Problemas de Permutação e Combinação

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Resposta: Podemos resolver esse problema usando a técnica de recorrência. Definindo 
\( A_n \) como o número de sequências de comprimento \( n \) sem duas 0's consecutivos, 
temos as seguintes recorrências: 
 \( A_1 = 2 \) (as sequências são 0 e 1) 
 \( A_2 = 3 \) (as sequências são 01, 10 e 11) 
 \( A_n = A_{n-1} + A_{n-2} \) para \( n \geq 3 \) 
 Assim, \( A_8 = 55 \). 
 
8. Problema: Quantos números de 4 algarismos diferentes podem ser formados usando 
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
 Resposta: Existem \( P(6,4) = \frac{6!}{(6-4)!} = 360 \) números de 4 algarismos diferentes 
que podem ser formados. 
 
9. Problema: Quantos subconjuntos distintos de 5 elementos podem ser formados a 
partir de um conjunto com 10 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos de 5 elementos que podem ser formados a partir 
de um conjunto com 10 elementos é \( C(10,5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 \). 
 
10. Problema: Quantos anagramas da palavra "ALGORITMO" têm as vogais juntas? 
 Resposta: Para resolver este problema, podemos considerar as vogais como uma letra. 
Assim, temos \( P(6,6) \) arranjos possíveis, e as vogais podem ser permutadas entre si. 
Portanto, o número total de anagramas é \( P(6,6) \times 3! = 720 \). 
 
11. Problema: Quantos subconjuntos de um conjunto com 6 elementos contêm pelo 
menos 3 elementos? 
 Resposta: Podemos contar o número de subconjuntos que contêm pelo menos 3 
elementos subtraindo o número de subconjuntos com 0, 1 e 2 elementos do total de 
subconjuntos. Assim, o número de subconjuntos é \( 2^6 - (C(6,0) + C(6,1) + C(6,2)) = 58 
\). 
 
12. Problema: Quantas permutações da palavra "MISSISSIPPI" têm todas as vogais 
juntas? 
 Resposta: Considerando que as vogais "I" ocorrem 4 vezes e as vogais "O" ocorrem 1 
vez, podemos considerar as vogais como uma única letra. Então, temos \( P(7,7) \) 
permutações possíveis, e as vogais podem ser permutadas entre si. Portanto, o número 
total de permutações é \( P(7,7) \times 4! \).