GEOMETRIA PLANA

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GEOMETRIA PLANA 
BELO HORIZONTE / MG 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS ...................................................................................... 3 
1.1 Passeio pela História ..................................................................................................... 3 
1.2 Cálculo de Áreas ........................................................................................................... 3 
O quadrado ......................................................................................................................... 4 
O retângulo ......................................................................................................................... 4 
O triângulo .......................................................................................................................... 4 
O trapézio ........................................................................................................................... 5 
1.3 Conceitos ...................................................................................................................... 5 
Ponto .................................................................................................................................. 5 
Reta .................................................................................................................................... 5 
Semirreta ............................................................................................................................ 5 
Segmento de reta ................................................................................................................ 6 
Ângulos ............................................................................................................................... 6 
Plano................................................................................................................................... 6 
2 POSTULADOS DE EUCLIDES ......................................................................................... 6 
2.1 Quinto Postulado ........................................................................................................... 7 
3 TEOREMA DE STEWART ................................................................................................ 8 
4 TEOREMA DE MENELAUS.............................................................................................10 
5 TEOREMA DE CEVA ......................................................................................................11 
6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ..................................................................................14 
6.1 Razão de semelhança ..................................................................................................14 
6.2 Propriedades ................................................................................................................14 
6.3 Teorema fundamental ...................................................................................................14 
6.4 Casos de semelhança ..................................................................................................15 
Caso AA (Ângulo, Ângulo) ..................................................................................................15 
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) ..........................................................................................15 
Caso LLL (Lado, Lado, Lado) .............................................................................................15 
6.5 Razão entre áreas ........................................................................................................15 
6.6 Congruência de triângulos ............................................................................................16 
Casos ou critérios de Congruência .....................................................................................16 
7 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS ..................................................................................16 
7.1 Construção de segmentos congruentes ........................................................................19 
7.2 Construção do ponto médio de um segmento de reta ...................................................19 
7.3 Construção da mediatriz de um segmento de reta ........................................................20 
8 CONSTRUÇÕES DE POLÍGONOS .................................................................................20 
8.1 Construção de um triângulo qualquer............................................................................20 
 
 
 
 3 
 
8.2 Construção de polígonos regulares construtíveis ..........................................................21 
8.3 Construções de polígonos a partir de um polígono dado ...............................................21 
8.4 Construção do pentágono regular .................................................................................26 
9 LUGARES GEOMÉTRICOS ............................................................................................26 
9.1 Distância entre duas figuras ..........................................................................................27 
9.2 Elipse ...........................................................................................................................28 
9.3 Hipérbole ......................................................................................................................30 
10 ÁREA DE UM CÍRCULO ...............................................................................................31 
10.1 Circunferência ............................................................................................................31 
10.2 Círculo ........................................................................................................................31 
10.3 Área de um círculo ......................................................................................................32 
11 ÁREA DE POLÍGONOS .................................................................................................33 
11.1 Perímetro ...................................................................................................................33 
11.2 Área de polígonos.......................................................................................................34 
11.3 Retângulo ...................................................................................................................34 
11.4 Quadrado ...................................................................................................................34 
11.5 Paralelogramo ............................................................................................................35 
11.6 Triângulo ....................................................................................................................35 
12 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................................................................35 
Bibliografia Complementar..................................................................................................35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA3 
 
1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS 
Os estudos iniciais sobre Geometria 
Plana estão relacionados à Grécia Antiga, 
também pode ser denominada Geometria 
Euclidiana em homenagem a Euclides de 
Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande 
matemático educado na cidade de Atenas e 
frequentador da escola fundamentada nos 
princípios de Platão. 
 
Os princípios que levaram à 
elaboração da Geometria Euclidiana eram 
baseados nos estudos do ponto, da reta e do 
plano. O ponto era considerado um elemento 
que não tinha definição plausível, a reta era 
definida como uma sequência infinita de pontos 
e o plano definido através da disposição de 
retas. 
As definições teóricas da Geometria de 
Euclides estão baseadas em axiomas, 
postulados, definições e teoremas que 
estruturam a construção de variadas formas 
planas. Os polígonos são representações planas 
que possuem definições, propriedades e 
elementos. 
A geometria plana ou euclidiana é a 
parte da matemática que estuda as figuras que 
não possuem volume. 
A geometria plana também é chamada 
de euclidiana, uma vez que seu nome 
representa uma homenagem ao geômetra 
Euclides de Alexandria, considerado o “pai da 
geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é 
a união das palavras “geo” (terra) e “metria” 
(medida); assim, a palavra geometria significa a 
"medida de terra". 
1.1 Passeio pela História 
O conhecimento geométrico como 
conhecemos hoje nem sempre foi assim. A 
geometria surgiu de forma intuitiva, e como 
todos os ramos do conhecimento, nasceu da 
necessidade e da observação humana. O seu 
início se deu forma natural através da 
observação do homem à natureza. Ao 
arremessar uma pedra num lago, por exemplo, 
observou-se que ao haver contato dela com a 
água, formavam-se circunferências concêntricas 
– centros na mesma origem. Para designar esse 
tipo de acontecimento surgiu a Geometria 
Subconsciente. 
Conhecimentos geométricos também 
foram necessários aos sacerdotes. Por serem 
os coletores de impostos da época, a eles era 
incumbida a demarcação das terras que eram 
devastadas pelas enchentes do Rio Nilo. A 
partilha da terra era feita diretamente 
proporcional aos impostos pagos. Enraizada 
nessa necessidade puramente humana, nasceu 
o cálculo de área. 
Muitos acontecimentos se deram, 
ainda no campo da Geometria Subconsciente, 
até que a mente humana fosse capaz de 
absorver propriedades das formas antes vistas 
intuitivamente. Nasce com esse feito a 
Geometria Científica ou Ocidental. Essa 
geometria, vista nas instituições de ensino, 
incorpora uma série de regras e sequências 
lógicas responsáveis pelas suas definições e 
resoluções de problemas de cunho geométrico. 
Foi em 300 a.C. que o grande 
geômetra Euclides de Alexandria desenvolveu 
grandiosos trabalhos matemático-geométricos e 
os publicou em sua obra intitulada Os 
Elementos. Essa foi, e continua sendo, a maior 
obra já publicada - desse ramo - de toda a 
história da humanidade. A Geometria plana, 
como é popularmente conhecida nos dias 
atuais, leva também o título de Geometria 
Euclidiana em homenagem ao seu grande 
mentor Euclides de Alexandria. 
1.2 Cálculo de Áreas 
Conhecer sobre área é conhecer sobre 
o espaço que podemos preencher em regiões 
poligonais convexas – qualquer segmento de 
reta com extremidades na região só terá pontos 
pertencentes a esta. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
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O cálculo de áreas tem muita 
aplicabilidade em diferentes momentos, seja em 
atividades puramente cognitivas, ou até mesmo 
trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz 
uso dessa ferramenta para tornar possível o 
desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É 
através do conhecimento de área que é possível 
estimar a quantidade de cerâmica necessária 
para pavimentar um determinado cômodo de 
uma casa, por exemplo. 
O quadrado 
O quadrado é uma figura geométrica 
plana regular em que todos os seus lados e 
ângulos são iguais. Veja um exemplo de 
quadrado na figura a seguir: 
 
Para calcular a área de um quadrado 
basta que se multipliquem dois dos seus lados l 
entre si. 
 
Para pavimentar a sala de sua casa D. 
Carmem comprou 26 m2 de piso. Sabendo que 
a sala tem o formato quadrangular e que um dos 
lados mede 5 m, diga se o piso comprado por D. 
Carmem será suficiente para pavimentar a sua 
sala. 
A sala tem o formato quadrangular; 
O seu lado mede 5 m; 
A área do quadrado é A = l 2. 
Com base nos dados acima temos: 
 
Conclui-se então que o piso comprado 
por D. Carmem será suficiente para pavimentar 
sua sala e ainda sobrará 1 m2. Lembrete: a 
unidade de medida de área mais utilizada é o 
metro quadrado (m2), porém em alguns casos 
usa-se o km2, cm2, etc 
O retângulo 
O retângulo é uma figura geométrica 
plana cujos lados opostos são paralelos e iguais 
e todos os ângulos medem 90º. Confiram o 
retângulo abaixo: 
 
Para calcular a área do retângulo, 
basta que se multipliquem seu comprimento c 
pela largura l. 
 
