Problemas de Cálculo e Geometria

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Explicação: Utilizamos a definição da elipse e o comprimento do eixo menor para 
encontrar a equação. 
 
65. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = \cos(x)\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = \pi\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( 2\pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
66. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) 
entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: A área é aproximadamente 0.431 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
67. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (2, 1) e diretriz \(y = -1\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
68. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = e^x\) entre \(x = 0\) e \(x = 
1\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
69. Problema: Determine a equação da elipse com foco em \( (2, 0) \) e \( (-2, 0) \) e eixo 
maior de comprimento 10. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e o comprimento do eixo maior para 
encontrar a equação. 
 
70. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = x^2\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 2\) em torno do eixo y.