Resolucao de um portico pelo metodo dos deslocamentos com inercia variavel

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Utilizando o método dos deslocamentos calcule todos os momento da estrutura representada na figura 
abaixo: 
 
Grau de estaticidade (g) 
g = 3.m – Ve – Vi 
g = 3 . 5 – 8 – 9 = -2 ( estrutura hiperestática de grau 2) 
Cálculo das deslocabilidades 
di= 2 (nós com continuidades) 
de=2.n-b-Ve = 2 x 5 – 4 – 6 = 0 (indeslocável externamente) 
 
 
 
 
Cálculo do momento de inércia de cada barra 
Obs. A base do momento de inércia é sempre paralela à barra em análise. 
Barra AD 
𝐼𝐴𝐷 =
𝑏ℎ3
12
=
0,2 .0,8³
12
=
0,0256
3
 𝑚4 
Barra AB 
𝐼𝐴𝐵 =
𝑏ℎ3
12
=
0,8 .0,2³
12
=
0,0016
3
 𝑚4 
Barra BC 
𝐼𝐵𝐶 =
𝑏ℎ3
12
=
0,2 .0,8³
12
=
0,0256
3
 𝑚4 
Barra BE 
𝐼𝐵𝐸 =
𝑏ℎ3
12
=
0,8 .0,2³
12
=
0,0016
3
 𝑚4 
Utilizando o método dos deslocamentos 
Estrutura [ 0 ] (Bloqueio nos nós com deslocabilidades internas , considerando estes nós como engastes 
perfeitos) 
 
Cálculo dos momentos de engastes perfeitos da estrutura [ 0 ] 
Barra AB (Engaste – Engaste) 
 
𝑀𝐴 =
𝑞𝑙2
12
=
80 .10²
12
=
2000
3
 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐵 = −
𝑞𝑙2
12
= −
80 .10²
12
= −
2000
3
 𝑘𝑁. 𝑚 
Barra BC (Engaste – Engaste) 
 
𝑀𝐵 =
𝑞𝑙2
12
=
80 .6²
12
= 240 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐶 = −
𝑞𝑙2
12
= −
80 .6²
12
= −240 𝑘𝑁. 𝑚 
Barra AD (Engaste – Engaste) 
 
𝑀𝐴 =
𝑞𝑙2
12
=
100 .12²
12
= 1200 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐷 = −
𝑞𝑙2
12
= −
100 .12²
12
= −1200 𝑘𝑁. 𝑚 
Barra BE ( Engaste – Apoio) 
 
𝑀𝐵 = −
𝑞𝑙2
8
= −
60 .9²
8
= −607,50 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐸 = 0 
 
Obs: para utilizar a tabela de Grintter sempre posicione a mesma de acordo com o desenho da estrutura 
a ser calculada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos momentos de engastes perfeitos da estrutura [ 1 ] – Giro unitário no nó A no sentido anti-
horário. 
 
Barra AD ( Engaste – Engaste) 
𝑀𝐴 =
4 𝐸𝐼
𝑙
=
4 
0,0256
3 
12
=
0,0256
9
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐷 =
2 𝐸𝐼
𝑙
=
2 
0,0256
3
12
=
0,0128
9
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Barra AB ( Engaste – Engaste) 
𝑀𝐴 =
4 𝐸𝐼
𝑙
=
4 
0,0016
3 
10
=
0,00064
3
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐵 =
2 𝐸𝐼
𝑙
=
2 
0,0016
3
10
=
0,00032
3
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
Cálculo dos momentos de engastes perfeitos da estrutura [ 2 ] – Giro unitário no nó B no sentido anti-
horário. 
 
Barra AB ( Engaste – Engaste) 
𝑀𝐴 =
2 𝐸𝐼
𝑙
=
2 
0,0016
3
10
=
0,00032
3
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐵 =
4 𝐸𝐼
𝑙
=
4 
0,0016
3 
10
=
0,00064
3
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
Barra BC (Engaste – Engaste) 
𝑀𝐵 =
4 𝐸𝐼
𝑙
=
4 
0,0256
3 
6
=
0,0512
9
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐶 =
2 𝐸𝐼
𝑙
=
2 
0,0256
3
6
=
0,0256
9
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
Barra BE ( Engaste – Apoio) 
𝑀𝐵 =
3𝐸𝐼
𝑙
=
3 
0,0016
3
9
=
0,0016
9
𝐸 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝐸 = 0 
 