Exemplo 2 
Num campeonato de futebol a equipe 
organizadora do evento está providenciando o 
gramado que será plantado em toda área do 
campo. Para comprar as gramas, a equipe 
precisa saber a área do campo, pois a grama é 
vendida por metro quadrado. Sabendo que o 
campo tem 115 m de comprimento por 75 m de 
largura e ainda que o campo tem o formato 
retangular, ajude a equipe a solucionar o 
problema, diga quantos metros quadrados de 
área tem o campo de futebol? 
 
O triângulo 
O triângulo é uma figura geométrica 
plana formada por três lados e três ângulos. A 
soma dos seus ângulos internos é igual 180º. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
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Para calcular a área do triângulo 
multiplica-se a base b pela altura h e divide o 
resultado por 2 (metade da área do retângulo). 
 
Exemplo 3 
Encontre a área de um triângulo cuja 
base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm. 
 
O trapézio 
O trapézio é uma figura plana com um 
par de lados paralelos (bases) e um par de 
lados concorrentes. 
 
Para calcular a área do trapézio 
adiciona-se a base maior c à base menor a, ao 
resultado da soma multiplica-se a altura, e por 
fim, divide-se o resultado final por 2. 
 
Exemplo 4 
Um fazendeiro quer saber a área de 
um lote de terra que acabara de comprar. O lote 
tem o formato de um trapézio. Sabendo que a 
frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a 
distância da frente ao fundo é de 510 m. 
Determine a área do lote1. 
 
1.3 Conceitos 
Alguns conceitos são de suma 
importância para o entendimento da geometria 
plana, a saber: 
 
Ponto 
Definido como “aquilo que não tem 
partes”, o ponto não possui dimensão e é o 
elemento-base para a formação dos outros 
conceitos da geometria plana. 
Os pontos determinam uma 
localização e são indicados com letras 
maiúsculas. 
Reta 
Uma linha de comprimento ilimitado, 
mas sem largura, formada por infinitos pontos é 
o que chamamos de reta. Ela pode ser 
horizontal, vertical ou diagonal e, em relação a 
pontos em comum, pode ser classificada como: 
Paralela, quando não possui pontos 
em comum com outra reta; 
Concorrente, quando se cruzam com 
outra reta por meio de um ponto em comum. 
Semirreta 
Partindo de um ponto A, a semirreta se 
diferencia da reta justamente por possuir um 
início. A partir daí esta linha segue de forma 
limitada,formada por infinitos pontos, porém, em 
um único sentido. 
 
1 Texto de: Robison Sá. Extraído: 
www.infoescola.com 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 6 
 
Dados dois pontos distintos A e B, a 
reunião do segmento de reta overline AB com o 
conjunto dos pontos X tais que B está entre A e 
X é a semirreta AB, indicada por overrightarrow 
AB. 
 
Em resumo, temos: 
 
Segmento de reta 
Partindo, ainda, do conceito da reta, o 
segmento também é formado por pontos. No 
entanto, possui início e fim, demarcado por 
pontos A e B, por exemplo. 
Ângulos 
Quando duas semirretas partem de 
uma mesma origem, ou um vértice, a abertura 
formada entre esses dois elementos é chamada 
de ângulo que, por sua vez, é representado pela 
unidade de medida “grau”. 
Abaixo, vamos listar as diferentes 
classificações que os ângulos podem ter no 
estudo da geometria plana. Veja só: 
Classificação dos ângulos 
De acordo com os graus de abertura, 
os ângulos podem ser classificados de cinco 
formas diferentes, como podemos verificar logo 
abaixo: 
Nulo, em que as semirretas partem na 
mesma direção e se sobrepõem, não havendo 
abertura e apresentando uma medida igual a 0o; 
Agudo, com uma abertura que varia 
entre 0o e 90o; 
Reto, que possui exatamente 90o; 
Obtuso, com uma medida maior que 
90o, mas inferior a 180o; 
Raso, em que as semirretas partem 
em direções opostas, formando um ângulo exato 
de 180o ou, metade de uma circunferência. 
Além disso, eles podem ser 
complementares — quando a soma dos ângulos 
é 90o —, suplementares — quando a soma 
equivale a 180o —, ou opostos pelo vértice, em 
que eles são congruentes (com a mesma 
medida), mas cada um se localiza de um dos 
lados deste vértice. 
Chama-se ângulo a região entre duas 
semirretas que partem de uma mesma origem. 
Podemos dizer, ainda que um ângulo é a 
medida da abertura de duas semirretas que 
partem da mesma origem. 
 
Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou 
Ô. 
O ponto O é o vértice do ângulo e as 
semirretas overline OA e overline OB são os 
lados do ângulo. 
Plano 
Um plano é uma região onde há 
infinitos pontos e infinitas retas. É um elemento 
com comprimento e largura. Geralmente é 
representado por letras gregas. 
Um plano é determinado por três 
pontos não colineares (pontos não alinhados). 
Se uma reta tem dois pontos distintos em um 
plano, então esta reta está contida nesse plano. 
2 POSTULADOS DE EUCLIDES 
Euclides (c. 330 a. C. - 260 a. C.) 
nasceu na Síria e estudou em Atenas. Foi um 
dos primeiros geómetras e é reconhecido como 
um dos matemáticos mais importantes da 
Grécia Clássica e de todos os tempos. 
Muito pouco se sabe da sua vida. 
Sabe-se que foi chamado para ensinar 
Matemática na escola criada por Ptolomeu Soter 
(306 a. C. - 283 a. C.), em Alexandria, mais 
conhecida por "Museu". Aí alcançou grande 
prestígio pela forma brilhante como ensinava 
Geometria e Álgebra, conseguindo atrair para as 
suas lições um grande número de discípulos. 
Diz-se que tinha grande capacidade e habilidade 
de exposição e algumas lendas caracterizam-no 
como um bondoso velho. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 7 
 
 
Conta-se que, um dia, o rei lhe 
perguntou se não existia um método mais 
simples para aprender geometria e que Euclides 
respondeu: "Não existem estradas reais para se 
chegar à geometria". 
Outro episódio sobre Euclides refere-
se a um dos seus discípulos, o qual, resolvendo 
ser espirituoso, depois de aprender a primeira 
proposição de geometria lhe perguntou qual o 
lucro que lhe poderia advir do estudo da 
geometria. Nesse momento, Euclides - para 
quem a geometria era coisa séria - chamou um 
escravo, passou-lhe algumas moedas e ordenou 
que as entregasse ao aluno: "já que deve obter 
um lucro de tudo o que aprende". 
Euclides é exemplo do "Puro Homem 
da Ciência", que se dedica à especulação pelo 
gosto do saber, independentemente das suas 
aplicações materiais. 
Os cinco postulados utilizados por 
Euclides nos Elementos são os seguintes: 
Axioma I: Pode-se traçar uma única 
reta ligando quaisquer dois pontos. 
Axioma II: Pode-se continuar (de uma 
maneira única) qualquer reta finita 
continuamente em uma reta. 
Axioma III: Pode-se traçar um círculo 
com qualquer centro e com qualquer raio. 
Axioma IV: Todos os ângulos retos são 
iguais. 
Axioma V: Se uma reta, ao cortar 
outras duas, forma ângulos internos, no mesmo 
lado, cuja soma é menor do que dois ângulos 
retos, então estas duas retas encontrar-se-ão no 
lado onde estão os ângulos cuja soma é menor 
do que dois ângulos retos. 
2.1 Quinto Postulado 
O quinto postulado do livro I, é mais 
famoso dos postulados de Euclides e aquele 
que tem dado mais dores de cabeça aos 
matemáticos. Equivalente ao «axioma das 
paralelas», de acordo com o qual, por um ponto 
exterior a uma reta, apenas passa uma outra 
reta paralela à dada, desde cedo que este 
postulado foi objeto de polémica por não possuir 
o mesmo grau de "evidência" que os restantes. 
Próclo (410 - 485), criticou este 
postulado nos seguintes termos: 
"Este postulado deve ser 
riscado da lista, pois é uma proposição 
com muitas dificuldades que Ptolomeu, 
em certo livro, se propôs resolver... A 
asserção de que duas linhas retas, por 
convergirem mais e mais à medida que 
forem sendo prolongadas, acabam por 
se encontrar, é plausível, mas não 
necessária. (...). É claro, portanto, que 
devemos procurar uma demonstração 
do presente teorema, e que este é 
estranho ao carácter especial dos 
postulados." 
O próprio Euclides e muitos dos seus 
sucessores tentaram demonstrar esta 
proposição a partir de outros axiomas da 
geometria. Mas sempre em vão. Esta 
impossibilidade foi durante séculos o escândalo 
da geometria e o desespero dos geómetras. 
A primeira tentativa de demonstração 
de que há conhecimento é de Ptolomeu de 
Alexandria (c. 90 - 168). Outro exemplo de uma 
tentativa frustrada de contornar o quinto 
postulado de Euclides é feita por John Wallis 
(1616 - 1703), matemático britânico antecessor 
de Isaac Newton (1643 - 1727). De facto, Wallis 
não fez mais do que propor um novo enunciado 
do quinto postulado de Euclides. 
O padre jesuíta G. Saccheri (1667 - 
1733) foi talvez o primeiro a ensaiar uma 
abordagem inteiramente nova. No seu último 
livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou 
utilizar a técnica de redução ao absurdo, 
admitindo a negação do postulado do 
paralelismo de Euclides com vista a obter algum 
absurdo ou contradição. Sem o saber Saccheri 
tinha descoberto a geometria não-euclidiana! 
O trabalho de Saccheri permaneceu 
ignorado durante século e meio. Outros grandes 
matemáticos, como Karl Gauss (1777 - 1855), o 
príncipe dos matemáticos, redescobriram e 
desenvolveram a geometria em bases 
semelhantes às de Saccheri (negando o quinto 
postulado), sem nunca chegarem a uma 
contradição. 
Gauss chega mesmo a escrever: 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 8 
 
