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62. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x^2y \) com condição inicial \( y(1) = 1 \). Resposta: A solução é \( y = \frac{x^2}{1 + x^3} \). Explicação: Utilizamos o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial. 63. Problema: Se \( f(x) = \ln(\sin(x)) \), encontre \( f'(0) \). Resposta: \( f'(0) = \infty \). Explicação: A função não é diferenciável em \( x = 0 \), pois \( \sin(0) = 0 \) e \( \ln(0) = - \infty \). 64. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \). Resposta: \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{\pi}{4} \). Explicação: Utilizamos o método de integração para encontrar a integral indefinida e, em seguida, aplicamos os limites de integração. 65. Problema: Se \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \), encontre \( f'(1) \). Resposta: \( f'(1) = 0 \). Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural para encontrar a derivada em \( x = 1 \). 66. Problema: Resolva a equação \( \sin^2(x) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \). Explicação: Utilizamos as propriedades das funções trigonométricas para encontrar os valores de \( x \) no intervalo dado. 67. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 \). Resposta: \( x = \ln(1), \ln(2) \). Explicação: Resolvemos a equação exponencial usando a propriedade dos logaritmos para transformá-la em uma forma mais simples.