teorema de Pitágoras

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38 2.3. Demonstrações Contemporâneas
Jelenski atribui a prova a Möllmann sem mencionar uma fonte ou uma data.
2.3.5 Por Adam Rose
Esta é a demonstração de Adam Rose publicada na página eletrônica http://www.cut-
the-knot.org/pythagoras/index.shtml em setembro de 2004.
Figura 2.19: Diagrama de Adam Rose
Esquema da demonstração:
• Passo 1: Começamos com dois triângulos retângulos congruentes △ABC e
△AFE, com A intersecção de BE e CF .
• Passo 2: Marcamos D em AB e G sobre a extensão de AF , de tal forma
que BC = BD = FG = EF .
• Passo 3: Observamos que triângulo △BCD é isósceles, portanto, o ângulo
BĈD =
π
2
− α
2
.
• Passo 4: Como o ângulo BĈA é reto, então o ângulo AĈD =
π
2
−
(
π
2
−α
2
)
.
• Passo 5: Observamos que ângulo AF̂E é exterior ao triângulo △EFG, logo
AF̂E = FÊG+ FĜE.
• Passo 6: Como o triângulo △EFG isósceles, temos AĜE = FĜE =
α
2
.
39 2.4. Generalizações do Teorema de Pitágoras
• Passo 7: Finalmente, temos agora duas linhas de CD e EG atravessado
por CG com dois ângulos internos alternos, AĈD e AĜE, congruentes. Por
conseguinte, CD é paralelo a EG.
Agora basta observar que os triângulos △ACD e △AGE são semelhantes e daí
AD
AC
=
AE
AG
⇐⇒ b
(c− a)
=
(c+ a)
b
⇐⇒ b2 = c2 − a2 ⇐⇒ a2 + b2 = c2.
2.4 Generalizações do Teorema de Pitágoras
2.4.1 Generalização de Euclides
Nesta seção vamos trabalhar com a proposição 31 do livro VI dos Elementos de
Euclides que apresenta uma generalização do Teorema de Pitágoras estendendo-o
ao caso de figuras semelhantes de qualquer espécie.
Definição 2.1 Dizemos que duas figuras F e F ′ são semelhantes se entre elas
há uma proporção, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca φ : F −→ F ′
tal que
X ′Y ′
XY
= r, para quaisquer dois pontos X e Y em F , onde φ(X) = X ′ e
φ(Y ) = Y ′. Neste caso, a constante r é chamada razão de semelhança.
Nas figuras abaixo apresentamos alguns casos da generalização de Euclides para
figuras semelhantes:
“A área do triângulo equilátero construído sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos
equiláteros construídos sobre os catetos.”
“A área de um retângulo construído sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos retângulos
semelhantes ao primeiro construídos sobre os catetos.”