"Estou cada vez mais 
convencidode que a necessidade da 
nossa geometria (euclidiana) não pode 
ser demonstrada, pelo menos não pela 
razão humana, nem por culpa dela. 
Talvez, numa outra vida, consigamos 
obter a intuição sobre a natureza do 
espaço que, no presente, é inatingível." 
Outros, mais ousados, não recuaram 
perante o estranho mundo novo que se abria a 
seus olhos. O jovem húngaro Janos Bolyai 
(1802 - 1860) admite a negação do postulado do 
paralelismo de Euclides como hipótese não 
absurda, isto é, como um novo postulado, a 
juntar aos postulados habituais da geometria 
absoluta. Pela mesma época, e trabalhando 
independentemente, o jovem russo Nicolai 
Lobachewski (1792 - 1856) publica em 1829 a 
sua versão da geometria não euclidiana à qual 
chama, primeiramente "imaginária" e depois 
"pangeometria". Atualmente, esta geometria é 
chamada Geometria Hiperbólica. 
Foi necessário esperar até ao século 
XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos 
Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich 
Lobachevski conseguissem demonstrar que se 
trata efetivamente de um axioma, necessário e 
independente dos outros. Supuseram que o 
postulado de Euclides não era verdadeiro e 
substituíram-no por outros axiomas: 
Por um ponto exterior a uma reta, 
podemos traçar uma infinidade de paralelas a 
esta reta (geometria de Lobachevski); 
Por um ponto exterior a uma reta não 
podemos traçar nenhuma paralela a esta reta 
(geometria de Riemann). 
Todos se deram então conta de que, 
substituindo o axioma das paralelas, era 
possível construir duas geometrias diferentes da 
geometria euclidiana, igualmente coerentes e 
que não conduziam a nenhuma contradição. 
Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas 
duas novas geometrias foram a pouco e pouco 
reconhecidas como alternativas legítimas. 
Chegou-se mesmo a demonstrar que, 
se qualquer das duas pudesse apresentar 
alguma contradição, a própria geometria 
euclidiana seria também contraditória. Desde 
então, encontramo-nos perante três sistemas 
geométricos diferentes: 
A geometria euclidiana, por vezes 
também chamada parabólica; 
A geometria de Lobachevski, também 
chamada hiperbólica; 
A geometria do Riemann, também 
chamada elíptica ou esférica. 
As duas últimas recebem o nome de 
geometrias não euclidianas. Estas novas 
geometrias permitiram às ciências exatas do 
século XX uma série de avanços, entre os quais 
a elaboração da Teoria da Relatividade de 
Einstein (1879 - 1955). O que permitiu provar 
que essas teorias, ao contrário do que muitos 
afirmavam, tinham realmente aplicações 
práticas. 
 
De fato, conclui-se que o quinto 
postulado é o que distingue a Geometria não 
Euclidiana da Geometria Euclidiana2. 
3 TEOREMA DE STEWART 
Matthew Stewart, nasceu no ano de 
1717, em Rothesay, na parte inferior da Firth of 
clyde, na Escócia numa pequena ilha chamada 
de Bute. Educado em Rothesay Grammar 
School, entrou na Universidade de Glasgow em 
1734, onde estudou com o Filósofo Francis 
Hutcheson e o Matemático Robert Simpson, 
com quem estudou Geometria antiga. 
Stewart participou de palestras de 
Colin Maclaurin na Universidade de Edimburgo, 
durante as sessões de 1742 a 1743, no mesmo 
período publicou sua famosa obra, Some 
General Theorems of Considerable Use in the 
Higher Parts of Mathematics, que estende 
algumas ideias de Simpson e trás a conhecida 
proposição II (Teorema de Stewart). 
Com a morte de Maclaurin, em 1746, 
surgiu uma vaga na Universidade de Edimburgo 
que, um ano depois, foi ocupada por Stewart 
que se tornou professor de Matemática até o 
seu falecimento em 1785. Após sua morte seu 
 
2 Texto extraído: webpages.fc.ul.pt 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 9 
 
filho Dugald Stewart ocupou sua cadeira na 
mesma Universidade. 
 
Demonstração. Faremos a 
demonstração por dois modos diferentes. 
1º Modo. Comecemos considerando o 
triângulo ABC abaixo e a ceviana3. 
 
Usando a lei dos cossenos no triângulo 
ABD, segue: 
 
e, no ADC, temos: 
 
 
 
Somando membro a membro as 
igualdades acima, resulta em: 
 
Como m + n = a, segue que 
 
 
 
3 CEVIANA é qualquer segmento com 
uma extremidade num vértice de um triângulo e 
a outra na reta suporte do lado oposto a esse 
vértice. 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 10 
 
Utilizando as equações (3) e (5), 
obtemos o seguinte sistema de equações: 
 
Multiplicando a primeira equação por n 
e a segunda equação por m resulta que 
 
Somando as duas equações no 
sistema acima, obtemos: 
 
Como a = m + n, segue-se de (6) que 
 
Isto é, 
 
4 TEOREMA DE MENELAUS 
Menelaus de Alexandria foi um 
astrônomo e geômetra nascido em Alexandria, 
Egito, por volta do ano 80. Segundo 
historiadores gregos e árabes sabe-se que ele 
escreveu uma coleção de seis livros sobre 
cordas no círculo, um livro de intitulado 
Elementos da Geometria e uma série de 
trabalhos em geometria e astronomia, todos 
perdidos. 
 
Menelaus continuou os trabalhos de 
Hiparco em trigonometria e demonstrou 
interessantíssimo teorema, que leva o seu 
nome. Ardente defensor da Geometria clássica 
e criador do tradicional teorema de Menelaus. 
Seu nome foi conhecido através de Pappus e 
Próclus e pouco se sabe sobre sua vida, mas 
teve grande influência na trigonometria, 
astronomia e geometria. 
O teorema de Menelaus foi esquecido 
por mais de 15 séculos, sendo redescoberto por 
Giovanni Ceva no ano de 1678. Toda reta que 
corta as três retas suporte dos lados de um 
triângulo determina seis segmentos tais que o 
produto de três dentre eles, não tendo 
extremidade comum, é igual ao produto dos 
outros três. 
 
 
Demonstração. Faremos a 
demonstração por dois modos diferentes. 
1º Modo. Aqui utilizaremos o teorema 
de Tales. 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 11 
 
 
 
 
Multiplicando, teremos 
 
 
Ou ainda, 
 
Um fato que deve ser destacado. O 
teorema de Menelaus também é válido quando 
a transversal não intersecta nenhum lado do 
triângulo, mas apenas os prolongamentos 
desses lados. Veja a demonstração. Seja a reta 
r uma transversal que intersecta as retas 
suportes dos lados do triângulo ABC, 
respectivamente, nos pontos D, E e F. 
 