Montando as equações nos nós bloqueados para o cálculo de 𝛥1 e 𝛥2 
Nó A 
𝑀[𝑅] = 𝑀[0] + 𝑀[1]𝑥 𝛥1 + 𝑀[2]𝑥 𝛥2 
0 = 
2000
3
+ 1200 + 
0,0256
9
𝐸 +
0,00064
3
𝐸 𝑥 𝛥1 +
0,00032
3
𝐸. 𝛥2 
0 = 
5600
3
 + 
0,02752
9
𝐸 𝑥 𝛥1 +
0,00032
3
𝐸. 𝛥2 
0 = 
16800
9
 + 
0,02752
9
𝐸 𝑥 𝛥1 +
0,00096
9
𝐸. 𝛥2 
− 
16800
9
 = 
0,02752
9
𝐸 𝑥 𝛥1 +
0,00096
9
𝐸. 𝛥2 
−16800 = 0,02752𝐸. 𝛥1 + 0,00096𝐸, 𝛥2⇒ Primeira equação 
Nó B 
𝑀[𝑅] = 𝑀[0] + 𝑀[1]𝑥 𝛥1 + 𝑀[2]𝑥 𝛥2 
0 = −
2000
3
+ 240 − 607,50 + 
0,00032
3
𝐸 𝑥 𝛥1 + (
0,00064
3
𝐸 +
0,0512
9
𝐸
+
0,0016
9
𝐸). 𝛥2 
0 = −
3102,5
3
 + 
0,00032
3
𝐸 𝑥 𝛥1 + (
0,05472
9
𝐸). 𝛥2 
 
3102,5
3
 = 
0,00032
3
𝐸 𝑥 𝛥1 + (
0,05472
9
𝐸). 𝛥2 
 
9307,5
9
 = 
0,00096
9
𝐸 𝑥 𝛥1 + (
0,05472
9
𝐸). 𝛥2 
9307,5 = 0,00096𝐸. 𝛥1 + 0,05472𝐸. 𝛥2⇒ Segunda equação 
 
 
 
−16800 = 0,02752𝐸. 𝛥1 + 0,00096𝐸. 𝛥2⇒ Primeira equação 
 9307,5 = 0,00096𝐸. 𝛥1 + 0,05472𝐸. 𝛥2⇒ Segunda equação 
 
 
0,02752𝐸 0,00096𝐸
0,00096𝐸 0,05472𝐸
 = 𝛥𝑥 ⇒ 𝛥𝑥 =
14697
9765625
 𝐸² 
 
−16800 0,00096𝐸
9307,5 0,05472𝐸
 = 𝛥𝛥1 ⇒ 𝛥𝛥1 = −
1160289
1250
 𝐸 ⇒ 𝛥1 =
𝛥𝛥1
𝛥𝑥
=
−
1160289
1250
𝐸 
14697
9765625
 𝐸²
⇒ 𝛥1 = −
11330947274375
18371250 𝐸
 
 
0,02752𝐸 −16800
0,00096𝐸 9307,5
 = 𝛥𝛥2 ⇒ 𝛥𝛥2 =
170169
625
 𝐸 ⇒ 𝛥2 = 
𝛥𝛥2
𝛥𝑥
=
170169
625
 𝐸
14697
9765625
 𝐸²
⇒ 𝛥2 =
1661806641 375
9185625 𝐸
 
Equação Geral 
𝑀[𝑅] = 𝑀[0] + 𝑀[1]𝑥 𝛥1 + 𝑀[2]𝑥 𝛥2 
𝑀[𝑅] = 𝑀[0] + 𝑀[1]𝑥 (−
11330947274375
18371250 𝐸
) + 𝑀[2]𝑥 (
1661806641375
9185625 𝐸
) 
 
𝑀[𝐴𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 ] = 1200 +
0,0256
9
𝐸. −
11330947274375
18371250 𝐸
 + 0𝑥 (
1661806641375
9185625 𝐸
) 
𝑀[𝐴𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 ] = −554,38525 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀[𝐴 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 ] =
2000
3
 +
0,00064
3
𝐸 . −
11330947274375
18371250 𝐸
 +
0,00032
3
𝐸. (
1661806641375
9185625 𝐸
) 
𝑀[𝐴 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 ] = 554,3852486 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀[𝐵𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 ] = −
2000
3
+
0,00032
3
𝐸. −
11330947274375
18371250 𝐸
 +
0,00064
3
𝐸. (
1661806641375
9185625 𝐸
) 
𝑀[𝐵𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 ] = −693,8611622 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀 𝐵𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 240 + 0𝑥 −
11330947274375
18371250 𝐸
 +
0,0512
9
𝐸 . 
1661806641375
9185625 𝐸
 
𝑀 𝐵𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 = 1269,198703 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀 𝐵𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = −607,5 + 0𝑥 −
11330947274375
18371250 𝐸
 +
0,0016
9
𝐸. 
1661806641375
9185625 𝐸
 
𝑀 𝐵𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 = −575,3375405 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀 𝐶 = −240 + 0 𝑥 −
11330947274375
18371250 𝐸
 +
0,0256
9
𝐸 . 
1661806641375
9185625 𝐸
 
𝑀 𝐶 = 274,5993516 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀 𝐷 = −1200 +
0,0128
9
𝐸 . −
11330947274375
18371250 𝐸
 + 0𝑥 
1661806641375
9185625 𝐸
 
𝑀 𝐷 = −2077,192625 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀[𝐸] = 0 + 0𝑥 −
11330947274375
18371250 𝐸
 + 0𝑥 
1661806641375
9185625 𝐸
 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante