Matematica pra sempre-147

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99. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} \) no 
intervalo \([1, \sqrt{2}]\). 
 Resposta: \( \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = [\ln(x + \sqrt{x^2 + 
1})]_{1}^{\sqrt{2}} = \ln(1 + \sqrt{2}) \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição \( u = x^2 + 1 \) para integrar. 
 
100. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 Resposta: \( \int f(x) \, dx = \sqrt{1 + x^2}(\ln(x) - \ln(\sqrt{1 + x^2})) + C \). 
 Explicação: Utilizamos integração por partes para integrar. 
Claro, aqui estão 100 problemas de matemática discreta com suas respostas e 
explicações: 
 
1. Problema: Calcule \(2^5\). 
 Resposta: \(2^5 = 32\). 
 Explicação: \(2^5\) significa multiplicar 2 por si mesmo 5 vezes, o que resulta em 32. 
 
2. Problema: Qual é o número de combinações de 5 itens tomados 2 de cada vez? 
 Resposta: \(C(5, 2) = 10\). 
 Explicação: O número de combinações de \(n\) itens tomados \(k\) de cada vez é dado 
por \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\). Substituindo \(n = 5\) e \(k = 2\), temos \(C(5, 2) 
= \frac{{5!}}{{2! \cdot (5 - 2)!}} = \frac{{5 \times 4}}{{2 \times 1}} = 10\). 
 
3. Problema: Resolva a equação \(3x + 7 = 16\). 
 Resposta: \(x = 3\). 
 Explicação: Para resolver a equação, subtraímos 7 de ambos os lados, obtendo \(3x = 
9\), e depois dividimos ambos os lados por 3, resultando em \(x = 3\). 
 
4. Problema: Quantos dígitos existem em \(10^{100}\)? 
 Resposta: Existem 101 dígitos. 
 Explicação: O número \(10^{100}\) tem um 1 seguido de 100 zeros. Portanto, há 101 
dígitos ao todo. 
 
5. Problema: Seja \(f(x) = 2x + 3\). Qual é o valor de \(f(4)\)?