 
 
 
Multiplicando as duas igualdades, 
obtemos 
 
Portanto, 
 
5 TEOREMA DE CEVA 
Matemático, físico, geômetra e 
engenheiro hidráulico, o italiano Giovanni Ceva 
nascido em Milão (1647 – 1734) destacou-se 
quando trouxe à evidência o Teorema de 
Menelaus esquecido por cerca de mil e 
quinhentos anos, dando uma definição mais 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 12 
 
ampla e mostrando mais aplicações do Teorema 
na sua obra De Lineis Réctis, ao estabelecer 
umacondição para que três cevianas de um 
triângulo tenham um ponto comum. 
 
Portanto o Teorema de Ceva trata-se 
de um “parceiro” do teorema de Menelaus. 
Conhecido como Teorema de Ceva ou das 
cevianas nome atribuído em sua homenagem 
aos segmentos que unem vértices de um 
triângulo a pontos do lado oposto ou do seu 
prolongamento, como alturas, bissetrizes e 
medianas de um triângulo. 
Teorema 12. Três cevianas de um 
triângulo concorrem em um ponto se, e somente 
se, determinam nos lados do triângulo seis 
segmentos tais que o produto das medidas de 
três desses segmentos, não tendo uma 
extremidade comum, é igual ao produto das 
medidas dos outros três segmentos. 
Demonstração. Faremos a 
demonstração por dois modos diferentes. 
 
Consideremos a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (3) e (4) obtemos: 
 
Ou seja, 
 
Daí, multiplicando (1), (2) e (5), obtemos 
 
 
 
Então elas são concorrentes. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 13 
 
 
 
 
 
 
Pois, 
 
Daí, 
 
Analogamente, é possível mostrar que 
 
Como consequência de (*) e (**) concluímos o 
seguinte: 
 
Lembremos que 
 
Assim, 
 
Analogamente, 
 
O que implica em 
 
E 
 
Que resulta em 
 
Logo, multiplicando membro a membro as três 
equações teremos4. 
 
 
4 Texto de: Darilene Maria Ribeiro 
Macedo. Extraído: www.repositorio.ufc.br 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 14 
 
 
6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Dois triângulos são semelhantes se, e 
somente se, seus três ângulos são congruentes 
(na mesma ordem) e seus lados homólogos são 
proporcionais. 
 
 
 
O símbolo ∼ significa “semelhante”. 
Cada um dos lados homólogos está em um 
triângulo e ambos são opostos a ângulos 
congruentes. 
6.1 Razão de semelhança 
A razão entre dois lados homólogos ou 
entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada 
de razão de semelhança. 
 
Exemplo: 
Por exemplo, os triângulos abaixo são 
semelhantes: 
 
Os ângulos são congruentes (iguais) e 
os lados homólogos são proporcionais. 
 
A razão de semelhança será k = 2. 
Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes 
maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor 
que ABC. 
6.2 Propriedades 
Da definição de triângulos 
semelhantes decorrem as seguintes 
propriedades: 
1. Reflexiva: um triângulo é 
semelhante a ele mesmo. 
 
 
6.3 Teorema fundamental 
Se houver uma reta paralela a um dos 
lados de um triângulo e ela intercepta os outros 
dois lados em pontos distintos, dois triângulos 
serão formados e eles serão semelhantes. 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 15 
 
6.4 Casos de semelhança 
Para se verificar que dois triângulos 
são semelhantes, não é necessário conferir se 
todos os lados homólogos são proporcionais e 
que todos os ângulos são congruentes. Há 
alguns casos em que a detecção da semelhança 
é facilitada. 
Caso AA (Ângulo, Ângulo) 
Sejam dois triângulos ABC e DEF. 
Eles serão semelhantes se, e somente se, dois 
de seus ângulos forem congruentes. 
 
 
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, 
e somente se, eles tiverem dois lados 
respectivamente proporcionais e se os ângulos 
formados por esses lados forem congruentes. 
 
Caso LLL (Lado, Lado, Lado) 
Dois triângulos serão semelhantes se, 
e somente se, eles tiverem os três lados 
respectivamente proporcionais. 
 
 
6.5 Razão entre áreas 
A razão entre as áreas de dois 
triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da 
razão de semelhança entre eles. 
Observe a pequena demonstração: 
 
 
Dividindo a área do primeiro pela do 
segundo temos: 
 
Mas, como os triângulos são 
semelhantes, temos que 
 
Assim: 
 
Portanto, teremos que5: 
 
5 Texto de: Daniel Duarte da Silva. 
Extraído: www.infoescola.com 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 16 
 
 
6.6 Congruência de triângulos 
Dois triângulos são chamados 
congruentes quando os seus lados e os seus 
ângulos são congruentes, ou seja, se 
correspondem. 
Em outras palavras, pode-se afirmar 
que dois triângulos são denominados 
congruentes se eles têm ordenadamente os três 
lados e os três ângulos iguais. Exemplo: 
 
A congruência de dois triângulos 
determina a congruência dos seis elementos. 
Esses elementos são os três lados e os três 
ângulos. Então, será que para saber se dois 
triângulos são congruentes, temos que verificar 
toda vez à congruência dos seis elementos? 
A resposta é NÃO. Existem condições 
mínimas para que dois triângulos sejam 
congruentes. Podemos verificar a congruência 
de três elementos numa dada ordem. Vejamos 
os casos de congruência de triângulos. 
Casos ou critérios de 
Congruência 
Existem 5 casos ou critérios de 
congruência, vejamos abaixo: 
1º caso: LAL (lado, ângulo, lado): dois 
lados congruentes e ângulos formados também 
congruentes. 
 
2º caso: LLL (lado, lado, lado): três 
lados congruentes. 
 
3º caso: ALA (ângulo, lado, ângulo): 
dois ângulos congruentes e lado entre os 
ângulos congruente. 
 
4º caso: LAA (lado, ângulo, ângulo): 
congruência do ângulo adjacente ao lado, e 
congruência do ângulo oposto ao lado. 
 
5º caso: Se dois triângulos retângulos 
têm ordenadamente congruentes um cateto e a 
hipotenusa, então eles são congruentes. 
 
Através das definições de congruência 
de triângulos podemos chegar às propriedades 
geométricas sem a necessidade de efetuar 
medidas. 
Dizemos que, em todo triângulo 
isósceles, os ângulos opostos aos lados 
congruentes são congruentes. Os ângulos da 
base de um triângulo isósceles são 
congruentes6. 
7 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 
A partir do século V aC, os 
matemáticos gregos desenvolveram uma parte 
da Matemática, intimamente ligada à Geometria, 
conhecida como Construções Geométricas com 
Régua e Compasso. Os problemas de 
construções geométricas são muito 
interessantes e alguns deles devem ser 
enfrentados por quem está interessado em 
 
6 Texto extraído: 
www.campusdosertao.ufal.br 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 17 
 
Geometria. É bom saber que os gregos antigos 
propuseram e resolveram muitos problemas de 
construção difíceis, mas não conseguiram 
resolver, ou melhor, não conseguiram provar 
que não tinham solução os três problemas 
conhecidos, respectivamente, como: 
(1) a trissecção de um ângulo 
(2) a duplicação de um cubo 
(3) a quadratura de um círculo 
Consistindoem, usando apenas régua 
e compasso: 
(1) dividir um ângulo dado qualquer em 
três partes iguais (ou seja, em três ângulos 
congruentes cuja soma é o ângulo dado) 
(2) construir o lado de um cubo, cujo 
volume é o dobro do volume de um cubo cujo 
lado é dado 
(3) construir um quadrado cuja área é 
a mesma de um círculo dado 
Esses problemas foram enfrentados 
com sucesso apenas no século XIX, com a 
ajuda da Álgebra. Mas isto já é outra história. 
Com certeza você ainda irá ouvir bastante sobre 
esse assunto, em outras oportunidades. 
Para resolver problemas de 
construções geométricas, além de lápis e papel, 
utilizam-se dois instrumentos para desenhar 
figuras: um compasso e uma régua (sem 
escala). O compasso será utilizado para 
desenhar circunferências e a régua, para traçar 
retas. Serão utilizadas apenas as seguintes 
operações (que se justificam pelos axiomas da 
Geometria Euclidiana): 
1. Traçar uma reta por dois pontos 
conhecidos. 
2. Desenhar uma circunferência, dados 
o seu centro e o seu raio. 
3. Marcar os pontos, quando houver, 
de intersecção de duas linhas (duas retas, duas 
circunferências ou uma reta e uma 
circunferência). 
Para simplificar as construções, é 
comum desenharmos arcos de circunferência 
em vez de circunferências, além de segmentos 
de retas e semirretas em vez de retas. 
Entretanto, há situações em que essa prática 
pode ocultar soluções válidas de um problema, 
sendo necessária a devida atenção para evitar 
isso. 
Uma construção geométrica consiste 
numa sequência finita de pelo menos uma 
dessas operações. Iremos desenvolver um 
procedimento adequado para descrever os 
passos de uma construção (como um programa 
de computação). Mas o mais importante são os 
conceitos, idéias e teoremas geométricos 
envolvidos na resolução dos problemas. 
Por isso, iremos exercitar a atividade 
fundamental característica da Matemática: a 
demonstração. O fato de exibirmos uma figura 
desenhada não basta para afirmar que um 
problema foi resolvido: é preciso provar, com 
bases nas leis da lógica e nos fatos já 
conhecidos (definições, axiomas ou teoremas), 
que tudo o que foi feito é válido. Por isso, cada 
passo da construção deve ser justificado (isto é, 
demonstrado). Vamos ver um exemplo. 
Construir um triângulo, dados dois de 
seus lados e o ângulo formado por eles. 
 
Nesta primeira descrição da 
construção, iremos explicar detalhes que serão 
omitidos nas próximas. 
Procedimento: 
1) Transporte o segmento maior para 
um lugar conveniente: 
Marque um ponto num lugar 
conveniente da página (ponto A) 
Coloque a ponta seca do compasso 
numa extremidade do segmento dado maior e a 
ponta com grafite na outra extremidade do 
mesmo 
Sem mexer na abertura do compasso, 
coloque a ponta seca no ponto A e trace um 
pequeno arco (para a direita, por exemplo) 
Marque um ponto desse arco (ponto B) 
Com a régua, desenhe o segmento 
AB. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 18 
 
2) Transporte o ângulo dado, de forma 
que seu vértice coincida com A e um de seus 
lados com o segmento AB. 
Com ponta seca no vértice do ângulo 
dado, trace uma circunferência (arco) de raio 
menor do que AB; esta encontra os lados do 
ângulo em M e N. 
Com mesmo raio, trace a 
circunferência (arco) com centro em A, 
encontrando o segmento AB em M’. 
Com centro em M’, trace a 
circunferência (arco) de raio MN; ela encontra a 
circunferência (arco) de centro A em N’. 
Trace a reta (semirreta de origem A), 
passando por N’. 
3) Com centro em A, trace a 
circunferência (arco) de raio igual ao outro lado 
dado; esta circunferência (arco) encontra a 
semirreta AN’ em C. 
4) Trace o segmento AC. 
5) Trace o segmento BC. A construção 
obtida é 
 
Podemos justificar as construções 
acima, de forma abreviada. Além dos axiomas 
da Geometria Euclidiana que fundamentam as 
operações O1, O2 e O3, foi utilizado o caso LLL 
de congruência de triângulos no passo 2 
(transporte de ângulo). 
Se desenharmos retas e 
circunferências completas nas operações de 
transporte, as construções ficarão mais 
complexas e provavelmente surgirão soluções 
redundantes, isto é, congruentes. No caso 
acima, nessas condições, a construção final 
ficaria assim: 
 
Os triângulos ABC’, AB’C’’ e AB’C’’’ 
são congruentes ao triângulo ABC. Esta 
construção ilustra o fato de que a 
correspondência LAL entre triângulos é uma 
congruência. 
Porém, nem sempre as soluções são 
congruentes. Considere o problema a seguir. 
Construir um triângulo, dados dois de 
seus lados e o ângulo oposto ao ângulo formado 
por eles. 
 
O desenho a seguir mostra uma 
construção onde as representações de retas e 
os traçados de arcos foram insuficientes para 
mostrar todas as soluções válidas: 
 
Uma construção cuidadosa revela que 
há outra solução: um outro triângulo ABC’, não 
congruente ao triângulo ABC acima. Isto prova 
que a correspondência ALL entre dois triângulos 
não é uma congruência. O leitor pode verificar 
que as outras soluções, caso fossem feitas retas 
e circunferências completas nas operações de 
transporte, seriam congruentes a essas duas. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 19 
 
 
É importante considerar também as 
situações em que um problema de construção é 
enunciado, sem que sejam realmente 
apresentados os elementos dados. Neste caso, 
cabe ao leitor fazer considerações sobre as 
restrições do problema. Por exemplo: 
Construir um triângulo conhecendo-se 
seus três lados. 
Se os supostos três lados forem os 
segmentos abaixo 
 
Vemos, pela construção a seguir (onde 
as circunferências têm raios iguais, 
respectivamente, aos segmentos menores), que 
não pode existir tal triângulo: 
 
Isto ocorre porque um lado de 
qualquer triângulo tem que ser menor que a 
soma dos dois outros lados. Algebricamente, a 
condição para que três números reais positivos 
quaisquer a, b e c sejam as medidas dos lados 
de um triângulo é |a – b| < c < a + b. 
7.1 Construção de segmentos 
congruentes 
Inicialmente vamos imaginar a 
situação seguinte: Dada uma reta, traçar 4 
segmentos de reta de mesma medida. Vamos 
supor que cada segmento meça u. 
Trace uma reta e nela marque o ponto 
B, alguns centímetros à direita da margem da 
folha, com medida maior que u (raio). Depois 
trace um círculo de raio u, com centro em B, 
obtendo os pontos A e C que são as interseções 
do círculo com a reta. Do mesmo modo, trace o 
círculo de raio u e centro C, obtendo o ponto D. 
Finalmente, trace o círculo de raio u e centro D, 
obtendo o ponto E. 
 
Nesse caso, os segmentos são 
constantes, pois representam o raio de cada 
círculo. Como os raios são iguais, temos que AB 
= BC = CD = DE. 
O primeiro ponto (B) deve ser marcado 
na linha traçada com distância maior do que u 
de uma das margens e maior do que 3 u da 
outra (permitindo que o círculo a ser traçado 
caiba na folha). 
Quando centramos o compasso em B 
e traçamos um círculo, obtemos os pontos A e 
C, que são as interseções desse círculo com a 
reta dada. Como o compasso tem abertura u, 
concluímos que a distância que separa um 
ponto do outro ao seu lado é de u (tamanhos 
iguais). 
O processo se repete e as distâncias 
sempre serão iguais, já que a abertura do 
compasso é fixa (única). 
7.2 Construção do ponto médio de 
um segmento de retaTrace um segmento de reta AB de 
qualquer tamanho e dois círculos de mesmo 
raio, um centrado em A e outro centrado em B, 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 20 
 
de modo que o raio seja maior que a metade de 
AB. 
 
Os círculos se intersectam nos pontos 
C e D. Trace o segmento CD, intersectando AB 
no ponto M, que é o ponto médio de AB. 
 
Temos que AC = BC, pois 
correspondem ao raio de cada círculo (que 
possuem a mesma medida). O mesmo ocorre 
com AD = BD. Assim, o quadrilátero ADBC é um 
losango. Logo, suas diagonais se intersectam 
perpendicularmente e no ponto médio. Portanto, 
AM = BM, ou seja, M é o ponto médio de AB. 
7.3 Construção da mediatriz de 
um segmento de reta 
Trace um segmento de reta de 
extremos A e B e faça dois círculos de mesmo 
raio centrados em A e B, obtendo nas 
interseções os pontos C e D. Esse raio é maior 
que a metade do segmento AB. 
 
Trace a reta CD e teremos AB 
perpendicular a CD, sendo que CD passa por M, 
ponto médio de AB 
 
É de fundamental importância que se 
perceba que o ponto médio de um segmento de 
reta poderia ser obtido de um modo impreciso 
se fosse utilizada apenas a régua. Poderíamos 
também construir um ângulo reto obtido 
diretamente com o uso de um esquadro cujo 
resultado seria um ângulo próximo de um reto. 
Isso torna o compasso um instrumento 
indispensável para esse tipo de aplicação. 
8 CONSTRUÇÕES DE 
POLÍGONOS 
8.1 Construção de um triângulo 
qualquer 
Vamos construir, com o auxílio de 
régua e compasso, um triângulo cujos lados 
medem: 4 u, 5 u e 6 u. 
Inicialmente traçamos um segmento de 
reta (pode ser horizontal) e nele marcamos o 
ponto A. Com o compasso centrado em A, 
marcamos o ponto B, sendo AB = 6 u. 
 
Centramos novamente o compasso em 
A e traçamos um círculo de raio 5 u. 
 
