Matematica (101)

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60. Problema: Quantos números de 12 algarismos podem ser formados usando os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, se os algarismos pares devem estar juntos? 
 Resposta: 72576000 
 Explicação: Como os algarismos pares devem estar juntos, podemos considerá-los 
como um único algarismo. Portanto, temos 4 algarismos (0, 2, 4, 6, 8) e 8 espaços para 
preencher. Para o primeiro espaço, temos 4 opções (um dos algarismos pares), para o 
segundo 3 opções, para o terceiro 2 opções, para o quarto 1 opção, para o quinto 9 
opções (0 pode ser o primeiro algarismo agora), para o sexto 8 opções, para o sétimo 7 
opções e para o oitavo 6 opções. Portanto, \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 9 \times 8 
\times 7 \times 6 = 72576 \). Para os algarismos restantes, temos 9 opções (0 não pode ser 
o primeiro algarismo), 8 opções, 7 opções, 6 opções, 5 opções, 4 opções, 3 opções, 2 
opções e 1 opção. Portanto, \( 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 
\times 2 \times 1 = 362880 \). Multiplicando esses resultados, temos \( 72576 \times 
362880 = 26353479680 \). 
 
61. Problema: Qual é o resultado de \( \binom{50}{2} \)? 
 Resposta: 1225 
 Explicação: \( \binom{50}{2} \) representa o número de combinações de 50 elementos 
tomados 2 a 2, e é calculado por \( \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 
1225 \). 
 
62. Problema: Quantos anagramas da palavra "MARTELO" têm todas as vogais juntas? 
 Resposta: 720 
 Explicação: A palavra "MARTELO" tem 7 letras, então temos \( 6! \) arranjos possíveis 
para as letras restantes (vogais e consoantes separadas). No entanto, 'A' e 'E' podem 
trocar de lugar entre si, então dividimos esse número por 2. Portanto, \( \frac{ 
 
6!}{2} = 360 \). Como as vogais devem estar juntas, temos que considerar 'MRTL' como 
uma letra única, então temos \( 4! \) arranjos possíveis. Portanto, \( 4! = 24 \). 
Multiplicando, temos \( 360 \times 24 = 8640 \). Por fim, dividimos pela permutação das 
vogais, que é \( 2! = 2 \). Portanto, \( \frac{8640}{2} = 720 \). 
 
63. Problema: Quantos subconjuntos de tamanho 9 podem ser formados a partir do 
conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i}? 
 Resposta: 1 
 Explicação: O número de subconjuntos de tamanho 9 de um conjunto com 9 elementos 
é dado por \( \binom{9}{9} = \frac{9!}{9!(9-9)!} = \frac{1}{1} = 1 \). Apenas um subconjunto 
pode ser formado quando o tamanho é igual ao tamanho do conjunto original.