Cálculos de Integrais e Derivadas

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Resposta: \( \int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{x} \, dx = [\frac{x^2}{2} + \ln|x|]_{1}^{2} = \frac{5}{2} 
+ \ln(2) \). 
 Explicação: Integramos a função e avaliamos nos limites de integração. 
 
52. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \). 
 Resposta: \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{\sin(x)} + C \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica \( u = \sin(x) \) para integrar. 
 
53. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \arctan(\ln(x)) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{1}{x(1 + (\ln(x))^2)} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a regra da derivada do arco tangente. 
 
54. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \) 
no intervalo \([0, \frac{\pi}{6}]\). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \, dx = 
[\arccos(\sin(x))]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{3} \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica \( u = \sin(x) \) para integrar. 
 
55. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{x}{\ln(x)} \). 
 Resposta: \( \int f(x) \, dx = \frac{x^2}{2} - x\ln|\ln(x)| + C \). 
 Explicação: Utilizamos integração por partes para integrar. 
 
56. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \arctan(e^x) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a regra da derivada do arco tangente. 
 
57. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{1}{x\ln(x)} \) no intervalo \([2, 
e]\). 
 Resposta: \( \int_{2}^{e} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx = [\ln|\ln(x)|]_{2}^{e} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição \( u = \ln(x) \) para integrar. 
 
58. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \).