Flambagem - Material Complementar

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FLAMBAGEM DE COLUNAS 
1. FLAMBAGEM DE COLUNAS 
No projeto de elementos estruturais mecânicos, faz-se necessário conhecer os 
comportamentos físicos existentes para que se possa definir os critérios de projeto adequados 
para o dimensionamento, a fim de se evitar falhas estruturais. Sempre é necessário que o projeto 
satisfaça requisitos específicos de resistência, deflexão e estabilidade, de acordo com Hibbeler, 
R. C. (2010). 
Elementos estruturais esbeltos, quando submetidos a cargas axiais suficientemente 
grandes de compressão, podem apresentar uma instabilidade lateral, gerando uma deflexão 
lateral (denominada flambagem). A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando 
está na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica, 𝑃𝑐𝑟. 
 O ponto de transição onde a carga é igual ao valor crítico é denominada ponto 
de bifurcação. Em resumo, para cargas inferiores à carga crítica, não ocorrerá flambagem. Para 
um carregamento igual à carga crítica, a estrutura estará na iminência de sofrer flambagem. 
Como 𝑃𝑐𝑟 é independente do pequeno deslocamento angular da barra, qualquer leve perturbação 
aplicada ao mecanismo não fará com que ele se afaste mais do equilíbrio, nem que retorne a 
sua posição inicial. Em vez disso, a barra permanecerá defletida. 
 
 
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Figura 1 – Carga Crítica e Ponto de Bifurcação 
 
1.1.COLUNA IDEIAL COM APOIOS DE PINOS 
Considera-se que a coluna em questão é ideal, o que significa uma coluna perfeitamente 
reta antes da carga, feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da 
seção transversal. Leva-se ainda em consideração que o material se comporta de uma maneira 
linear elástica e que a coluna sofre flambagem em um único plano. 
Na realidade, as condições de perfeita retidão da coluna e aplicação de carga nunca são 
cumpridas; todavia, a análise a ser realizada em uma coluna ideal é semelhante à usada para 
analisar colunas inicialmente fletidas (tortas) ou sobre as quais são aplicadas cargas excêntricas. 
Visto que uma coluna ideal é reta, teoricamente a carga axial P poderia ser aumentada até 
ocorrer falha por ruptura ou escoamento do material. Contudo, quando a carga crítica P é 
atingida, a coluna está na iminência de tornar-se instável, de modo que uma pequena força 
lateral F, fará com que ela permaneça na posição defletida quando F for removida. Qualquer 
ligeira redução na carga axial P em relação a P, fará com que a coluna se endireite 
e qualquer ligeiro aumento em P, que ultrapasse P provocará aumentos adicionais na deflexão 
lateral. O fato de a coluna continuar estável ou tornar-se instável quando sujeita a uma carga 
axial dependerá de sua capacidade de restauração, que é baseada em sua resistência à flexão. 
Por consequência, para determinar a carga crítica e a forma da coluna quando flambada, aplica-
se a Equação 8 que relaciona o momento interno na coluna com sua forma defletida, isto é: 
 
 
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𝑬𝑰
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
= 𝑴 (8) 
 
 
Figura 2 - Aplicação de Carga - Apoios de pinos 
 
 
Somando momentos, o momento interno é 𝑀 = −𝑃𝑣: 
𝑬𝑰
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
= −𝑷𝒗 (1) 
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
+
𝑃
𝐸𝐼
𝒗 = 𝟎 (2) 
 Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes 
constantes. Sabe-se, pelo método das equações Diferenciais que a solução geral é do tipo: 
𝒗 = 𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 √
𝑷
𝑬𝑰
𝒙 + 𝑪𝟐 𝐜𝐨𝐬 √
𝑷
𝑬𝑰
𝒙 (3) 
 As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno nas 
extremidades da coluna. Visto que 𝒗 = 𝟎 em 𝒙 = 𝟎, então 𝑪𝟐 = 𝟎. E, considerando 𝒗 = 𝟎 em 
𝒙 = 𝑳, 
𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 √
𝑷
𝑬𝑰
𝑳 = 𝟎 (4) 
 Tem-se a possibilidade de satisfazer a equação com 𝑪𝟏 = 𝟎; porém, 𝒗 = 𝟎, o que é uma 
solução trivial que exige que a coluna permaneça sempre reta, ainda que a carga faça com que 
a coluna se torne instável. A outra possibilidade é 
 