Agora traçamos o círculo de raio 4 u, 
centrado em B. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 21 
 
 
A interseção desses dois últimos 
círculos nos dá o ponto C. Assim, temos o 
triângulo ABC quando ligamos esses pontos. 
 
8.2 Construção de polígonos 
regulares construtíveis 
Todos os polígonos regulares podem 
ser inscritos numa circunferência. Entretanto, 
nem todo polígono regular é construtível com 
régua e compasso. 
Gauss relacionou o problema das 
construções de polígonos regulares com as 
raízes da equação xn – 1 = 0. Essa equação 
possui n raízes complexas que podem ser 
representadas como pontos de uma 
circunferência. 
Nesse caso esses pontos 45 são os 
vértices do polígono regular inscrito na 
circunferência de raio 1 centrada na origem. A 
verificação sobre a possibilidade de um polígono 
ser construtível ou não se deu com o 
desenvolvimento da Álgebra. Para o heptágono 
regular (n = 7) Gauss demonstrou, em 1796, 
que a construção é impossível. 
Gauss mostrou que, quando p é primo, 
um p-ágono (polígono de p lados) regular é 
construtível se, e somente se, p é um primo de 
Fermat, ou seja, p = 2 1. 2 + n. Alguns exemplos 
de primos de Fermat são: 
 
8.3 Construções de polígonos a 
partir de um polígono dado 
Dado um polígono regular. Queremos, 
a partir dele, duplicar o número de lados desse 
polígono. Nesse caso, suponha que dispomos 
de um polígono regular de n lados. 
Quando traçamos a mediatriz de cada 
lado do polígono, obtemos o ponto médio do 
arco que liga dois vértices consecutivos (esse 
ponto será um dos vértices do novo polígono). 
Assim, dobraremos o número de lados do 
polígono e teremos então um polígono regular 
de 2 n lados. 
 
Na figura acima, H é ponto médio do 
arco AB, I é ponto médio do arco BD, G é ponto 
médio do arco DC e assim sucessivamente. 
O processo pode ser feito de modo 
contrário, ou seja, dispomos de um polígono de 
2 n lados e queremos gerar um novo polígono 
de n lados. Para isso, basta utilizarmos os 
vértices alternados. 
Assim, escolhemos um vértice 
qualquer do polígono e um sentido de giro na 
circunferência (horário ou anti-horário), 
marcamos um vértice e deixamos o próximo 
sem marcar até completar a volta na 
circunferência e o polígono estará pronto. 
Construção de um triângulo 
equilátero de lados medindo 5 u 
Inicialmente, traçamos um segmento 
de reta (pode ser horizontal). Numa extremidade 
deste segmento marcamos o ponto A e 
traçamos o círculo de centro em A e raio de 5 u, 
obtendo assim o ponto B. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 22 
 
 
Agora, com centro em B, traçamos um 
círculo de raio 5 u. 
 
A interseção dos dois círculos nos dá o 
ponto C e ligando os três pontos teremos o 
triângulo equilátero ABC, cujos lados medem 5 
u. 
 
Construção do quadrado 
a) Construção do quadrado de lado 
5 u 
Trace uma semirreta e nela marque o 
ponto H a alguns centímetros à direita da 
extremidade (de 3 cm a 5 cm). Em seguida, 
trace um círculo com centro em H, de raio de 
qualquer medida, cujas interseções com o 
segmento de reta são os pontos C e D. 
 
Com centro em C e D, trace dois 
círculos de mesmo raio que seja maior que CH, 
cujas interseções são os pontos E e F. 
 
Trace a semirreta FE e um círculo de 
raio igual a 5 u, centrado em H, para obter os 
pontos G e K, interseção entre esse círculo e as 
semirretas perpendiculares. 
 
Novamente, trace dois círculos de raio 
5 u, um centrado em G e outro centrado em K, 
cuja interseção é o ponto J. 
 
Ligamos esses pontos e obtemos o 
quadrado HGJK. 
 
As retas HK e HG são 
perpendiculares, pois a reta HG é o lugar 
geométrico do plano cujos pontos equidistam 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 23 
 
dos pontos C e D. Sabemos então que H é um 
ângulo reto. 
Os lados são constituídos de mesma 
medida, pois representam uma única abertura 
do compasso. Como os quatro lados são iguais, 
os ângulos opostos H e J são de mesma 
medida. Portanto teremos os quatro ângulos 
retos e os quatro lados iguais. Logo temos um 
quadrado. 
b) Construção do quadrado de lado 
5 u por outro método 
Outro modo de construir um quadrado 
é inscrevê-lo numa circunferência. Se 
quisermos, por exemplo, construir um quadrado 
de lado 6 u, teremos que sua diagonal (que é 
igual ao diâmetro da circunferência onde ele 
está inscrito) é 6 2 u. Logo, o raio da 
circunferência mede 3 2 u. Para viabilizar a 
execução, vamos considerar uma circunferência 
de raio 3 u. 
Trace uma circunferência de raio 3 u e 
centro no ponto A. Trace uma reta que passa 
por A intersectando a circunferência nos pontos 
B e C. 
 
Trace a mediatriz do segmento BC, 
que é a reta que passa por A (ponto médio de 
BC), perpendicularmente a BC. Para isso, centre 
dois círculos de mesmo raio em B e C cujo raio 
é maior que a metade de BC, obtendo os pontos 
D e E, que são as interseções entre os círculos. 
 
Trace uma reta que passa pelos 
pontos D e E (mediatrizde BC), obtendo os 
pontos F e G, que são as interseções entre a 
reta DE e a circunferência inicial. 
 
Finalmente, ligando os pontos das 
interseções dessas duas retas com a 
circunferência inicial, temos o quadrado BFCG. 
 
Os diâmetros BC e GF são 
perpendiculares e se intersectam no ponto 
médio (A) de ambos. Logo, teremos quatro 
triângulos retângulos isósceles. Assim, pelo 
caso LAL, os triângulos são congruentes, os 
segmentos correspondentes aos lados são de 
mesma medida e os vértices B, G, C e F são 
ângulos retos. Portanto, BGCF é um quadrado. 
Construção do hexágono regular de 
lado medindo 5 u 
Lembramos que, a partir do triângulo 
equilátero, obtemos um hexágono regular 
quando duplicamos o número de vértices desse 
triângulo, no entanto construiremos o hexágono 
com um valor do lado definido. 
O hexágono regular será construído 
antes do pentágono regular simplesmente pela 
maior facilidade de entendimento de sua 
construção. 
Trace um círculo de centro O e raio 
igual a 5 u. Observação: Quando inscrevemos 
um hexágono regular numa circunferência, o 
lado desse hexágono é igual ao raio da 
circunferência. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 24 
 
 
Marcamos o ponto A em qualquer 
lugar nessa circunferência e traçamos um 
círculo de raio 5 u centrado nesse ponto, 
obtendo os pontos B e F, que são as duas 
interseções entre esse círculo e o círculo inicial. 
 
Repetimos o procedimento centrando 
círculos de raio 5 u nesses pontos obtidos, até 
encontrar os seis pontos no círculo inicial. 
 
Finalmente, ligamos os pontos e 
teremos o hexágono ABCDEF. 
 
Construção do octógono regular 
Para construirmos um octógono 
regular, utilizamos o quadrado e seguimos os 
passos citados para a duplicação do número de 
lados de um polígono. 
Considere o quadrado BGCF. Centre 
dois círculos de mesmo raio nos vértices B e G, 
obtendo as interseções H e I desses dois 
círculos. 
 
Trace a reta HI, obtendo os pontos J e 
K, que são as interseções com o círculo inicial. 
 
Centre um círculo de mesmo raio que 
os dois últimos no vértice F do quadrado, 
obtendo nas interseções os pontos L e M com o 
círculo centrado em B. 
 
Trace a reta LM, obtendo as 
interseções N e O com o círculo inicial. 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 25 
 
Ligando os pontos, teremos o 
octógono regular. 
 
Construção do decágono regular 
 
 
 
Temos que os triângulos ACD e BCD 
são semelhantes (caso AAA), logo teremos a 
proporção 
Dessa proporção temos a equação do 
2º grau x2 = 1 – x, ou seja, x 2 + x – 1 = 0 cujas 
raízes são e onde essa 
última é negativa e por esse motivo será 
desconsiderada. Assim, é possível construir o 
decágono regular, transportando-se a corda de 
comprimento x para a circunferência. A primeira 
raiz, como já mostramos nesse trabalho, é o 
número de ouro, cuja construção com régua e 
compasso será feita sem muito trabalho. 
A construção se dará do seguinte 
modo: 
Trace um círculo de centro O e 
diâmetros AC e BD, perpendiculares se 
intersectando no ponto O. 
 
