Exercicios de matematica -(59)

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4. Problema: Implemente o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema de equações 
lineares: 
 \[ 
 \begin{align*} 
 4x + y - z &= 5 \\ 
 -x + 3y + 2z &= -10 \\ 
 2x + 3y + 10z &= 4 
 \end{align*} 
 \] 
 Resposta: A solução aproximada é \( x \approx 1.3846 \), \( y \approx -2.3077 \), \( z 
\approx 1.3077 \). 
 
5. Problema: Utilize o método das diferenças finitas para calcular a derivada de \( f(x) = 
\sin(x) \) em \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A derivada aproximada é \( f'(x) \approx 0.707106 \). 
 
6. Problema: Encontre a solução para o problema de valor inicial \( y' = x^2 + y^2 \), \( y(0) 
= 1 \) utilizando o método de Euler com \( h = 0.1 \). 
 Resposta: A solução aproximada em \( x = 1 \) é \( y \approx 2.485 \). 
 
7. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} \) utilizando a regra do 
trapézio com 4 segmentos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 1.5708 \). 
 
8. Problema: Utilize a interpolação de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador de 
grau 2 para os pontos \( (0,1) \), \( (1,4) \) e \( (2,5) \). 
 Resposta: O polinômio interpolador é \( P(x) = 2x^2 - x + 1 \). 
 
9. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 2y' + y = e^{-x} \) utilizando o método 
de diferenças finitas. 
 Resposta: A solução aproximada é \( y(x) \approx -0.5e^{-x} + 1.5xe^{-x} \). 
 
10. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação 
diferencial \( y' = x^2 - y \) com \( y(0) = 0 \) em \( x = 1 \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( y \approx 0.3161 \). 
 
11. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) dx \) utilizando a regra de 
Simpson com 4 intervalos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 1 \).