Problemas de Cálculo e Álgebra

Prévia do material em texto

62. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x^2y \) com 
condição inicial \( y(1) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{x^2}{1 + x^3} \). 
 Explicação: Utilizamos o método de separação de variáveis para resolver a equação 
diferencial. 
 
63. Problema: Se \( f(x) = \ln(\sin(x)) \), encontre \( f'(0) \). 
 Resposta: \( f'(0) = \infty \). 
 Explicação: A função não é diferenciável em \( x = 0 \), pois \( \sin(0) = 0 \) e \( \ln(0) = -
\infty \). 
 
64. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos o método de integração para encontrar a integral indefinida e, 
em seguida, aplicamos os limites de integração. 
 
65. Problema: Se \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \), encontre \( f'(1) \). 
 Resposta: \( f'(1) = 0 \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a derivada do logaritmo natural para 
encontrar a derivada em \( x = 1 \). 
 
66. Problema: Resolva a equação \( \sin^2(x) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos as propriedades das funções trigonométricas para encontrar os 
valores de 
 
 \( x \) no intervalo dado. 
 
67. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( e^{2x} - 3e^x + 2 
= 0 \). 
 Resposta: \( x = \ln(1), \ln(2) \). 
 Explicação: Resolvemos a equação exponencial usando a propriedade dos logaritmos 
para transformá-la em uma forma mais simples.