Flambagem e Estabilidade de Estruturas

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Flambagem 
Estabilidade de estruturas: 
 
Suponha que tenhamos que projetar uma coluna 
AB de comprimento L para suportar uma dada 
força P. A coluna será articulada em ambas as 
extremidades e consideremos P uma força axial 
centrada. Se a área A da seção transversal da 
coluna é selecionada de forma que o valor σ =P/A 
da tensão em uma seção seja menor que a tensão 
admissível σadm para o material usado e se a 
deformação δ = P.L/A.E estiver dentro das 
especificações dadas, podemos concluir que a 
coluna foi projetada corretamente. 
Coluna flambada 
Para determinar se o sistema 
constituído de duas barras e estável 
ou instável, consideremos os esforços 
que atuam na barra AC, esses 
esforços consistem em dois 
momentos que são o formado por P e 
P´de momento P(l/2)sen∆θ que 
tende a afastar a barra da linha 
vertical e o momento M exercido 
pela mola que tende a trazer a barra 
de volta para a posição original. 
O momento M é M=k(2 ∆θ). Se o 
segundo momento for maior que o a- sistema estável b- sistema instável 
primeiro o sistema tende a retornar a posição original e nesse caso é estável. Se o 
primeiro momento for maior que o segundo o sistema tende a se afastar do 
equilíbrio, e nesse caso é instável. O valor da carga para o qual os dois momentos 
se equilibram é chamado de carga crítica e representado por Pcr, temos: 
Pcr(l/2)sen∆θ = k(2 ∆θ) , ou: 
Pcr = 4k/L 
Está claro que o sistema é estável para P<Pcr e instável para P>Pcr. 
 
Vamos supor que a força P>Pcr foi aplicada as duas barras e que o sistema foi perturbado. O 
sistema se afastará da posição original e se estabilizará em outra posição de equilíbrio. 
Para o equilíbrio teremos: 
 
PL/4K = θ / sen θ 
Fórmula de Euler para colunas biarticuladas: 
 
Se P> Pcr então ocorrerá o que já mostramos anteriormente e na figura abaixo: 
2
2
L
EI
Pcr


Trabalhando e deduzindo com a linha 
elástica chega-se a : 
Pcr – Carga Crítica 
E- Módulo de Elasticidade do material 
I – Momento de inércia 
L- Comprimento da barra 
E a tensão dada por : 
2
2
)/( rL
E
cr

 
σcr – Carga Crítica 
E- Módulo de Elasticidade do material 
I – Momento de inércia 
L- Comprimento da barra 
r – raio de giração 
A relação L/r é chamada de indice de esbeltez da coluna. O gráfico de σcr em função 
de L/r é mostrado abaixo para o aço estrutural, considerando E= 200 GPa e 
σe = 250 MPa. 
Notamos que se o valor de σcr é maior que a tensão de escoamento σe, esse valor 
não tem utilidade para nós, pois a coluna escoará em compressão e deixará de ser 
elástica antes que a flambagem ocorrá. 
Exemplo: 
Uma coluna biarticulada de 2m de comprimento de seção 
transversal quadrada deve ser feita de madeira. 
Considerando E=13GPa , σadm=12MPa, e usando um 
coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica 
de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção 
transversal se a coluna deve suportar com segurança: 
 
a) Uma força de 100 Kn 
b) Uma força de 200 Kn 
Extensão da Fórmula de Euler para colunas com outras 
condições de extremidade: 
A fórmula de Euler deduzida anteriormente era para casos de colunas articuladas 
nas duas extremidades. Agora a força crítica Pcr será determinada para outras 
condições de extremidade. 
Revisando a fórmula de Euler para biarticulada: 
2
2
L
EI
Pcr


2
2
)/( rL
E
cr

 
Chamaremos o comprimento de flambagem de Lfl e substituímos pelos 
valores dados na tabela acima, então temos a fórmula de Euler: 
2
2
fl
cr
L
EI
P


2
2
)/( rL
E
fl
cr

 
Para o raio de rotação r, temos: 
ArI xx .
2

Onde: 
I – momento de Inércia 
r – Raio de rotação 
A – Área 
Solução: 
2
2
L
EI
Pcr


4833 10.31,1032,0.0048,0.
12
1
..
12
1
mhbI 
2
892
9,0
10.31,1.10.12 


crP
NPcr 305
mmmdr 005,05.
2
1
a. 
41044 10.9,4005,0.
4
.
4
mrI 

2
2
L
EI
Pcr


2
1092
9,0
10.9,4.10.12. 


crP NPcr 77,71
b. mmmdr 0075,05.
2
1

4944 10.48,20075,0.
4
.
4
mrI 
 2
992
9,0
10.48,2.10.12. 


crP
NPcr 6,362
 Determinar a carga crítica de um tubo de alumínio de 1,5m de 
comprimento e com 16mm de diâmetro externo e 1,25mm de espessura. 
Usar E=70GPa. 
Solução: 
Solução: 
Para o arranjo a: 
Para o arranjo b: 
Solução: 
a) Para a mesma área, temos: 
Solução: 
b) Circular: 
Quadrada: 
Exercícios Propostos: 
1. 
2
2
ft
cr
L
EI
P


Solução: 
- Sendo a coluna engastada, temos que L ft= 0,5L. 
- Do anexo do livro temos: 
 O valor de Iy=22,2.10-6 m4 L. 
 Para o aço 36: E=200GPa. 
kNPP crcr 8656
)5,4.5,0(
10.2,22.10.200.
2
692


A tensão critica para a fórmula de Euler ser válida tem que ser σcr<σe. 
Novamente no apendice do livro, temos que a área da seção transversal 
é de 8580.10-6m, então a tensão fica: 
GPa
A
P
cr
cr
cr 1
10.8580
10.8656
6
3



A máxima tensão de escoamento para esse caso é de 250MPa, e portanto nesse 
caso a coluna irá flambar para a força crítica, mostrando que a fórmula de Euler 
para esse caso não é válida. 
2. 
2
2
ft
cr
L
EI
P


Solução: 
- Sendo a coluna biarticulada, temos que L ft= 1 L. 
- Do anexo do livro temos: 
 O valor de Iy=22,2.10-6 m4 L. 
 Para o aço 36: E=200GPa. 
kNPP crcr 2164
)5,4(
10.2,22.10.200.
2
692


A tensão critica para a fórmula de Euler ser válida tem que ser σcr<σe. 
Novamente no apêndice do livro, temos que a área da seção transversal 
é de 8580.10-6m, então a tensão fica: 
MPa
A
P
cr
cr
cr 2,252
10.8580
10.2164
6
3



A máxima tensão de escoamento para esse caso é de 250MPa, e portanto nesse a 
fórmula de Euler é válida. 
328,4.
10.500
10.2164
.
3
3
 SF
P
P
SF cr
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 5 
7. 
8. 7 
9. 
10. 
11.