Problemas Matemáticos Variados

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Resposta: O valor é \( \binom{83}{1} + \binom{83}{3} + \binom{83}{5} + \binom{83}{7} = 
83 + 28820 + 555946 + 8927375 = 9017224 \). 
 
423. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{280} (28k - 26) \). 
 Resposta: O valor é \( 28 \times \frac{280(280 + 1)}{2} - 26 \times 280 = 10206000 \). 
 
424. Questão: Se \( A = \{a, b, c, d\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo pelo menos 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( 2^4 - \binom{4}{1} - \binom{4}{0} = 14 \). 
 
425. Questão: Se \( n = 84 \), qual é o valor de \( \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \binom{n}{4} 
\)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{84}{2} - \binom{84}{3} + \binom{84}{4} = 3486 - 60252 + 
917280 = 854514 \). 
 
426. Questão: Qual é o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo 
completo com 58 vértices? 
 Resposta: O número mínimo de cores é 58. 
 
427. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo exatamente 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( \binom{5}{2} = 10 \). 
 
428. Questão: Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + 
x_2 + x_3 = 64 \). 
 Resposta: O número de soluções é \( \binom{64 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{66}{2} = 2145 \). 
 
429. Questão: Se \( |A| = 62 \) e \( |B| = 63 \), quantos elementos existem em \( A \times B 
\)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 62 \times 63 = 3906 \). 
 
430. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{285} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{285(285 + 1)(2 \times 285 + 1)}{6} = 12868275 \).