Matematica TODOS ANOS-629

Prévia do material em texto

380. Problema: Se \(f(x) = \log_3(x - 2) - \log_3(x - 4)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (4, 5) \cup (5, \infty)\), pois os argumentos dos 
logaritmos devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
381. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 4^+} \log_3(x - 2) - \log_3(x - 4)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(4\) pelo lado direito, \((x - 4)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
382. Problema: Resolva a inequação \(\log_2(x - 1) - \log_2(x - 4) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_2\left(\frac{x - 1}{x - 4}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial, 
temos \(\frac{x - 1}{x - 4} > 2^1 = 2\). Resolvendo esta desigualdade, encontramos \(x \in (4 
+ \sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{2})\). 
 
383. Problema: Se \(f(x) = \log_2(x - 1) - \log_2(x - 4)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (4, 5) \cup (5, \infty)\), pois os argumentos dos 
logaritmos devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
384. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 4^+} \log_2(x - 1) - \log_2(x - 4)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(4\) pelo lado direito, \((x - 4)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
385. Problema: Resolva a inequação \(\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 9} > 0\). 
 Resposta: A função é indefinida em \(x = 9\), então precisamos testar os intervalos \((-
\infty, 9)\), \((9, \infty)\), e \(x = 9\) separadamente. No intervalo \((-\infty, 9)\), a função é 
positiva, no intervalo \((9, \infty)\), a função é positiva, e em \(x = 9\), a função é indefinida. 
Portanto, não há soluções para a inequação. 
 
386. Problema: Se \(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 9}\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(\mathbb{R} \backslash \{9\}\), pois a função não é 
definida para \(x = 9\). 
 
387. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 9}\). 
 Resposta: Aplicando a substituição direta, obtemos \(\lim_{x \to