Exercicios de matematica -(141)

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Resposta: \( \int_{1}^{2} \ln(2x) \, dx = [x\ln(2x) - x]_{1}^{2} = (2\ln(4) - 
 
2) - (1\ln(2) - 1) = 2\ln(4) - 2 - \ln(2) + 1 = 2\ln(2) - 1 \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
69. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x) \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \), a função derivada da tangente. 
 
70. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \sec(x) \). 
 Resposta: \( \int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \). 
 Explicação: A integral de \( \sec(x) \) é \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| \) mais a constante de 
integração \( C \). 
 
71. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sin^{-1}(x) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sin^{-1}(x) \) é \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \), a função derivada 
do arco seno. 
 
72. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \cos(x) \) de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( 
\frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{-
\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - (-
1) = 2 \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
73. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(\sin(x)) \) é \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) usando a regra da 
cadeia. 
 
74. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{\cos(x)} \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{\cos(x)} \) é \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| \) mais a constante 
de integração \( C \). 
 
75. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \tan^{-1}(3x) \).