teorema de Pitágoras

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58 3.3. O Teorema de Pitágoras e alguns softwares
Passo 16: Movimentando os triângulos de modo a encaixar as hipotenusas nos
lados do quadrado obtém-se a próxima figura.
Figura 3.16: Quadrado de lado a +b
Desta forma, obtemos um quadrado de lado (a+ b) e cuja área é A = (a+ b)2.
Por outro lado, a figura é composta por um quadrado de lado c e por quatro
triângulos retângulos de catetos a e b, logo, sua área também pode ser expressa
por:
A = c2 + 4
ab
2
.
De acordo com as observações feitas nesta atividade, percebemos que:
(a+ b)2 = c2 + 4
ab
2
⇐⇒ a2 + 2ab+ b2 = c2 + 2ab.
Logo, a2 + b2 = c2, que é o Teorema de Pitágoras.
3.3.4 Demonstração de Perigal feita no GeoGebra
Perigal foi um matemático amador, que atribui a si mesmo, como sendo a
maior e mais importante obra de sua vida, a dissecação do quadrado para provar
a veracidade do Teorema de Pitágoras, fato que ele descobriu por acaso, pois na
59 3.3. O Teorema de Pitágoras e alguns softwares
verdade ele estava na ocasião, tentando descobrir a solução para a quadratura do
círculo.
Sua prova consta da divisão em partes menores do quadrado maior de forma
que reorganizadas formam os quadriláteros menores. Esta foi a ideia de Pitágoras.
Mas Perigal teve a preocupação de fazer as suas dissecações olhando os casos em
que os catetos tem a mesma medida e quando têm medidas diferentes.
O objetivo da atividade a seguir é realizar uma verificação do Teorema de
Pitágoras a partir da construção de um quebra-cabeças, composto por cinco peças:
quatro quadriláteros obtidos da partição de um quadrado de lado b e um quadrado
de lado c, onde b e c são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo (b > c)
e a é a medida de sua hipotenusa.
Com movimentos de translação será montado um quadrado maior, de lado a.
O resultado será concluído explorando o conceito de equivalência de áreas entre
figuras planas. Este princípio é a base de demonstrações clássicas do Teorema
de Pitágoras mencionadas anteriormente, dentre elas a demonstração de Perigal
(1801-1898), que será apresentada a seguir.
Os nove primeiros passos referem-se à construção de um triângulo retângulo, a
partir do qual serão construídos os quadrados e o Quebra-Cabeça de Perigal.
Passo 1: Na janela Disposições (à direita da tela, ver figura 3.17), clique em
Geometria. Assim, serão automaticamente desabilitados Eixo e Janela de
Álgebra. Clique no ícone referente à Malha (segundo ícone, abaixo da barra
de ferramentas, à esquerda) para exibir a malha. Assim, a construção será
executada numa janela como a da Figura 3.17.
Passo 2: Clique no terceiro ícone da barra de ferramentas, selecione a opção Seg-
mento Definido por Dois Pontos, e construa dois segmentos. Em seguida,
identifique cada um deles como b e c. Para isto, clique na seta do primeiro
ícone da barra de ferramentas (ponteiro), clique com o botão direito do mouse
sobre cada segmento e habilite a opção Exibir Rótulo. Use a opção Renomear
para identificar as medidas dos segmentos, que posteriormente serão as me-
didas dos catetos do triângulo retângulo. Sugestão: use os pontos da malha
como referência para a construção dos segmentos e considere b > c.
Passo 3: Selecione no sexto ícone da barra de ferramentas a opção Círculo dados
Centro e Raio. Escolha um ponto qualquer na malha para centro do círculo
e forneça a medida b para o raio.
Passo 4: Clique no primeiro ícone, selecione o ponteiro, clique, como o botão
direito do mouse sobre o centro da circunferência e identifique este ponto por
C.