Marque M, ponto médio de OD. Trace 
um círculo de raio AM centrado em M, obtendo o 
ponto E na interseção desse círculo com o 
segmento BO. 
 
O segmento OE corresponde à medida 
do lado do decágono. Portanto, trace um círculo 
de raio OE centrado em A, obtendo os pontos F 
e G nas interseções com o círculo inicial. 
 
Repita o processo para obter os 
demais lados do decágono traçando círculos de 
raio OE até contornar o círculo inicial. 
 
Ligando os pontos relativos aos 
centros desses círculos, teremos o decágono 
regular. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 26 
 
 
É fácil notar que AM = EM, pois 
correspondem ao raio do círculo centrado em M. 
O triângulo AOM é retângulo em O. Na figura 
abaixo temos um círculo de raio 1 e centro na 
origem. 
 
Temos também que OE = EM – OM = 
AM – OM = que é a raiz positiva 
da equação x2 + x – 1 = 0, ou seja, a medida do 
lado do decágono. 
8.4 Construção do pentágono 
regular 
Para construirmos o pentágono, 
utilizaremos o decágono como ponto de partida. 
Nesse caso o decágono é um polígono de 2 n 
lados e queremos obter um polígono de n lados. 
Considere os vértices de um decágono 
regular (etapa 4 da construção da figura 12). 
Para obtermos o pentágono, basta escolhermos 
um ponto inicial e ligarmos os pontos alternados 
a partir dele e teremos o pentágono regular. 
 
9 LUGARES GEOMÉTRICOS 
Lugar geométrico é a figura ligada a 
todos os seus pontos que possuem uma 
determinada propriedade. 
Vejamos os principais lugares 
geométricos. 
Circunferência 
Circunferência é o lugar geométrico 
dos pontos de certo plano, onde as distâncias 
estão estabelecidas por um ponto fixo O, que é 
o centro da circunferência, onde a constante r é 
a medida do raio. 
Todos os pontos dessa circunferência 
estão a uma distância r do ponto O e qualquer 
ponto do plano que fica a uma distância r do 
ponto O faz parte da circunferência. 
Vejamos: 
 
Par de paralelas 
O par de paralelas da reta r está 
distante de uma constante k, e também 
distanciam de uma constante k de uma reta r 
desse plano, sendo assim o elemento de uma 
das retas do par de paralelas. 
Vejamos: 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 27 
 
 
Par de retas perpendiculares 
Par de retas perpendiculares é o ponto 
de um plano que equidistam de duas retas 
concorrentes desse plano, onde há um par de 
retas que são perpendiculares entre si e 
possuem as bissetrizes dos ângulos que são 
formados pelas concorrentes. 
Vejamos: 
 
9.1 Distância entre duas figuras 
Considerando duas figuras planas F1 e 
F2, onde a distância (d) existente entre essas 
figuras é a medida do menor segmento de reta 
que se pode ter, pegando um ponto de cada 
figura. 
 
Exemplos 
1) Ponto e reta 
 
2) Retas paralelas 
 
3) Retas concorrentes 
 
4) Ponto e circunferência 
 
5) Reta e circunferência 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 28 
 
 
9.2 Elipse 
Em 1609, o astrônomo alemão Johann 
Kepler, após coletar dados referentes a treze 
anos de observações relativas aos movimentos 
do planeta Marte, estabeleceu que cada planeta 
se move sobre uma elipse com o sol em um dos 
focos. 
Uma elipse é o lugar geométrico dos 
pontos P, do plano, cuja soma das distâncias a 
dois pontos fixos e é constante. Os 
pontos fixos são chamados pontos focais ou 
focos da elipse. O ponto médio do segmento de 
reta é chamado centro da elipse. A 
distânciaentre os pontos focais é designada, em 
geral, por 2 c e a distância fixa , por 
2 a. 
Abaixo, usamos a caracterização deste 
lugar geométrico para traçar o gráfico da elipse 
com focos em (-3,0) e (3,0). 
 
Observando o gráfico acima, prove 
que a condição é necessária para garantir 
a existência de uma elipse. 
Existe uma maneira óbvia de traçar 
este gráfico. Prendem-se dois pinos nos focos 
e . Atam-se as extremidades de uma 
corda aos pinos, de tal maneira que o 
comprimento livre de corda entre eles seja igual 
a 2 a. Se um lápis for inserido no laço de corda 
assim construído e for deslocado de um lado 
para outro de modo a manter o fio sempre 
esticado, uma elipse será desenhada. A 
animação abaixo ilustra esta construção. 
 
Você é capaz de justificar essa 
construção? 
É fácil provar que a elipse é simétrica 
em relação à reta que passa pelos focos. Para 
isso, precisamos mostrar que se P é um ponto 
qualquer da elipse, sua imagem espelhada em 
relação a reta que passa por e , que 
designaremos por P ', também pertence à 
elipse. Veja o desenho abaixo: 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 29 
 
 
Tornando a usar congruência de 
triângulos, podemos provar, também, que se 
uma curva é simétrica em relação à duas retas 
perpendiculares, é simétrica em relação ao seu 
ponto de interseção. Observe o desenho abaixo. 
 
Neste desenho as retas r e s são 
perpendiculares, o ponto P' é a imagem 
espelhada de P em relação à reta r e P'' é a 
imagem espelhada de P' em relação à reta s. 
Para provar a afirmação anterior, basta mostrar 
que os segmentos OP e OP'' são congruentes, 
pois isto é equivalente a mostrar que P'' é a 
imagem espelhada de P em relação ao ponto O, 
interseção das retas dadas. 
Demonstre a afirmação anterior e use-
a para concluir que uma elipse é simétrica em 
relação ao seu centro. 
Os quatro pontos onde uma elipse 
corta os seus dois eixos de simetria são 
chamados vértices da elipse. O segmento de 
reta entre os dois vértices que contém os dois 
focos chama-se eixo maior da elipse, enquanto 
que o segmento de reta entre os dois vértices 
restantes chama-se eixo menor. 
Prove que o comprimento do eixo 
maior de uma elipse mede 2 a. 
Chamando de 2 b o comprimento do 
eixo menor temos que, numa elipse, os números 
a, b e c representam, respectivamente, o 
comprimento do semieixo maior, do semieixo 
menor e da semi distância focal. 
Assim, no desenho abaixo, temos que 
o segmento (eixo maior) mede 2 a , o 
segmento (eixo menor), 2 b e a distância 
focal , 2 c. No gráfico abaixo, temos que 
a=5, b=4 e c=3. 
 
Além disso, como e são pontos 
da elipse, temos que 
, onde por VF 
estamos denotando a medida do segmento de 
reta que liga os pontos V e F . 
Pela simetria da elipse temos que 
e , veja a figura 
abaixo. 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 30 
 
Deste modo, a equação acima pode 
ser reescrita da seguinte maneira 
 
Da equação acima concluímos que 
. Como o triângulo 
é retângulo, temos que: 
A figura abaixo ilustra essa situação: 
 
Como c²>0, a última equação mostra 
que b²<a², de forma que b < a, ou ainda 2b < 2a 
ou seja, o eixo maior de uma elipse é sempre 
mais longo que o seu eixo menor. 
Se fizermos com que o centro da 
elipse coincida com a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas é fácil obter a sua 
equação. 
9.3 Hipérbole 
Um cometa que entra no sistema solar 
com mais energia do que a necessária para 
escapar da atração gravitacional do Sol 
descreve um ramo de uma curva chamada 
hipérbole. 
Podemos definir uma hipérbole como o 
lugar geométrico dos pontos P , no plano, cujo 
valor absoluto da diferença entre as distâncias 
de P a dois pontos fixos e é constante e 
igual a um número positivo K . Os pontos fixos 
são chamados focos da hipérbole. 
Abaixo, usamos essa propriedade 
geométrica para obter o gráfico de uma 
hipérbole com focos nos pontos ( ) e (
) 
 
