Cálculo Diferencial e Integral I

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Avaliação II - Individual (Cod.:957205)
Código da prova: 81099368
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I (180984)
Período para responder: 06/05/2024 - 21/05/2024
Peso: 2,00
1 -
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e
logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da
diferenciação. Assim, dada à derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou,
ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. 
Baseado nisto, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2 e assinale a
alternativa CORRETA:
A )
I, apenas.
B )
IV, apenas.
C )
II, apenas.
D )
III, apenas.
2 - A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela,
podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa,
que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale
ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma
maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O
procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada),
determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado.
Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = 3x³ - 2x² + x no ponto (1, 2) e assinale a alternativa
CORRETA:
A ) g'(4) = 1/3.
B ) g'(4) = 1/5.
C ) g'(4) = 1/4.
D ) g'(4) = 1/6.
3 -
Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada
para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra. 
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Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A )
Somente a opção IV está correta.
B )
Somente a opção I está correta.
C )
Somente a opção III está correta.
D )
Somente a opção II está correta.
4 -
Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em
todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem
superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = -e-2x, analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é 2e-2x.
II. A derivada primeira é -2e-2x.
III. A derivada segunda é -4e-2x.
IV. A derivada segunda é 6e-2x.
V. A derivada terceira é 8e-2x.
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
As sentenças IV e V estão corretas.
B )
As sentenças II e IV estão corretas.
C )
As sentenças I, III e V estão corretas.
D )
As sentenças I e IV estão corretas.
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5 -
Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada
para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função
entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da
posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à função f(x) =
5x3 - 3x2 - 1, acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x = -1:
I. -2
II. 9
III. 15
IV. 21
Assinale a alternativa CORRETA:
A )
Somente a opção IV está correta.
B )
Somente a opção I está correta.
C )
Somente a opção II está correta.
D )
Somente a opção III está correta.
6 -
A derivada de uma função em um determinado ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função nesse
ponto, indicando como a função está se comportando e o quanto ela está se aproximando ou afastando de uma reta
tangente naquele ponto.
Seja a função f(x) = 3x2 + cos(2x), assinale a alternativa que apresenta a sua derivada.
A )
f'(x) = -6x + 2·sen(2x).
B )
f'(x) = 6x + sen(2x).
C )
f'(x) = 6x - 2·sen(2x).
D )
f'(x) = 6x - sen(2x).
7 -
A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios. Essa regra além de ser
uma das mais simples, é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos descritos por polinômios,
tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais eficientes e precisas.
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Utilizando dessa regra, derive a função f(x) = 2x5/5 - 4x2 + 28, e acerca do resultado, assinale a alternativa
CORRETA:
A )
f'(x) = 2x4 - 8x.
B )
f'(x) = 2x4 - 4x.
C )
f'(x) = 10x4 - 8x + 28.
D )
f'(x) = 10x4 + 8x.
8 -
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é
uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial
pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros
momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. 
Desta forma, sendo a função g(x) = cos(2x) + x-2, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta
função.
A )
g''(x) = 6x-4 – 4·cos(2x)
B )
g''(x) = -6x-4 – cos(2x)
C )
g''(x) = -6x-4 – 2·cos(2x)
D )
g''(x) = 6x-4 – 2·cos(2x)
9 -
Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da
cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas
funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e
F para as falsas:
( ) y = sin(2x), implica em y' = 2·cos(2x).
( ) y = ln(x²), implica em y' = 2/x².
( ) y = tan (3x²), implica em y' = sec²(3x²).
( ) y = (2x - 3)³, implica em y' = 6·(2x - 3)².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
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A )
V - V - F - V.
B )
V - F - F - V.
C )
F - V - V - V.
D )
F - F - V - F.
10 -
O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada.
Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar
a curva e o seu coeficiente angular.
Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no ponto x = -1:
A )
y = -x - 2
B )
y = x + 2
C )
y = x - 2
D )
y = -x + 2
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