carregamento 
genérico F(x) ao longo do seu comprimento. A simples dedução lógica permite 
concluir que esta viga está internamente submetida a esforços de cisalhamento 
e flexão. 
 
Considerando um corte transversal hipotético em um local qualquer A, 
podemos separar os esforços distintos: cisalhamento conforme (b) da figura e 
momento de flexão conforme (c) da mesma figura. 
 
Alguns usam os termos "esforço cortante" para o cisalhamento e "momento 
fletor" para o outro. 
 
Também pode ser encontrada a expressão "força transversal" para o cisalhamento. 
 
Em geral adotam-se as convenções de sinais como em (b) e (c), isto é, cisalhamento positivo tende a girar cada parte no 
sentido horário e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga. 
 
Obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura não têm relação com o carregamento indicado. 
 
3-) Diagramas de esforços em vigas 
 
A Figura 3.1 (a) dá exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma única carga 
vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que não há momentos nas extremidades e que não há forças longitudinais se o 
carregamento é vertical, pois o cutelo direito está sobre rolos. 
 
Considerando a origem das coordenadas x=0, um problema típico consiste em determinar os esforços ao longo da viga 
conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicação x1 e o comprimento da viga x2. 
 
O esquema das forças atuantes na viga é dado em (b) da figura. F0 e F2 são as reações dos apoios. Notar que é uma viga 
estaticamente determinada, isto é, todas as forças podem ser calculadas pela aplicação das condições de equilíbrio estático 
(soma das forças nulas e também dos momentos). 
 
De Σ Fy = 0, temos F1 = -F0 - F2. De Σ M = 0 (em relação ao ponto 0 por exemplo), temos 
F1 x1 = -F2 x2. A condição Σ Fx = 0 não se aplica por não existir força neste sentido. 
Fig 3.1 
Portanto, F2 = - F1 x1 / x2. 
 
F0 = -F1 - F2 = -F1 + F1 x1 / x2. Ou 
 
F0 = -F1 (x2 - x1) / x2. 
 
Consideramos agora um trecho genérico de 0 a um ponto x, à esquerda de 1, 
conforme (c) da figura. 
 
Aplicando a condição de equilíbrio Σ Fy = 0, temos em módulo: Fc = F0. E o 
cisalhamento interno é positivo conforme critério do tópico anterior. Assim, do 
ponto 0 até 1 temos 
Fc = F0. É fácil deduzir que do ponto 1 ao ponto 2 vale: 
 
Fc = F0 + F1 = - F2. 
 
Novamente consideramos o ponto x à esquerda do ponto 1 conforme figura. 
 
Aplicando a condição Σ M = 0 em relação a x, temos: M = x F0 (positivo conforme critério do tópico anterior). Entre os pontos 
1 e 2 temos: M = x F0 - (x - x1) F1. 
 
Se substituímos os valores de F0 e F1 conforme já calculado, temos: 
 
Entre 0 e 1: M = F1 (x2 - x1) x / x2. 
 
Portanto, para x = 0, M = 0 e para x = x1, M = F1 (x2 - x1) x1 / x2. 
 
 
Entre 1 e 2: M = x F0 - (x - x1) F1 = x (F0 - F1) + x1 F1. Mas F0 - F1 = - F2. 
 
Assim, M = - x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 - x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 - x / x2 ). 
 
Portanto, para x = x2, M = 0. Para x = x1, M = F1 x1 (1 - x1 / x2) = F1 x1 (x2 - x1) / x2 . Notar que é igual ao valor do trecho 
anterior. E o gráfico é conforme (e) da figura. 
 
 
Resumindo, podemos escrever os valores máximos: 
 
Fc_max = max (F0, F2) com F0 = F1 (x2 - x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2. 
 
Mmax = F1 (x2 - x1) x1 / x2. 
 
 
 
 
 
 
Resistência dos materiais IIIB - Exemplos de diagramas de esforços em vigas 
Esta página dá exemplos de diagramas de esforços para alguns tipos de 
carregamentos de vigas horizontais estaticamente determinadas, uma 
 
continuação do último tópico da página Resistência dos materiais III. 
 