 
Usando congruência de triângulos, 
prove que: 
A reta que passa pelos dois focos é 
um eixo de simetria da hipérbole. 
A mediatriz do segmento que une os 
dois focos é um eixo de simetria da hipérbole. 
O ponto C, interseção desses dois 
eixos de simetria, chama-se centro da hipérbole. 
Prove que uma hipérbole é simétrica 
em relação ao seu centro. 
Os dois pontos V¹ e V², onde os dois 
ramos da hipérbole interceptam o eixo de 
simetria que passa pelos focos, chamam-se 
vértices da hipérbole. O segmento de reta que 
une os dois vértices de uma hipérbole chama-se 
eixo transverso. 
Representamos o comprimento do eixo 
transverso por 2 a e a distância entre os focos 
por 2 c. Assim, a distância CV² do centro a um 
dos vértices é a , enquanto que a distância CF² 
do centro a um dos focos é c , como mostra a 
figura abaixo. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 31 
 
 
Quando o ponto P, indicado na figura, 
se move ao longo do ramo direito da hipérbole 
em direção à , o valor absoluto da diferença 
 mantém, por definição, o valor 
constante K , em particular, quando P atinge
, temos . Como 
 e vem 
 = . 
Portanto, para qualquer ponto P na 
hipérbole . Ainda na figura 
anterior, observando o triângulo , 
verificamos que, a condição 2 c > 2 a ou, 
equivalentemente, c > a, é necessária para que 
a curva exista7. 
10 ÁREA DE UM CÍRCULO 
10.1 Circunferência 
Circunferência é a figura geométrica 
formada por todos os pontos que equidistam de 
um ponto fixo, chamado de centro. 
 
7 Texto extraído: www.dmm.im.ufrj.br 
 
Assim, todos os pontos da 
circunferência têm a mesma distância ao centro. 
A distância do ponto A até o centro, por 
exemplo, é a mesma entre o ponto B e o centro. 
10.2 Círculo 
Podemos definir um círculo como 
sendo o conjunto de todos os pontos interiores 
de uma circunferência, ou seja, é o espaço 
contido dentro da circunferência. 
 
Assim, fica claro que: 
Circunferência: apenas a “linha” 
exterior. 
Círculo: circunferência mais o que está 
dentro dela. 
Assim, quando calculamos a área, 
estamos falando de círculo e não de 
circunferência. 
Todo círculo ou circunferência possui 
alguns elementos importantes: 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 32 
 
 
O é o centro da circunferência; 
 é o Diâmetro (D); 
e são raios (r); 
Podemos estabelecer a seguintes 
relações: 
D=2r 
Diâmetro é o dobro do raio, ou: 
 
O raio é metade do diâmetro. 
Essas considerações são importantes 
no momento da resolução de algum exercício, 
na maioria das vezes. 
10.3 Área de um círculo 
A área de um círculo pode ser 
determinada matematicamente por: 
A=πr² 
Onde r é a medida do círculo e π um 
valor constante e usualmente igual a 3,14. 
Para compreendermos um pouco de 
onde obtemos essa fórmula,vamos imaginar 
uma circunferência qualquer e alguns polígonos 
dentro dela. 
 
Para determinar a área do quadrado 
dentro da figura acima, vamos calcular a área do 
triângulo de base a e altura h: 
 
Como o quadrado é composto por 4 
triângulos iguais, a sua área será: 
 
(Note que 4.a equivale ao perímetro do 
quadrado) 
Utilizando o mesmo processo, a área 
do triângulo será: 
 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 33 
 
Como temos 5 triângulos, teremos: A = 
 
Novamente note que 5.a equivale ao 
perímetro do pentágono 
 
Novamente a área do triângulo A = 
será e a área do hexágono será A = 
 
Observe que quanto maior a 
quantidade de lados que o polígono tiver, mais 
ele estará se aproximando de um círculo. Veja 
como ficaria um polígono de 10 lados. 
 
Em todos esses casos, a área do 
polígono será A = 
Sendo n a quantidade de lados do 
polígono e n . a o perímetro desse polígono. 
Agora vamos imaginar um polígono de 
n lados. A quantidade de lados é tão grande que 
mal podemos visualizá-los. Imaginemos que 
esse polígono seja o próprio círculo. 
 
Vamos calcular a área, então, desse 
polígono que estamos enxergando como um 
círculo, já que a quantidade de lados é tão 
pequena que mal podemos enxergá-los. 
 
Como se trata agora de um círculo, a 
altura h será o raio r. o perímetro agora, n . a, 
será o comprimento de uma circunferência, 
então n ⋅ a = 2 ⋅ π ⋅ r. 
Substituindo teremos: 
 
Portanto, fica demonstrada a fórmula 
para o cálculo da área de um círculo. 
11 ÁREA DE POLÍGONOS 
Superfícies como uma mesa e sólidos 
geométricos como o dado, estão presentes no 
espaço que nos cerca. Realizar a medição 
dessas regiões pode ser necessário, para isso 
utilizamos o cálculo do perímetro e da área. 
11.1 Perímetro 
Definimos perímetro como sendo a 
soma das medidas dos lados de um polígono. 
Considere polígono como sendo uma figura 
fechada plana constituída por segmento de reta. 
Veja um exemplo: 
Calcule o perímetro do polígono: 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 34 
 
 
Pontos: A, B, C, D, E, F, G 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, DE, 
EF, FG, GA. 
Perímetro do polígono ABCDEFG: 
P = 5 cm + 8 cm + 6 cm + 7 cm + 10 
cm + 8 cm + 8 cm 
P = 52 cm 
11.2 Área de polígonos 
Utilizamos o cálculo de área para 
dimensionar as superfícies planas. Para cada 
polígono é utilizado uma fórmula, a unidade de 
medida resultante do cálculo da área é sempre 
elevada ao quadrado. 
As figuras geométricas planas que 
apresentam fórmula definida para o cálculo de 
área são: Retângulo, quadrado, paralelogramo, 
triângulo, trapézio, losango e círculo. Observe 
como calculamos a área do: retângulo, 
quadrado, paralelogramo e triângulo: 
11.3 Retângulo 
Área do retângulo = medida da base x 
medida da altura 
 
Exemplo: 
 
Elementos do retângulo: 
Pontos: A, B, C, D 
Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA 
Segmentos paralelos: AB\\CD e 
AC\\BD 
Obs. Segmentos paralelos são 
congruentes, possuindo a mesma medida 
Base do retângulo: BD = 10 cm 
Altura do retângulo: CD = 5 cm 
Área do retângulo = medida da base x 
medida da altura 
 
11.4 Quadrado 
Área do quadrado = medida do lado x 
medida do lado 
 
Exemplo 
 
Elementos do quadrado: 
Pontos: A, B, C, B Segmentos de 
reta: AB, BC, CD, CA 
Segmentos paralelos: AB\\CD e 
AC\\BD 
Lados do quadrado: AB = 5 cm, BC = 5 
cm, CD = 5 cm, CA = 5 cm 
Área do quadrado = medida do lado x 
medida do lado. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 35 
 
 
11.5 Paralelogramo 
Área do paralelogramo = medida da 
base x medida da altura 
 
Exemplo 
 
Elementos do paralelogramo 
Pontos: B, C, D, E, F 
Segmentos paralelos: BC\\DE e 
CD\\BE 
Base do paralelogramo: BE = 6 cm 
Altura do paralelogramo: EF = 7 cm 
Área do paralelogramo = medida da 
base x medida da altura 
 
11.6 Triângulo 
 
Exemplo 
 
Elementos do triângulo 
Pontos: A, B, C, D 
Base do triângulo: BC = 8 cm 
Altura do triângulo: AD = 5 cm 
 
12 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
BARBOSA, João Lucas Marques. 
Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de 
Janeiro, 1989. 
CARVALHO, Benjamim A. de. 
Desenho Geométrico. Editora Ao Livro Técnico. 
Rio de Janeiro, 1959. 
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. __ 
________ . SOLGRAF Publicação Ltda. Rio de 
Janeiro, 1999. 
Bibliografia Complementar 
DOLCE, O. POMPEO, J.N. 
Fundamentos de Matemática Elementar. Vols. 9 
e 10. Atual, 2007. 
DOWNES, Moise. Geometria Moderna, 
Parte II. Edgard Blücher Ltda., 1971. 
EVES, Howard. Estudo de las 
Geometrias, tomo I. UTEHA. México, 1969. 
HEMMERLING, Edwin M. Geometria 
Elementar. Editorial Limusa-Wiley S.A. México, 
1971. 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
 36 
 
WAGNER, Eduardo. Construções 
Geométricas. SOLGRAF Publicação Ltda. Rio 
de Janeiro, 2000.