Problemas de Cálculo Multivariado

Prévia do material em texto

19. Problema: Encontre as coordenadas do centro de massa da região delimitada pela 
curva y = x^2 e o eixo x no intervalo [0,1]. 
 Resposta: As coordenadas do centro de massa são (2/3, 4/5). 
 Explicação: Use as fórmulas para calcular as coordenadas x e y do centro de massa de 
uma região plana. 
 
20. Problema: Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y) = (x,y) ao mover 
uma partícula ao longo da curva y = x^2 de (0,0) a (1,1). 
 Resposta: O trabalho realizado é 5/6 unidades de trabalho. 
 Explicação: Use a fórmula do trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva 
paramétrica. 
 
21. Problema: Calcule o fluxo do campo vetorial F(x,y) = (2x, y) através da curva y = x^2 de 
(0,0) a (1,1). 
 Resposta: O fluxo é 1/3 unidades de fluxo. 
 Explicação: Use a fórmula do fluxo através de uma curva paramétrica. 
 
22. Problema: Determine o valor máximo e mínimo da função f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y - 8 
sobre a região delimitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4. 
 Resposta: O valor máximo é 12 e o mínimo é -8. 
 Explicação: Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos 
da função restrita à região dada. 
 
23. Problema: Encontre os pontos críticos da função f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy. 
 Resposta: Os pontos críticos são (1,1) e (-1,-1). 
 Explicação: Calcule as derivadas parciais da função em relação a x e y, iguale-as a zero 
e resolva para encontrar os pontos críticos. 
 
24. Problema: Determine os valores máximo e mínimo da função f(x,y) = xy^2 + 2x^2 - 2y^2 
na região delimitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4. 
 Resposta: O valor máximo é 4 e o mínimo é -8. 
 Explicação: Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos 
da função restrita à região dada.