Matematica em açao (95)

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Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = \frac{\sec^2(x)}{2\sqrt{\tan(x)}} \). Explicação: 
Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função. 
 
94. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^\pi \sin(x)\cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{1}{2} \). Explicação: Utilizamos a identidade 
trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) e integramos termo a termo. 
 
95. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x + 2) = 2 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 7 \). Explicação: A equação é equivalente a \( 3^2 = x + 2 \), 
portanto \( x = 7 \). 
 
96. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5x - 1}{5x^3 + 2x - 3} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{4}{5} \). Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e 
aplicar a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{4}{5} \). 
 
97. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x^2)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{2x\tan(x^2)}{\cos(x^2)} \). Explicação: 
Utilizamos a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
98. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \sin(x)\cos(x) \). 
 Resposta: A integral de \( \sin(x)\cos(x) \) é \( \frac{\sin^2(x)}{2} + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. Explicação: Utilizamos a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 
2\sin(x)\cos(x) \) e integramos termo a termo. 
 
99. Problema: Resolva a equação \( 2^{x + 3} = 64 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: Dividindo ambos os lados por 8, obtemos \( 
2^{x + 3} = 2^6 \), então \( x + 3 = 6 \), então \( x = 3 \). 
 
100. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{4x^3 + 2x - 5} 
\). 
 Resposta: O limite é 
 
0. Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e aplicar a regra do limite para 
termos de maior grau, obtemos \( \frac{5}{4x} - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \frac{1}{2x^2} - 
\frac{5}{x^3} \), e todos os termos tendem a zero conforme \( x \) se aproxima do infinito.