Viga apoiada com várias cargas concentradas 
Viga apoiada com carga uniformemente distribuída 
Viga engastada com uma carga na extremidade 
Viga engastada com carga distribuída 
Viga apoiada com momento concentrado 
1-) Viga apoiada com várias cargas concentradas 
 
O último tópico da página já mencionada (Resistência dos materiais III) dá exemplo do diagrama para viga apoiada com uma 
carga concentrada. Isso pode ser considerado caso particular de uma situação mais genérica, ou seja, viga com mais de uma 
carga concentrada. 
 
A Figura 1.1 (a) dá um exemplo para três forças F1, F2 e F3 que são conhecidas, bem como os respectivos pontos de aplicação 
(x1, x3 e x3) e o comprimento total x4. As forças F0 e F4 são as reações dos apoios. 
 
Da condição de equilíbrio Σ Fy = 0, temos: F0 + F4 = F1 + F2 + F3. 
 
Da condição Σ M = 0 (em relação a 0 por exemplo): F4x4 = F1x1 + F2x2 + F3x3. 
Fig 1.1 
Portanto, F4 = (F1x1 + F2x2 + F3x3) / x4 e 
F0 = F1 + F2 + F3 - F4. Ou seja, F0 e F4 são formulados em função de 
parâmetros conhecidos. 
 
Na figura 1.1 (b), uma parte da viga, de comprimento menor que x1. Pela 
condição de equilíbrio dada pela soma das forças verticais igual a zero, temos 
o cisalhamento igual à reação do apoio esquerdo, isto é, 
 
Fc = F0. Sendo F0 calculado conforme igualdade anterior. Ver gráfico em (c). 
 
Para o trecho entre 1 e 2, o cisalhamento sofre a contribuição de F1, atuante 
em sentido contrário. Assim, Fc = F0 - F1. 
 
De forma análoga, podemos verificar que entre 2 e 3 vale Fc = F0 - F1 - F2. E, 
para o trecho entre 3 e 4, temos: 
 
Fc = F0 - F1 - F2 - F3. 
 
O sentido do cisalhamento começa positivo, de acordo com critérios dados em Resistência dos materiais III. 
 
Para os momentos de flexão, entre 0 e 1 temos: M = F0 x. E para o trecho entre 1 e 2: 
M = F0 x - F1 (x - x1) = (F0 - F1) x + F1x1. Para a parte entre 2 e 3: 
M = F0 x - F1 (x - x1) - F2 (x - x2) = (F0 - F1 - F2) x + F1x1 + F2x2. Para o trecho 3-4 podemos fazer a analogia direta: M = (F0 - 
F1 - F2 - F3) x + F1x1 + F2x2 + F3x3. E o gráfico é algo parecido com a Figura 1.1 (d). 
 
Para a última igualdade, se fazemos x = x4 temos: 
M = (F0 - F1 - F2 - F3) x4 + F1x1 + F2x2 + F3x3. Mas (F0 - F1 - F2 - F3) = - F4 conforme já visto 
e F4x4 = F1x1 + F2x2 + F3x3. Ou M = -F4 x4 + F4 x4 = 0, que é um resultado esperado, pois não pode haver momento em 
extremidades apoiadas em cutelos. 
 
Este exemplo foi dado para 3 forças, mas se pode notar que é facilmente adaptável para qualquer número delas. 
 
2-) Viga apoiada com carga uniformemente distribuída 
 
Nos exemplos vistos até aqui, a função matemática das forças aplicadas em razão da posição 
F = f(x) é uma função discreta, isto é, o seu valor só é diferente de zero em determinados pontos. 
 
Um carregamento é dito distribuído se as forças atuam em todos os pontos no trecho considerado. Neste caso, o valor é 
especificado em termos de força por unidade de comprimento q (newton por metro, por exemplo). E o carregamento é dito 
uniformemente distribuído se o valor de q é constante no trecho considerado. 
 
No carregamento da Figura 2.1 (a) uma carga uniformemente distribuída q atua em toda a extensão da viga. Exemplo comum 
para isso é o peso próprio