Exercicios de matematica -(144)

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Explicação: A derivada de \( \tan^{-1}(3x^2) \) é \( \frac{6x}{1 + 9x^4} \), a função 
derivada do arco tangente. 
 
90. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \sin^{-1}(2x) \). 
 Resposta: \( \int \sin^{-1}(2x) \, dx = x\sin^{-1}(2x) + \sqrt{1 - 4x^2} + C \). 
 Explicação: A integral de \( \sin^{-1}(2x) \) é \( x\sin^{-1}(2x) + \sqrt{1 - 4x^2} \) mais a 
constante de integração \( C \). 
 
91. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(x^3 + 2x^2 + x) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 1}{x^3 + 2x^2 + x} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(x^3 + 2x^2 + x) \) é \( \frac{3x^2 + 4x + 1}{x^3 + 2x^2 + 
x} \) usando a regra da cadeia. 
 
92. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \cos^{-1}(x) \) de -1 a 1. 
 Resposta: \( \int_{-1}^{1} \cos^{-1}(x) \, dx = \pi \). 
 Explicação: Esta integral é igual a \( \pi \), representando a área sob a curva \( \cos^{-1}(x) 
\) de -1 a 1. 
 
93. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4} \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan^{-1}(x^2) \) é \( \frac{2x}{1 + x^4} \), a função derivada 
do arco tangente. 
 
94. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = e^{\tan(x)} \). 
 Resposta: \( \int e^{\tan(x)} \, dx \) não tem uma solução em termos de funções 
elementares. 
 Explicação: Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, 
portanto, é representada por \( \int e^{\tan(x)} \, dx \). 
 
95. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{\ln(x)} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{1}{2x\sqrt 
 
{\ln(x)}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{\ln(x)} \) é \( \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}} \) usando a regra da 
cadeia. 
 
96. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \frac{1}{1 + e^x} \) de \( -\infty \) a \( 
\infty \). 
 Resposta: \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + e^x} \, dx = \infty \).