Problemas de Cálculo

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288. Problema: Se \( f(x) = e^{3x} \), qual é \( f'(x) \)? 
 Resposta: \( f'(x) = 3e^{3x} \). 
 Explicação: Use a derivada da função exponencial. 
 
289. Problema: Se \( g(x) = \ln(4x^2 + 1) \), qual é \( g'(x) \)? 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{8x}{4x^2 + 1} \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica natural. 
 
290. Problema: Qual é a área da região limitada pela curva \( y = e^{-x} \), o eixo x e os 
pontos \( x = 0 \) e \( x = \ln(3) \)? 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{1}{3}e^{-\ln(3)} = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{9} 
\). 
 Explicação: Integre a função \( e^{-x} \) no intervalo de 0 a \( \ln(3) \). 
 
291. Problema: Resolva a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \). 
 Resposta: \( y = C_1\sin(x) + C_2\cos(x) \). 
 Explicação: É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. 
 
292. Problema: Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^2} \)? 
 Resposta: O limite é \( \infty \). 
 Explicação: \( \tan(x) \) se aproxima de \( 0 \) mais rapidamente que \( x^2 \). 
 
293. Problema: Se \( f(x) = \ln(\cos(x)) \), qual é \( f'(x) \)? 
 Resposta: \( f'(x) = -\tan(x) \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica natural. 
 
294. Problema: Se \( h(x) = \sin(\ln(x^2)) \), qual é \( h'(x) \)? 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{2x\cos(\ln(x^2))}{x^2} = \frac{2\cos(\ln(x^2))}{x} \). 
 Explicação: Use a regra da cadeia e as identidades trigonométricas.