 
4 
 
𝐬𝐢𝐧 √
𝑷
𝑬𝑰
𝑳 = 𝟎 (5) 
satisfeita por 
√
𝑷
𝑬𝑰
𝑳 = 𝒏𝝅 (6) 
Ou, 
𝑷 =
𝒏²𝝅²𝑬𝑰 
𝑳²
 (7) 
 O menor valor de P é obtido quando 𝒏 = 𝟏, de modo que a carga crítica ocorre para 
esse primeiro autovalor, onde o auto vetor é 
𝒗 = 𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧
𝝅ℷ
𝑳
 (8) 
 Sabe-se que n representa o número de ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo, 
para 𝒏 = 𝟐, aparecerão 2 ondas na forma flambada. 
 Deve-se observar que a carga crítica é independente da resistência do material, ou seja, 
ela depende da configuração geométrica do elemento estrutural (comprimento e momento de 
inércia de área) e do material (módulo de elasticidade). É importante ter claro que, em uma 
coluna, a flambagem ocorrerá em torno do eixo principal da seção transversal que tiver menor 
momento de inércia. 
 É muito comum se escrever a flambagem em termos de tensão crítica, expressando 
𝑰 = 𝑨𝒓² (9) 
onde A é a área da seção transversal e 𝒓 é o raio de giração. 
𝝈𝒄𝒓 =
𝝅²𝑬 
(𝑳 𝒓⁄ )²
 (10) 
 A relação L/r é conhecida como índice de esbeltes. 
1.2.COLUNA IDEAL ENGASTADA 
Considera-se que a coluna em questão é ideal, o que significa uma coluna perfeitamente 
reta antes da carga, feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da 
 
 
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seção transversal. Leva-se ainda em consideração que o material se comporta de uma maneira 
linear elástica e que a coluna sofre flambagem em um único plano. 
Para determinar a carga crítica e a forma da coluna quando flambada, aplica-se a 
Equação 19 que relaciona o momento interno na coluna com sua forma defletida, isto é: 
𝑬𝑰
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
= 𝑴 (11) 
 
 
Figura 3 - Aplicação de Carga - Apoios de pinos 
Somando momentos, o momento interno é 𝑀 = 𝑃(𝛿 − 𝑣): 
𝑬𝑰
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
= 𝑷(𝜹 − 𝒗) (12) 
𝒅²𝒗
𝒅𝒙²
+
𝑃
𝐸𝐼
𝒗 =
𝑃
𝐸𝐼
𝜹 (13) 
 Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. Sabe-se, pelo método das equações Diferenciais que a solução consiste 
em uma solução geral, bem como uma solução particular, a saber: 
𝒗 = 𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 √
𝑷
𝑬𝑰
𝒙 + 𝑪𝟐 𝐜𝐨𝐬 √
𝑷
𝑬𝑰
𝒙 + 𝜹 (14) 
 As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno nas 
extremidades da coluna. Visto que 𝒗 = 𝟎 em 𝒙 = 𝟎, então 𝑪𝟐 = −𝜹. Além disso, 
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝑪𝟏√
𝑷
𝑬𝑰
𝐜𝐨𝐬(√
𝑷
𝑬𝑰
𝒙) − 𝑪𝟐√
𝑷
𝑬𝑰
𝐬𝐢𝐧( √
𝑷
𝑬𝑰
𝒙) (15) 
 Em 𝒙 = 𝟎, 
𝑑𝒗
𝑑𝑥
= 𝟎, de modo que 𝐶1 = 𝟎. A curva de deflexão é, portanto, 
 
 
6 
 
𝒗 = 𝜹 [𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(√
𝑷
𝑬𝑰
𝒙)] (16) 
 Considerando que a deflexão no topo da coluna é δ, isto é, em 𝒙 = 𝑳, 𝒗 = 𝜹, exige-se 
𝜹 𝐜𝐨𝐬(√
𝑷
𝑬𝑰
𝐿) = 𝟎 (17) 
 A solução trivial 𝜹 = 𝟎 indica que não ocorre nenhuma flambagem, independentemente 
da carga aplicada. Em vez disso, 
𝐜𝐨𝐬(√
𝑷
𝑬𝑰
𝐿) = 𝟎 ou √
𝑷
𝑬𝑰
𝐿 =
𝒏𝝅
𝟐
 (18) 
Ou, 
𝑷 =
𝒏²𝝅²𝑬𝑰 
𝟒𝑳²
 (19) 
 O menor valor de P é obtido quando 𝒏 = 𝟏. 
1.2.1. COLUNA IDEAL COM OUTROS APOIOS 
Da mesma forma com que se resolve o problema de flambagem pelas equações 
diferenciais apresentadas anteriormente, pode-se chegar ao cálculo de diversas formas de apoio. 
Como já apresentado, a fórmula de Euler (equação 7) foi desenvolvida para o caso de uma 
coluna com extremidades presas por pinos ou livres para girar. Em outras palavras, L na 
equação representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo. Se a coluna for 
apoiada de outros modos, pode-se calcular um novo L (L efetivo) para o cálculo da carga crítica. 
Desta forma, 𝑳𝒆𝒇 = 𝑲𝑳, onde K é o fator de comprimento efetivo e varia para cada tipo de 
fixação: 
 
 
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Figura 4 - Fatores K de comprimento efetivo 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
HIBBELER, RUSSELL CHARLES. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, SP, 2010.